隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量.ppt

關(guān)于隨機(jī)變量的研究 是概率論的中心內(nèi)容 1 4隨機(jī)變量 在隨機(jī)現(xiàn)象中 有很大一部分問題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系 例如 在產(chǎn)品檢驗(yàn)問題中出現(xiàn)的廢品數(shù) 在車間供電問題中某一時刻正在工作的車床數(shù) 測量的誤差 燈泡的壽命等都與數(shù)值有關(guān) 因此 在隨機(jī)試驗(yàn)中 我們的觀測對象常常是一個或若干隨機(jī)取值的變量 有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象 也常常能用數(shù)值來描述 例如 在擲一枚硬幣問題中 每次出現(xiàn)的結(jié)果為正面 記為H 或反面 記為T 與數(shù)值沒有關(guān)系 但是我們可以用下面方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來 當(dāng)出現(xiàn)正面時對應(yīng)數(shù) 1 而出現(xiàn)反面時對應(yīng)數(shù) 0 即相當(dāng)于引入一個定義在樣本空間 上的變量 其中 由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)是隨機(jī)的 因而 的取值也是隨機(jī)的 通過以上的分析 我們可以看到 一類試驗(yàn)的結(jié)果 自然地對應(yīng)著一個實(shí)數(shù) 而另一類試驗(yàn)的結(jié)果需要人為地建立試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值的關(guān)系 由此可見 無論是那一種情況 都是試驗(yàn)結(jié)果 即樣本點(diǎn) 和實(shí)數(shù) 之間 的一個對應(yīng)關(guān)系 一 隨機(jī)變量 定義 設(shè) 是試驗(yàn)的樣本空間 如果量X是定義在 上的一個單值實(shí)值函數(shù)即對于每一個 有一實(shí)數(shù)X X 與之對應(yīng) 則稱X為隨機(jī)變量 直觀上講 隨機(jī)變量就是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同數(shù)值的量 隨機(jī)變量常用X Y Z或 等表示 例3 1有5件產(chǎn)品 其中2件是次品 用a1 a 表示 3件是正品 用b b b 表示 從中任意取出2件 此時隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 a a a b a b a b a b a b 我們將 中的樣本點(diǎn)依次記為 a b b b b b b b 考慮抽取的兩件產(chǎn)品中次品的個數(shù)X 顯然X是定義在 上的 一個隨機(jī)變量 即 可具體表示為 隨機(jī)變量 取不同數(shù)值的概率為 通常記為 稱為隨機(jī)變量的概率分布 根據(jù)概率分布 可以清楚地看到隨機(jī)變量 的取值和概率 例如 為此我們引入隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義 二 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 一 分布函數(shù)的概念 定義設(shè)X是隨機(jī)變量 對任意實(shí)數(shù)x 事件 X x 的概率P X x 稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 記為F x 即F x P X x 易知 對任意實(shí)數(shù)a b a b P a X b P X b P X a F b F a 二 分布函數(shù)的性質(zhì) 1 單調(diào)不減性 若x1 x2 則F x1 F x2 2 歸一性 對任意實(shí)數(shù)x 0 F x 1 且 3 右連續(xù)性 對任意實(shí)數(shù)x 反之 具有上述三個性質(zhì)的實(shí)函數(shù) 必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù) 故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 若隨機(jī)變量X以函數(shù) x 為其分布函數(shù) 通常也 稱X服從分布函數(shù) x 常記作 x 有些書中將分布函數(shù)定義為 x x 這與我們的定義無本質(zhì)區(qū)別 在此定義下 上述4個基本 性質(zhì)中 1 2 和 3 同樣成立 性質(zhì) 4 則由 右 連續(xù) 變?yōu)?左連續(xù) 隨機(jī)變量的分類 1 離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上的有限個或可列個點(diǎn) 2 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一個或若干區(qū)間 3 奇異型隨機(jī)變量 既不是離散型隨機(jī)變量 也不 是連續(xù)型隨機(jī)變量 1 5離散型隨機(jī)變量 1 定義若隨機(jī)變量X取值x1 x2 xn 且取這些值的概率依次為p1 p2 pn 則稱X為離散型隨機(jī)變量 而稱P X xk pk k 1 2 為X的分布律或概率分布 可表為X P X xk pk k 1 2 或 x1x2 xK Pkp1p2 pk 1 pk 0 k 1 2 2 例1設(shè)袋中有5只球 其中有2只白3只黑 現(xiàn)從中任取3只球 不放回 求抽得的白球數(shù)X為k的概率 解k可取值0 1 2 2 分布律的性質(zhì) 一般地 對離散型隨機(jī)變量X P X xk pk k 1 2 其分布函數(shù)為 例1中隨機(jī)變量X具分布律如右表 解 試求出X的分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù) 