流體應(yīng)變率張量

1 7運(yùn)動(dòng)流體應(yīng)變率張量 前面提到過(guò)速度梯度 它是流體作一維平行流動(dòng)時(shí) 流體的剪切應(yīng)變率分量 本節(jié)將討論流體做任意運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性 重點(diǎn)介紹運(yùn)動(dòng)流體的應(yīng)變率張量及其各分量的物理意義 剛體運(yùn)動(dòng)可分解成 平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng) 除平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)外還有變形 1 7 1亥姆霍茲速度分解定理 V0 V 顯然 是M點(diǎn)相對(duì)于M0點(diǎn)的相對(duì)速度 流體運(yùn)動(dòng)雖復(fù)雜 但取一微元體 分析其中的運(yùn)動(dòng) 將得到一些規(guī)律性認(rèn)識(shí) 在時(shí)刻t的流場(chǎng)中取一點(diǎn)鄰域中的任意一點(diǎn) 設(shè)M0點(diǎn)的速度為 由泰勒展開 鄰點(diǎn)M的速度 寫成分量形式 用矩陣形式 對(duì)稱 反對(duì)稱 根據(jù)矩陣運(yùn)算法則 或 其中 流體的應(yīng)變率張量或變形速率張量 對(duì)稱的 而 與M0點(diǎn)相同的平動(dòng)速度 流體變形在M點(diǎn)引起的速度 繞M0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在M點(diǎn)引起的速度 這就是亥姆霍茲速度分解定理 是流體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量 1 7 2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 為了方便分析 考慮一些流體的特殊運(yùn)動(dòng) t時(shí)刻 選正六面體微團(tuán) 如下圖 研究其一側(cè)面abcd 若a點(diǎn)速度為u v 則 a t時(shí)刻 b t t時(shí)刻 1 線變形分析 相對(duì)伸長(zhǎng)速度 首先設(shè)只有應(yīng)變率張量中的其它均為0 因此 表示線段的相對(duì)伸長(zhǎng)率 相對(duì)伸長(zhǎng)速度 同理 存在各質(zhì)點(diǎn)在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因 經(jīng)過(guò)dt時(shí)刻 abcd將運(yùn)動(dòng)到a1b1c1d1 如左圖 ab邊的相對(duì)伸長(zhǎng)率 分別表示y z方向線段的相對(duì)伸長(zhǎng)率 各邊的相對(duì)伸長(zhǎng) 將引起流體微團(tuán)體積膨脹 在 t時(shí)刻后 正方形體積 已變?yōu)?如果 表示流體相對(duì)體積膨脹率為0 流體是不可壓縮流體 流體微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率為 密度不變可簡(jiǎn)單地記做 時(shí)時(shí) 處處 2 角變形分析 角變形速度 考慮應(yīng)變率張量中只有 經(jīng)過(guò)dt時(shí)刻 abcd將運(yùn)動(dòng)到a1b1c1d1 產(chǎn)生了角變形 bad的減少量為 平均角變形 剪切 變形率為 意義類似 直角的平均減小率 3 流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)分析 旋轉(zhuǎn)角速度 由于 x y a1b1c1d1近似為菱形 則有 轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 表示流體微團(tuán)以 x y z 為瞬心 繞平行于z軸旋轉(zhuǎn)的角速度 經(jīng)過(guò)dt時(shí)刻 abcd將運(yùn)動(dòng)到a1b1c1d1 對(duì)角線ac經(jīng)時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)了角度 從而 存在不在質(zhì)點(diǎn)連線方向的速度梯度是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和角變形的原因 也有類似的意義 它們?nèi)咭黄鸾M成了角速度矢量 且有 各分量都有明確的物理意義 