流體應(yīng)變率張量

1 7運(yùn)動流體應(yīng)變率張量 前面提到過速度梯度 它是流體作一維平行流動時 流體的剪切應(yīng)變率分量 本節(jié)將討論流體做任意運(yùn)動時的運(yùn)動學(xué)特性 重點(diǎn)介紹運(yùn)動流體的應(yīng)變率張量及其各分量的物理意義 剛體運(yùn)動可分解成 平動和轉(zhuǎn)動流體運(yùn)動 除平動 轉(zhuǎn)動外還有變形 1 7 1亥姆霍茲速度分解定理 V0 V 顯然 是M點(diǎn)相對于M0點(diǎn)的相對速度 流體運(yùn)動雖復(fù)雜 但取一微元體 分析其中的運(yùn)動 將得到一些規(guī)律性認(rèn)識 在時刻t的流場中取一點(diǎn)鄰域中的任意一點(diǎn) 設(shè)M0點(diǎn)的速度為 由泰勒展開 鄰點(diǎn)M的速度 寫成分量形式 用矩陣形式 對稱 反對稱 根據(jù)矩陣運(yùn)算法則 或 其中 流體的應(yīng)變率張量或變形速率張量 對稱的 而 與M0點(diǎn)相同的平動速度 流體變形在M點(diǎn)引起的速度 繞M0點(diǎn)轉(zhuǎn)動在M點(diǎn)引起的速度 這就是亥姆霍茲速度分解定理 是流體的轉(zhuǎn)動角速度矢量 1 7 2流體微團(tuán)運(yùn)動分析 為了方便分析 考慮一些流體的特殊運(yùn)動 t時刻 選正六面體微團(tuán) 如下圖 研究其一側(cè)面abcd 若a點(diǎn)速度為u v 則 a t時刻 b t t時刻 1 線變形分析 相對伸長速度 首先設(shè)只有應(yīng)變率張量中的其它均為0 因此 表示線段的相對伸長率 相對伸長速度 同理 存在各質(zhì)點(diǎn)在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因 經(jīng)過dt時刻 abcd將運(yùn)動到a1b1c1d1 如左圖 ab邊的相對伸長率 分別表示y z方向線段的相對伸長率 各邊的相對伸長 將引起流體微團(tuán)體積膨脹 在 t時刻后 正方形體積 已變?yōu)?如果 表示流體相對體積膨脹率為0 流體是不可壓縮流體 流體微團(tuán)的相對體積膨脹率為 密度不變可簡單地記做 時時 處處 2 角變形分析 角變形速度 考慮應(yīng)變率張量中只有 經(jīng)過dt時刻 abcd將運(yùn)動到a1b1c1d1 產(chǎn)生了角變形 bad的減少量為 平均角變形 剪切 變形率為 意義類似 直角的平均減小率 3 流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)分析 旋轉(zhuǎn)角速度 由于 x y a1b1c1d1近似為菱形 則有 轉(zhuǎn)動角速度為 表示流體微團(tuán)以 x y z 為瞬心 繞平行于z軸旋轉(zhuǎn)的角速度 經(jīng)過dt時刻 abcd將運(yùn)動到a1b1c1d1 對角線ac經(jīng)時間轉(zhuǎn)動了角度 從而 存在不在質(zhì)點(diǎn)連線方向的速度梯度是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和角變形的原因 也有類似的意義 它們?nèi)咭黄鸾M成了角速度矢量 且有 各分量都有明確的物理意義 其中三個代表線段的相對伸長率 速度 三個代表角變形率 速度 三個代表流體本身的自轉(zhuǎn)角速度 另外速度散度代表流體體積相對膨脹率 例 平面流場ux ky uy 0 k為大于0的常數(shù) 分析流場運(yùn)動特征 解 流線方程 線變形 角變形 旋轉(zhuǎn)角速度 x y o 流線是平行與x軸的直線族 無線變形 有角變形 順時針方向為負(fù) 例 平面流場ux ky uy kx k為大于0的常數(shù) 分析流場運(yùn)動特征 解 流線方程 流線是同心圓族 線變形 無線變形 角變形 無角變形 旋轉(zhuǎn)角速度 逆時針的旋轉(zhuǎn) 剛體旋轉(zhuǎn)流動 1 有旋流動 2 無旋流動 即 有旋流動和無旋流動 例 速度場u ay a為常數(shù) v 0 流線是平行于x軸的直線 此流動是有旋流動還是無旋流動 解 是有旋流 x y o ux 相當(dāng)于微元繞瞬心運(yùn)動 例 速度場ur 0 u b r b為常數(shù) 流線是以原點(diǎn)為中心的同心圓 此流場是有旋流動還是無旋流動 解 用直角坐標(biāo) x y o r u v u p 是無旋流 微元平動 小結(jié) 