分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)對應(yīng)離散型隨機(jī)變量的可能取值點(diǎn) 跳躍高度對應(yīng)隨機(jī)變量取對應(yīng)值的概率 反之 如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù) 則該隨機(jī)變量必為離散型 例3 某射手對目標(biāo)獨(dú)立射擊5次 每次命中目標(biāo)的概率為p 以X表示命中目標(biāo)的次數(shù) 求X的分布律 解 設(shè)Ai 第i次射擊時命中目標(biāo) i 1 2 3 4 5則A1 A2 A5 相互獨(dú)立且P Ai p i 1 2 5 SX 0 1 2 3 4 5 1 p 5 3 幾個常用的離散型分布 一 退化分布 若隨機(jī)變量只取常數(shù)a 即P X a 1 則稱X服從a處的退化分布 二 0 1 分布 若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù) 則稱X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記作X B n p 其分布律為 定義設(shè)將一個貝努里試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次 每次試驗(yàn)中 事件A發(fā)生的概率均為p 則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn) n重貝努里試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率記為B k n p 三 二項(xiàng)分布 例4 從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗 假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 1 設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù) 求X的分布律 2 求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率 解 1 由題意 X B 6 1 3 于是 X的分布律為 例5 某人射擊的命中率為0 02 他獨(dú)立射擊400次 試求其命中次數(shù)不少于2的概率 解設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù) 則X B 400 0 02 故P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 0 9973 使得B k n p 取到最大值的m為二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的最可能值或稱為最大可能成功值注 m n 1 p 例保險公司為一單位500名員工辦理了一年期醫(yī)療保險 每張保單最多理賠一次 假設(shè)員工是否發(fā)生醫(yī)療費(fèi)用是相互獨(dú)立的 理賠概率為0 01 問保險期內(nèi)最可能發(fā)生幾次理賠 并求相應(yīng)的概率 二項(xiàng)分布圖像 四 泊松 Poisson 分布P X P X k 另外 一本書一頁中印刷錯誤數(shù) 某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)目 某一地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)等都服從泊松分布 k 0 1 2 0 例6 設(shè)每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為 的泊松分布 且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e 2 求任選一對夫婦 至少有3個孩子的概率 解 由題意 泊松分布是二項(xiàng)分布關(guān)系泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布 當(dāng)n很大 p很小時 二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù) np的泊松分布 泊松定理設(shè)隨機(jī)變量Xn B n p n 0 1 2 且n很大 p很小 記 np 則 用泊松定理取 np 400 0 02 8 故近似地有 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 回憶例5 某人射擊的命中率為0 02 他獨(dú)立射擊400次 試求其命中次數(shù)不少于2的概率 五 幾何分布進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 每次成功的概率為p 令X k表示直到第k次試驗(yàn)才成功 求X的分布律 我們稱隨機(jī)變量X服從幾何分布 記為X g p 在實(shí)際計(jì)算中 當(dāng)n 100 p 0 1 np 10時 我們就 可以使用以上近似公式計(jì)算 當(dāng)然 當(dāng)n越大 p越小 np大小 適中時 近似公式計(jì)算就越精確 性質(zhì)設(shè) g p n m為任意兩個自然數(shù) 則 這個性質(zhì)稱為幾何分布的無記憶性 例7 某班有學(xué)生20名 其中有5名女同學(xué) 今從班上 任選4名學(xué)生去參觀展覽 被選到的女同學(xué)人數(shù)X是一個隨 機(jī)變量 求X的概率分布 六 超幾何分布 超幾何分布產(chǎn)生于不放回抽樣 而二項(xiàng)分布產(chǎn)生于有放回抽樣 在實(shí)際工作中 抽樣一般都采用不放回方式 因此計(jì)算 時應(yīng)該用超幾何分布 但是 當(dāng)N較大時 超幾何分布計(jì)算 較繁瑣 若產(chǎn)品總數(shù)N很大 而抽樣的次數(shù)n相對于N很小時 超幾何分布可以用二項(xiàng)分布來近似 即有以下定理 定