一元一次方程等量關(guān)系.docx

一元一次方程等量關(guān)系方法一：根據(jù)常見的公式尋找等量關(guān)系1、 工作問題和工程問題（1） 單人工作：工作總量工作效率工作時(shí)間（2） 多人合作：甲的工作總量+乙的工作總量+。工作總量【例】某工作甲單獨(dú)做4天完成，乙單獨(dú)做8天完成?，F(xiàn)甲先做1天，然后和乙共同完成余下工作。問甲一共做了幾天？甲單獨(dú)一天可以完成總量的1/4，乙單獨(dú)一天完成1/8;甲干1天后剩余：1-1*1/4=3/4設(shè)甲乙共同完成余下的需要X天則X*(1/4+1/8)=3/4解得X=2天所以甲一共干了：1+2=3天【例】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做要120天完成，如果甲隊(duì)先做10天，乙隊(duì)再做5天，就可以完成這項(xiàng)工程的，乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要多少天？解：設(shè)乙隊(duì)的工作效率為X，得：5X+10/120=5/24解得X=1/40答：乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要40天2、 行程問題 路程速度時(shí)間（特別注意：兩地的距離不變）（1）追擊問題： 同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離追者走的路程前者走的時(shí)間追者走的路程同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程追者走的路程前者走的時(shí)間追者走的時(shí)間+等待時(shí)間【例】甲乙兩地路程為180千米,一人騎自行車從甲地出發(fā)每小時(shí)走15千米,另一人騎摩托車從乙地出發(fā)。已知，摩托車速度是自行車速度的3倍，若兩人同向而行，騎自行車在先且出發(fā)2小時(shí)，問摩托車經(jīng)過(guò)多少時(shí)間追上自行車？解：設(shè)摩托車經(jīng)過(guò)時(shí)間x追上自行車自行車行駛的路程：S自=15*（x+2）摩托車行駛的路程：S摩=15*3x由于S自=S摩+180，代入數(shù)據(jù)，得x=7答：摩托車7小時(shí)追上【例】甲乙兩人都以不變的速度在400米環(huán)形跑道上跑步，兩人在同一地方同時(shí)出發(fā)同向而行，甲的速度為100米/分，乙的速度是甲速度的3/2倍，問經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后兩人首次相遇？第二次相遇呢？首先要相遇，肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度：100*3/2=150m/min設(shè)第一次相遇經(jīng)過(guò)時(shí)間為X150X-100X=400X=8設(shè)第二次相遇經(jīng)過(guò)時(shí)間為Y150Y-100Y=400*2Y=16（2）相遇問題：甲走的路程+乙走的路程兩地間的距離【例】甲乙兩站之間相距360千米，上午9點(diǎn)1刻，一輛慢車和一輛快車分別分別從兩站相向開往對(duì)方車站，經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇，已知快車速度是慢車的1.5倍，問兩車在什么時(shí)刻相距90千米？設(shè)慢車速度為V，則快車速度為1.5V，相約90千米所用時(shí)間為t列方程1。vt+1.5vt=360km(t=3h) 求得慢車速度V=120km/h列方程2。vt+1.5vt=250km(v=120km/h,t為兩車運(yùn)行時(shí)間） 求得時(shí)間t=5/6小時(shí)【例】上午8時(shí)，甲乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，上午9時(shí)，兩人相距54km，兩人繼續(xù)前進(jìn)，到上午11時(shí)，兩人又相距54km，已知甲每小時(shí)比乙多走3km，求A、B兩地的距離。分析如下：兩地距離不變，據(jù)此可列等式。9時(shí)的時(shí)候，甲走的距離加乙走得距離加54就等于兩地的距離11時(shí)的時(shí)候，根據(jù)題意，甲乙已經(jīng)相遇了一次，兩人走得距離相加比兩地距離還多了一個(gè)54.解：設(shè)乙速度Xkm/小時(shí)，則甲速度（X+3）km/小時(shí).根據(jù)題意可列方程X+(X+3)+54=3X+3(X+3)-54解得X=25.5所以兩地距離為X+(X+3)+54=108km（3）航行問題：順風(fēng)（水）速度靜風(fēng)（水）中的速度+風(fēng)（水）速度逆風(fēng)（水）速度靜風(fēng)（水）中的速度-風(fēng)（水）速度引申：在靜風(fēng)（水）中的速度12（順風(fēng)（水）速度+逆風(fēng)（水）速度）風(fēng)（水）中的速度12（順風(fēng)（水）速度-逆風(fēng)（水）速度）【例】3、利潤(rùn)問題銷售毛利率=（銷售收入-營(yíng)業(yè)成本）/銷售收入*100%（1）商品利潤(rùn)商品售價(jià)商品成本價(jià)（進(jìn)價(jià)） 商品的成本價(jià)（進(jìn)價(jià)）商品利潤(rùn)率（2）商品利潤(rùn)率商品利潤(rùn)/商品成本價(jià)（進(jìn)價(jià)）100%（3）商品銷售額商品銷售價(jià)商品銷售量（4）商品的銷售利潤(rùn)（銷售價(jià)成本價(jià)）銷售量（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售【例】某商品的進(jìn)價(jià)是250元，標(biāo)價(jià)為320元，商店要求保持利潤(rùn)率15.2%的售價(jià)打折出售，則可以打幾折出售此商品？