流動作有旋運(yùn)動或無旋運(yùn)動僅取決于每個流體微元本身是否旋轉(zhuǎn) 與整個流體運(yùn)動和流體微元運(yùn)動的軌跡無關(guān) 1 7 3流體運(yùn)動的分類 1 不可壓縮流動和可壓縮流動這是從流體微團(tuán)運(yùn)動分析結(jié)合物理性質(zhì)的角度分類方法 如果流體在運(yùn)動過程中 質(zhì)量不變的情況下 體積相對膨脹率很小 接近于零 意味著密度保持不變 此時可以認(rèn)為流動是不可壓縮的 體積膨脹率為0 則有密度不變可簡單地記做 時時 處處 2 粘性流動和無粘性流動這是從流體運(yùn)動和剪切變形的角度來考慮的分類方法 靜止的流體不呈現(xiàn)粘性 對于運(yùn)動流體 在實際應(yīng)用過程中常通過流體中粘性切應(yīng)力與其它力 主要是流動慣性力 在大小量級上的比較來考慮粘性效應(yīng) 把忽略粘性效應(yīng)的流動稱為無粘性流體流動 簡單地令無粘性流動在流體力學(xué)理論中占有重要地位 3 定常流動和非定常流動這是從物理量對時間t的依賴關(guān)系的角度來考慮的分類方法 流場中速度等物理量不隨時間變化的流動稱為定常流動 數(shù)學(xué)上簡單地表示為定常是相對的 不定常是絕對的 對于隨時間變化緩慢的流動 如大容器的小孔出流等定常流動的研究和處理要比非定常流動要容易得多 4 一維流動 二維流動和三維流動這是從物理量對空間坐標(biāo) x y z 的依賴關(guān)系的角度來考慮的分類方法 如果流動中 所有物理量只與一個空間變量有關(guān) 則稱此流動為一維流動 依次類推 實際工程中很難找到真正一維流動 在微元流管中的流動是最接近一維的流動 有限截面管中流動 有時為了計算方便 僅考慮按截面平均后的量 此時可看作一維流動 或準(zhǔn)一維流動 二維流動包括平面流動和軸對稱流動 三維流動是一種空間流動 5 有旋流動和無旋流動這是從流體微團(tuán)運(yùn)動分析的角度來考慮的分類方法 如果在整個流場中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度為0 則稱此流動為無旋流動 在流速分布已知的情況下可根據(jù)速度的旋度是否為0加以判斷 一般而言 粘性流體的流動總是有旋的 無粘性流體的流動有可能有旋也可能無旋 例如當(dāng)流體既忽略粘性又忽略重力時 從靜止啟動的流動就是無旋的 大氣中的氣旋和海洋環(huán)流等都是典型的有旋運(yùn)動 除了這些分類方法 還有粘性流體運(yùn)動中的層流 湍流 可壓縮流動還有亞聲速和超聲速之分等 1 8流體中的作用力與應(yīng)力張量 按作用方式分為體積力和表面力 1 8 1體積力 體積力的大小與流體的體積或質(zhì)量成正比 與該體積或質(zhì)量之外的流體存在與否無關(guān) 因此體積力是非接觸力 具有外力性質(zhì) x y z A 體積力分布密度 單位是m s2 與加速度單位相同 又稱質(zhì)量力 它是作用在每個流體質(zhì)點(diǎn)上的力 如重力 電磁力 慣性力等 若已知f 則作用在有限體積內(nèi)流體上的總體積力為 重力場中 忽略體積力 慣性力 直線慣性力 曲線慣性力 1 8 2表面力與應(yīng)力 表面力是接觸力 本質(zhì)上是內(nèi)力 但流體與固體接觸面上的表面力 對流體是外力 n 可定義 稱為應(yīng)力矢量 簡稱應(yīng)力 單位N m2 表示t時刻在點(diǎn) x y z 上作用以n為法線的單位面積流體上的表面力 表面力是外界作用在所考察流體接觸面上的力 力的大小和接觸面的大小成正比 與流體質(zhì)量無關(guān) A pn pnn pnt P n n 注 1 pn的下標(biāo)n表示所考察流體面外法線方向 因此 作用在與之接觸的表面應(yīng)力表示為 根據(jù)牛頓第三定律有 所以充分顯示了應(yīng)力的內(nèi)力本質(zhì) 2 在粘性不能忽略的運(yùn)動流體中 pn的作用方向并不與考查面垂直 此時可將分解 一旦pn已知 則作用在整個面上的表面力的合力 1 8 3流場中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力張量 下面將推導(dǎo)應(yīng)力與的關(guān)系 并引出應(yīng)力張量 為研究一點(diǎn)處面元上的表面力 先在流體中以M點(diǎn)為頂點(diǎn)做一個微四面體 如圖 設(shè)MA x MB y MC z ABC的法向單位矢量為 或簡寫為 設(shè) ABC的面積為 S 于是 MBC