其中三個(gè)代表線段的相對(duì)伸長(zhǎng)率 速度 三個(gè)代表角變形率 速度 三個(gè)代表流體本身的自轉(zhuǎn)角速度 另外速度散度代表流體體積相對(duì)膨脹率 例 平面流場(chǎng)ux ky uy 0 k為大于0的常數(shù) 分析流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)特征 解 流線方程 線變形 角變形 旋轉(zhuǎn)角速度 x y o 流線是平行與x軸的直線族 無(wú)線變形 有角變形 順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù) 例 平面流場(chǎng)ux ky uy kx k為大于0的常數(shù) 分析流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)特征 解 流線方程 流線是同心圓族 線變形 無(wú)線變形 角變形 無(wú)角變形 旋轉(zhuǎn)角速度 逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn) 剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng) 1 有旋流動(dòng) 2 無(wú)旋流動(dòng) 即 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng) 例 速度場(chǎng)u ay a為常數(shù) v 0 流線是平行于x軸的直線 此流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng) 解 是有旋流 x y o ux 相當(dāng)于微元繞瞬心運(yùn)動(dòng) 例 速度場(chǎng)ur 0 u b r b為常數(shù) 流線是以原點(diǎn)為中心的同心圓 此流場(chǎng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng) 解 用直角坐標(biāo) x y o r u v u p 是無(wú)旋流 微元平動(dòng) 小結(jié) 流動(dòng)作有旋運(yùn)動(dòng)或無(wú)旋運(yùn)動(dòng)僅取決于每個(gè)流體微元本身是否旋轉(zhuǎn) 與整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)和流體微元運(yùn)動(dòng)的軌跡無(wú)關(guān) 1 7 3流體運(yùn)動(dòng)的分類 1 不可壓縮流動(dòng)和可壓縮流動(dòng)這是從流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析結(jié)合物理性質(zhì)的角度分類方法 如果流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 質(zhì)量不變的情況下 體積相對(duì)膨脹率很小 接近于零 意味著密度保持不變 此時(shí)可以認(rèn)為流動(dòng)是不可壓縮的 體積膨脹率為0 則有密度不變可簡(jiǎn)單地記做 時(shí)時(shí) 處處 2 粘性流動(dòng)和無(wú)粘性流動(dòng)這是從流體運(yùn)動(dòng)和剪切變形的角度來(lái)考慮的分類方法 靜止的流體不呈現(xiàn)粘性 對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體 在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中常通過(guò)流體中粘性切應(yīng)力與其它力 主要是流動(dòng)慣性力 在大小量級(jí)上的比較來(lái)考慮粘性效應(yīng) 把忽略粘性效應(yīng)的流動(dòng)稱為無(wú)粘性流體流動(dòng) 簡(jiǎn)單地令無(wú)粘性流動(dòng)在流體力學(xué)理論中占有重要地位 3 定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)這是從物理量對(duì)時(shí)間t的依賴關(guān)系的角度來(lái)考慮的分類方法 流場(chǎng)中速度等物理量不隨時(shí)間變化的流動(dòng)稱為定常流動(dòng) 數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)單地表示為定常是相對(duì)的 不定常是絕對(duì)的 對(duì)于隨時(shí)間變化緩慢的流動(dòng) 