設(shè)打折x銷售，則320*x=250*(1+15.2%)320x=288x=288320x=0.9【例】一種商品的買入單價(jià)為1500元，如果出售一件商品獲得的毛利潤(rùn)是賣出單價(jià)的15，那么這種商品出售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（精確到1元）這種商品出售單價(jià)應(yīng)定為x元,0.15x=x-1500x=1764.711765【例】某商場(chǎng)計(jì)劃投入一筆資金采購(gòu)一批緊俏商品.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果月初出售,可獲利15%,并可用本和利再投資其他商品,到月末又可獲利10%;如果月末出售可獲利30%,但要付出倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用700元.請(qǐng)問根據(jù)商場(chǎng)的資金狀況,如何購(gòu)銷獲利最多？設(shè)商場(chǎng)的資金為x元 月初出售，獲利為：x*（1+15%）（1+10%）-x=0265x 月末出售，獲利為：x*03-700=03x-700 令0265x=03x-700 解得 x=20000 當(dāng)商場(chǎng)的資金為20000元時(shí)，月初出售和月末出售獲利一樣多 令0265x03x-700 解得 x20000 當(dāng)商場(chǎng)的資金少于20000元時(shí)，月初出售獲利多 令0265x03x-700 解得 x20000 當(dāng)商場(chǎng)的資金多于20000元時(shí)，月末出售獲利多【例】某商店有一套運(yùn)動(dòng)服，按標(biāo)價(jià)的8折出售仍可獲利20元，已知這套運(yùn)動(dòng)服的成本價(jià)為100元，問這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)是多少元？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：銷售問題分析：設(shè)這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)是x元此題中的等量關(guān)系：按標(biāo)價(jià)的8折出售仍可獲利20元，即標(biāo)價(jià)的8折-成本價(jià)=20元解答：解：設(shè)這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)是x元根據(jù)題意得：0.8x-100=20，解得：x=150答：這套運(yùn)動(dòng)服的標(biāo)價(jià)為150元點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解【例】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為400元，銷售價(jià)為510元，本季度銷售了m件，為進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，該企業(yè)決定在降低銷售價(jià)的同時(shí)降低成本，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，預(yù)測(cè)下季度這種產(chǎn)品每件銷售價(jià)降低4%，銷售將提高10%，要使銷售利潤(rùn)（銷售利潤(rùn)=銷售價(jià)-成本價(jià)）保持不變，該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低多少元？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：應(yīng)用題；經(jīng)濟(jì)問題分析：此題文字?jǐn)⑹隽看?，要審清題目，找到等量關(guān)系：銷售利潤(rùn)（銷售利潤(rùn)=銷售價(jià)-成本價(jià)）保持不變，設(shè)該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低x元，則每件產(chǎn)品銷售價(jià)為510（1-4%）元，銷售了（1+10%）m件，新銷售利潤(rùn)為510（1-4%）-（400-x）（1+10%）m元，原銷售利潤(rùn)為（510-400）m元，列方程即可解得解答：解：設(shè)該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低x元，則根據(jù)題意得510（1-4%）-（400-x）m（1+10%）=m（510-400），解這個(gè)方程得x=10.4答：該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低10.4元4、利息問題利息本金利率期數(shù)本息和本金+利息稅后利息利息-利息利息稅率【例】小華將勤工儉學(xué)掙得的100元錢按一年定期存入銀行，到期后取出50元來(lái)購(gòu)買學(xué)習(xí)用品，剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的年利率又下調(diào)到原來(lái)的一半，這樣到期后可得本息和63元，求第一次存款的年利率（不計(jì)利息稅）考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：應(yīng)用題；增長(zhǎng)率問題分析：要求存款的年利率先設(shè)出未知數(shù)，再通過(guò)等量關(guān)系就是兩年的本金加上利息減去夠買學(xué)習(xí)用品的錢等于最后的本息之和解答：解：設(shè)第一次存款的年利率為x，則第二次存款的年利率為 x2，第一次的本息和為（100+100x）元由題意，得（100+100x-50） x2+50+100x=63，解得x=0.1或x= -135（舍去）答：第一次存款的年利率為10%點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵要理解題的大意，特別是第二次到期的本息為50+100x，很多同學(xué)都會(huì)忽略100x，根據(jù)題目給出的條件【例】某小店老板從面包廠購(gòu)進(jìn)面包的價(jià)格是每個(gè)0.6元，按每個(gè)面包1.0元的價(jià)格出售，賣不完的以每個(gè)0.2元于當(dāng)天返還廠家，在一個(gè)月（30天）里，小店有20天平均每天賣出面包80個(gè)，其余10天平均每天賣出面包50個(gè)，這樣小店老板獲純利600元，如果小店老板每天從面包廠購(gòu)進(jìn)相同數(shù)量的面包，求這個(gè)數(shù)量是多少？