MCA MAB的面積可分別以 Sx Sy Sz表示為 y p y 四面體體積 受力分析作用在四面體上的力有表面力和質(zhì)量力 包括慣性力 表面力與面積成正比 為二階小量 質(zhì)量力與體積成正比為三階小量 當(dāng)四面體縮小為一點(diǎn) 忽略三階小量 則表面力的合力將等于0 則有 由 得 在直角坐標(biāo)系中的投影 寫成矩陣形式 現(xiàn)將上式寫成為 其中 稱為應(yīng)力張量 分量第一個下標(biāo)表示應(yīng)力作用面法向 第二個下標(biāo)表示應(yīng)力的投影方向 根據(jù)力矩平衡 表明了表面應(yīng)力與外法向單位矢量的關(guān)系 除了表示二者之間的關(guān)系外還引入了應(yīng)力張量 且應(yīng)力張量不再與有關(guān) 并只與空間點(diǎn)位置和時間有關(guān) 由九個分量組成的應(yīng)力張量完全表達(dá)了給定點(diǎn)M及給定時刻的應(yīng)力狀態(tài) 一旦該時刻在該處的面積元從而其外法向單位矢量確定后 則該面積元上的應(yīng)力就隨之確定 不再與有關(guān) 它只是空間點(diǎn)M及時間t的函數(shù) 自然 應(yīng)力張量各分量與坐標(biāo)系的選擇有關(guān) 但正如矢量的分量也與坐標(biāo)的選取有關(guān) 矢量本身與坐標(biāo)選取無關(guān)一樣 應(yīng)力張量也不依賴于坐標(biāo)的選取 它們只是時間和空間點(diǎn)函數(shù) 1 8 4靜止流體與運(yùn)動的無粘性流體中的應(yīng)力張量 六個切應(yīng)力分量均為0 由于流體只能承受壓力而不能承受拉力 因此令 于是 壓強(qiáng) 上式說明了流體中靜壓力的兩個重要特性 流場中一點(diǎn)靜壓強(qiáng) 壓力 大小各向等值 即與過同一點(diǎn)作用面的方位無關(guān) 因此p是個標(biāo)量物理量 它只是該點(diǎn)的空間坐標(biāo)的函數(shù) 2 一點(diǎn)上的靜壓 壓力 總是垂直指向過該點(diǎn)的作用面 例題 流體內(nèi)某處的應(yīng)力張量為 問 作用于平面x 3y z 1外側(cè) 離開原點(diǎn)一側(cè) 上的應(yīng)力矢量是什么 這個平面上的應(yīng)力矢量的法向和切向分量是什么 解 對平面x 3y z 1外側(cè)法向矢量為 故 該應(yīng)力矢量在平面x 3y z 1外側(cè)法向分量為 又設(shè)應(yīng)力矢量的切向分量為 則 故 復(fù)習(xí)思考題 1 何為連續(xù)介質(zhì) 流體力學(xué)中為什么要引入連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 什么條件下不可以應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 2 流體力學(xué)有哪些研究方法 各方法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么 3 什么是牛頓內(nèi)摩擦定律 它的應(yīng)用條件是什么 什么是牛頓流體和非牛頓流體 4 流體的動力粘性系數(shù)和運(yùn)動粘性系數(shù)有何不同 各自的單位是什么 5 流體粘性與哪些因素有關(guān) 它們隨溫度是如何變化的 一 概念 6 什么是理想流體 為什么要引進(jìn)理想流體這一概念 理想流體有無能量損失 7 什么情況下要考慮流體的壓縮性 為什么液體通?？梢钥闯刹豢蓧嚎s流體 氣體在速度小于100m s時也可以看做是不可壓縮流體 8 描述流體運(yùn)動有哪兩種方法 兩種方法有什么不同 兩種方法是如何轉(zhuǎn)換的 9 什么是流線與跡線 流線有什么性質(zhì) 在什么情況下流線與跡線重合 流線與跡線的方程是什么 如何從流線性質(zhì)的角度解釋非流線型物體在運(yùn)動時形狀阻力大 10 什么是物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 拉格朗日描述和歐拉描述下有何不同 11 在歐拉法中 質(zhì)點(diǎn)加速度由哪兩部分組成的 12 什么是平均流速 為什么要引入平均流速這一概念 13 均勻流一定是恒定流 定常流 非均勻流一定是非定常流 這種說法是否正確 如何判別流動是均勻流還是非均勻 定常還是非定常 14 什么是一維 二維和三維流動 什么條件下流體流動可以簡化成一維 二維流動是平面流動嗎 15 什么是不可壓縮流動 如何判別