如大容器的小孔出流等定常流動(dòng)的研究和處理要比非定常流動(dòng)要容易得多 4 一維流動(dòng) 二維流動(dòng)和三維流動(dòng)這是從物理量對(duì)空間坐標(biāo) x y z 的依賴關(guān)系的角度來(lái)考慮的分類方法 如果流動(dòng)中 所有物理量只與一個(gè)空間變量有關(guān) 則稱此流動(dòng)為一維流動(dòng) 依次類推 實(shí)際工程中很難找到真正一維流動(dòng) 在微元流管中的流動(dòng)是最接近一維的流動(dòng) 有限截面管中流動(dòng) 有時(shí)為了計(jì)算方便 僅考慮按截面平均后的量 此時(shí)可看作一維流動(dòng) 或準(zhǔn)一維流動(dòng) 二維流動(dòng)包括平面流動(dòng)和軸對(duì)稱流動(dòng) 三維流動(dòng)是一種空間流動(dòng) 5 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)這是從流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析的角度來(lái)考慮的分類方法 如果在整個(gè)流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度為0 則稱此流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng) 在流速分布已知的情況下可根據(jù)速度的旋度是否為0加以判斷 一般而言 粘性流體的流動(dòng)總是有旋的 無(wú)粘性流體的流動(dòng)有可能有旋也可能無(wú)旋 例如當(dāng)流體既忽略粘性又忽略重力時(shí) 從靜止啟動(dòng)的流動(dòng)就是無(wú)旋的 大氣中的氣旋和海洋環(huán)流等都是典型的有旋運(yùn)動(dòng) 除了這些分類方法 還有粘性流體運(yùn)動(dòng)中的層流 湍流 可壓縮流動(dòng)還有亞聲速和超聲速之分等 1 8流體中的作用力與應(yīng)力張量 按作用方式分為體積力和表面力 1 8 1體積力 體積力的大小與流體的體積或質(zhì)量成正比 與該體積或質(zhì)量之外的流體存在與否無(wú)關(guān) 因此體積力是非接觸力 具有外力性質(zhì) x y z A 體積力分布密度 單位是m s2 與加速度單位相同 又稱質(zhì)量力 它是作用在每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)上的力 如重力 電磁力 慣性力等 若已知f 則作用在有限體積內(nèi)流體上的總體積力為 重力場(chǎng)中 忽略體積力 慣性力 直線慣性力 曲線慣性力 1 8 2表面力與應(yīng)力 表面力是接觸力 本質(zhì)上是內(nèi)力 但流體與固體接觸面上的表面力 對(duì)流體是外力 n 可定義 稱為應(yīng)力矢量 簡(jiǎn)稱應(yīng)力 單位N m2 表示t時(shí)刻在點(diǎn) x y z 上作用以n為法線的單位面積流體上的表面力 表面力是外界作用在所考察流體接觸面上的力 力的大小和接觸面的大小成正比 與流體質(zhì)量無(wú)關(guān) A pn pnn pnt P n n 注 1 pn的下標(biāo)n表示所考察流體面外法線方向 因此 作用在與之接觸的表面應(yīng)力表示為 根據(jù)牛頓第三定律有 所以充分顯示了應(yīng)力的內(nèi)力本質(zhì) 2 在粘性不能忽略的運(yùn)動(dòng)流體中 pn的作用方向并不與考查面垂直 此時(shí)可將分解 一旦pn已知 則作用在整個(gè)面上的表面力的合力 1 8 3流場(chǎng)中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力張量 下面將推導(dǎo)應(yīng)力與的關(guān)系 并引出應(yīng)力張量 為研究一點(diǎn)處面元上的表面力 先在流體中以M點(diǎn)為頂點(diǎn)做一個(gè)微四面體 如圖 設(shè)MA x MB y MC z ABC的法向單位矢量為 或簡(jiǎn)寫為 設(shè) ABC的面積為 S 于是 MBC MCA MAB的面積可分別以 Sx Sy Sz表示為 y p y 四面體體積 受力分析作用在四面體上的力有表面力和質(zhì)量力 包括慣性力 表面力與面積成正比 為二階小量 質(zhì)量力與體積成正比為三階小量 當(dāng)四面體縮小為一點(diǎn) 忽略三階小量 則表面力的合力將等于0 則有 由 得 在直角坐標(biāo)系中的投影 寫成矩陣形式 現(xiàn)將上式寫成為 其中 稱為應(yīng)力張量 