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：經(jīng)濟(jì)問題分析：由題意得，他進(jìn)的包子數(shù)量應(yīng)在50-80之間；等量關(guān)系為：（20進(jìn)貨量+1050）每個(gè)的利潤(rùn)-（進(jìn)貨量-50）10每個(gè)賠的錢=600；據(jù)此列出方程解可得答案解答：解：設(shè)這個(gè)數(shù)量是x個(gè)由題意得：（20x+500）（1-0.6）-（x-50）10（0.6-0.2）=600，解得：x=50故這個(gè)數(shù)量是50個(gè)方法二：抓住數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)找等量關(guān)系1、和差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系常用“一共有”、“比多”、“比少”、“是的幾倍”等術(shù)語(yǔ)表示，增長(zhǎng)量原有量增長(zhǎng)率 現(xiàn)在量原有量增長(zhǎng)量。在解題時(shí)可抓住這些術(shù)語(yǔ)去找等量關(guān)系，按敘述順序來(lái)列方程。【例】2009年北京市生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水的3倍還多0.6億立方米，問生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和居民家庭用水各多少億立方米？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：應(yīng)用題分析：等量關(guān)系為：居民家庭用水=生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水的3倍+0.6解答：解：設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水x億立方米，則居民家庭用水（5.8-x）億立方米依題意，得5.8-x=3x+0.6，解得：x=1.3，5.8-x=5.8-1.3=4.5答：生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是弄清題意，找到合適的等量關(guān)系本題也可根據(jù)“生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米”來(lái)列等量關(guān)系【例】小剛在商場(chǎng)發(fā)現(xiàn)他喜歡的隨身聽和書包單價(jià)之和是452元，并且隨身聽的單價(jià)比書包單價(jià)的4倍少8元求小剛喜歡的隨身聽和書包的單價(jià)考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：應(yīng)用題；經(jīng)濟(jì)問題分析：本題的關(guān)鍵語(yǔ)“隨身聽和書包單價(jià)之和是452元，并且隨身聽的單價(jià)比書包單價(jià)的4倍少8元”，即隨身聽的單價(jià)=書包單價(jià)4-8依此等量關(guān)系列方程求解解答：解：設(shè)隨身聽單價(jià)為x元，則書包的單價(jià)為（452-x）元，列方程得：x=4（452-x）-8，解得：x=360當(dāng)x=360時(shí)，452-x=92【例】有一火車以每分鐘600米的速度要過(guò)完第一、第二兩座鐵橋，過(guò)第二鐵橋比過(guò)第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng)解：設(shè)第一鐵橋的長(zhǎng)為x米，那么第二鐵橋的長(zhǎng)為（2x-50）米，過(guò)完第一鐵橋所需的時(shí)間為 分 過(guò)完第二鐵橋所需的時(shí)間為 分 依題意，可列出方程 + = 解方程x+50=2x-50 得x=100 2x-50=2100-50=150 答：第一鐵橋長(zhǎng)100米，第二鐵橋長(zhǎng)150米【例】一千零一夜中有這樣一個(gè)段文字：有一群鴿子，其中有一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō)：“若從你們中飛上來(lái)一只，則樹下的鴿子就是整個(gè)鴿子群的三分之一；若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子一樣多”。你知道樹上樹下各有多少鴿子嗎？解：設(shè)樹上有x只，樹下有y只. y-1/x+y=1/3 x-1/y+1=1 解得x=7;y=5即樹上有7只，樹下有5只?！纠?008年北京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)運(yùn)動(dòng)員獲得金、銀、銅牌共100枚，金牌數(shù)位列世界第一其中金牌比銀牌與銅牌之和多2枚，銀牌比銅牌少7枚問金、銀、銅牌各多少枚？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用分析：可設(shè)銀牌數(shù)為x枚，則銅牌為（x+7）枚金牌數(shù)為x+（x+7）+2，根據(jù)獲得金、銀、銅牌共100枚列出方程求解即可解答：解：設(shè)銀牌數(shù)為x枚，則銅牌為（x+7）枚金牌數(shù)為x+（x+7）+2，（1分）依題意得x+（x+7）+x+（x+7）+2=100（3分）解得x=21，（5分）所以x+7=21+7=28；21+28+2=51答：金、銀、銅牌分別為51枚、21枚、28枚（6分）點(diǎn)評(píng)：考查一元一次方程的應(yīng)用；得到各個(gè)獎(jiǎng)牌數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)2、數(shù)字問題一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為X，十位及百位、千位等數(shù)字用各位數(shù)字表示。100百位數(shù)字+10十位數(shù)字+各位數(shù)字表是這個(gè)數(shù)，然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程。【例】一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十位上的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原來(lái)兩位數(shù)大36，求原兩位數(shù)。解：設(shè)原十位數(shù)為X，個(gè)位數(shù)為2X，原兩位數(shù)為（10X+2X）。(2X*10+X)-（10X+2X）=36(20X+X)-（10X+2X）=3621X-12X=369X=36X=4原兩位數(shù)=10X+2X=104+24=48答：原來(lái)的兩位數(shù)是48。3、得分問題對(duì)的得分+錯(cuò)的得分總分勝的得分+平的得分+負(fù)的得分總分例: 我?！按褐暋睆V播室小記者譚艷同學(xué)為了及時(shí)報(bào)道學(xué)校參加全市中學(xué)生籃球比賽情況，她從領(lǐng)隊(duì)韋老師那里了解到校隊(duì)共參加了16場(chǎng)比賽，積分28分按規(guī)定贏一場(chǎng)得2分，輸一場(chǎng)得1分可是小譚忘記了輸贏各多少場(chǎng)了，請(qǐng)你根據(jù)上面提供的信息分別求出輸、贏各多少場(chǎng)？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：應(yīng)用題；比賽問題分析：球隊(duì)贏球后得分加上輸球得分應(yīng)該等于總得分，即可列方程解應(yīng)用題解答：解：設(shè)球隊(duì)贏了x場(chǎng)，則輸了（16-x）場(chǎng)，由題可得：2x+（16-x）1=28解得：x=12，答：球隊(duì)贏了12場(chǎng)，輸了4場(chǎng)4、分段問題第一段+第二段+第三段. 總額注意段界，進(jìn)行驗(yàn)證【例】從甲地到乙地的路有一段平路與一段上坡路如果騎自行車保持平路每小時(shí)行15km，上坡路每小時(shí)行10km，下坡路每小時(shí)行18km，那么從甲地到乙地需29min，從乙地到甲地需25min從甲地到乙地的路程是多少？考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用專題：行程問題分析：本題首先依據(jù)題意得出等量關(guān)系即甲地到乙地的路程是不變的，進(jìn)而列出方程為10（ 2960-x）=18（ 2560-x），從而解出方程并作答解答：解：設(shè)平路所用時(shí)間為x小時(shí)，29分= 2960小時(shí)，25分= 2560，則依據(jù)題意得：10（ 2960-x）=18（ 2560-x），解得：x= 13，則甲地到乙地的路程是15 13+10（ 2960-13）=6.5km，【例】某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦時(shí)，則超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi) （1）某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a（2）若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費(fèi)是多少元？解：（1）由題意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得a=60 （2）設(shè)九月份共用電x千瓦時(shí)，則 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得x=90 所以0.3690=32.40（元） 答：九月份共用電90千瓦時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)32.40元方法三：從變化的關(guān)系中尋找不變的量，并利用不變的量來(lái)尋找相等關(guān)系1、年齡問題大小兩個(gè)年齡差不會(huì)變 年齡增長(zhǎng)一歲一年【例】兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x 由題意，得2（9+x）=15+x 18+2x=15+x，2x-x=15-18 x=-3 答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍 （點(diǎn)撥：-3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量）【例】王老師對(duì)小強(qiáng)說(shuō)：“我像你這么大的時(shí)候你才2歲，到你長(zhǎng)到我這般年齡時(shí)，我已經(jīng)44歲了?！?求王老師和小明的現(xiàn)在年齡。設(shè)，王老師的年齡為：X歲。則，小強(qiáng)的年齡為：X-（44-X）歲。根據(jù)王老師與小強(qiáng)年齡相差關(guān)系相等可得：我像你這么大時(shí)，你才2歲；有王老師與小強(qiáng)年齡相差關(guān)系： X-（44-X）-2 當(dāng)你像我這么大時(shí)，我就44歲啦。有王老師與小強(qiáng)年齡相差關(guān)系：44-X 44-X=X-（44-X）-2 X=30， 小強(qiáng)的年齡為：X-（44-X）歲=16.2、分法問題第一種分法的總量第二種分法的總量【例】例某校組織師生春游，若單獨(dú)租45座客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨(dú)租60座客車，則可少租1輛，且余30個(gè)空位。（1）求該校參加春游的人數(shù)；（2）該校決定這次春游同時(shí)租用這兩種車，其中