分量第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力作用面法向 第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的投影方向 根據(jù)力矩平衡 表明了表面應(yīng)力與外法向單位矢量的關(guān)系 除了表示二者之間的關(guān)系外還引入了應(yīng)力張量 且應(yīng)力張量不再與有關(guān) 并只與空間點(diǎn)位置和時(shí)間有關(guān) 由九個(gè)分量組成的應(yīng)力張量完全表達(dá)了給定點(diǎn)M及給定時(shí)刻的應(yīng)力狀態(tài) 一旦該時(shí)刻在該處的面積元從而其外法向單位矢量確定后 則該面積元上的應(yīng)力就隨之確定 不再與有關(guān) 它只是空間點(diǎn)M及時(shí)間t的函數(shù) 自然 應(yīng)力張量各分量與坐標(biāo)系的選擇有關(guān) 但正如矢量的分量也與坐標(biāo)的選取有關(guān) 矢量本身與坐標(biāo)選取無(wú)關(guān)一樣 應(yīng)力張量也不依賴于坐標(biāo)的選取 它們只是時(shí)間和空間點(diǎn)函數(shù) 1 8 4靜止流體與運(yùn)動(dòng)的無(wú)粘性流體中的應(yīng)力張量 六個(gè)切應(yīng)力分量均為0 由于流體只能承受壓力而不能承受拉力 因此令 于是 壓強(qiáng) 上式說(shuō)明了流體中靜壓力的兩個(gè)重要特性 流場(chǎng)中一點(diǎn)靜壓強(qiáng) 壓力 大小各向等值 即與過(guò)同一點(diǎn)作用面的方位無(wú)關(guān) 因此p是個(gè)標(biāo)量物理量 它只是該點(diǎn)的空間坐標(biāo)的函數(shù) 2 一點(diǎn)上的靜壓 壓力 總是垂直指向過(guò)該點(diǎn)的作用面 例題 流體內(nèi)某處的應(yīng)力張量為 問(wèn) 作用于平面x 3y z 1外側(cè) 離開原點(diǎn)一側(cè) 上的應(yīng)力矢量是什么 這個(gè)平面上的應(yīng)力矢量的法向和切向分量是什么 解 對(duì)平面x 3y z 1外側(cè)法向矢量為 故 該應(yīng)力矢量在平面x 3y z 1外側(cè)法向分量為 又設(shè)應(yīng)力矢量的切向分量為 則 故 復(fù)習(xí)思考題 1 何為連續(xù)介質(zhì) 流體力學(xué)中為什么要引入連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 什么條件下不可以應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 2 流體力學(xué)有哪些研究方法 各方法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么 3 什么是牛頓內(nèi)摩擦定律 它的應(yīng)用條件是什么 什么是牛頓流體和非牛頓流體 4 流體的動(dòng)力粘性系數(shù)和運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)有何不同 各自的單位是什么 5 流體粘性與哪些因素有關(guān) 它們隨溫度是如何變化的 一 概念 6 什么是理想流體 為什么要引進(jìn)理想流體這一概念 理想流體有無(wú)能量損失 7 什么情況下要考慮流體的壓縮性 為什么液體通?？梢钥闯刹豢蓧嚎s流體 氣體在速度小于100m s時(shí)也可以看做是不可壓縮流體 8 描述流體運(yùn)動(dòng)有哪兩種方法 兩種方法有什么不同 兩種方法是如何轉(zhuǎn)換的 9 什么是流線與跡線 流線有什么性質(zhì) 在什么情況下流線與跡線重合 流線與跡線的方程是什么 如何從流線性質(zhì)的角度解釋非流線型物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)形狀阻力大 10 什么是物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 拉格朗日描述和歐拉描述下有何不同 11 在歐拉法中 質(zhì)點(diǎn)加速度由哪兩部分組成的 12 什么是平均流速 為什么要引入平均流速這一概念 13 均勻流一定是恒定流 定常流 非均勻流一定是非定常流 這種說(shuō)法是否正確 如何判別流動(dòng)是均勻流還是非均勻 定常還是非定常 14 什么是一維 二維和三維流動(dòng) 什么條件下流體流動(dòng)可以簡(jiǎn)化成一維 二維流動(dòng)是平面流動(dòng)嗎 15 什么是不可壓縮流動(dòng) 如何判別