《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)的圖象課件.ppt

第二十講三角函數(shù)的圖象 回歸課本 1 作y asin x 的圖象主要有以下兩種方法 1 用 五點(diǎn)法 作圖 用 五點(diǎn)法 作y asin x 的簡圖 主要是通過變量代換 設(shè)z x 由z取0 2 來求出相應(yīng)的x 通過列表 計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo) 描點(diǎn)后得出圖象 2 由函數(shù)y sinx的圖象通過變換得到y(tǒng) asin x 的圖象 有兩種主要途徑 先平移后伸縮 與 先伸縮后平移 方法一 先平移后伸縮y sinxy sin x y sin x y asin x 方法二 先伸縮后平移y sinxy sin xy sin x y asin x 2 y asin x a 0 0 x 0 表示一個振動量時 a叫做振幅 t 叫做周期 叫做頻率 x 叫做相位 x 0時的相位 稱為初相 3 對稱問題y sinx圖象的對稱中心是 k 0 k z 對稱軸方程是x k k z y cosx圖象的對稱中心是 k z 對稱軸方程是x k k z 考點(diǎn)陪練 答案 a 2 若f x sin x 的圖象 部分 如圖所示 則 和 的取值是 答案 c 答案 c 4 2010 四川 將函數(shù)y sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度 再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍 縱坐標(biāo)不變 所得圖象的函數(shù)解析式是 答案 c 答案 c 類型一 五點(diǎn)法 作圖解題準(zhǔn)備 根據(jù)三角函數(shù)的圖象在一個周期內(nèi)的最高點(diǎn) 最低點(diǎn)及與x軸的三個交點(diǎn)來作圖 即先確定這五個點(diǎn)來作這個函數(shù)的圖象 其一般步驟是 1 令 x 分別等于0 2 求出對應(yīng)的x值和y值 即求出對應(yīng)的五點(diǎn) 2 在坐標(biāo)系中描出這五個關(guān)鍵點(diǎn) 用平滑的曲線順次連接 得函數(shù)y asin x 在一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象 3 將所得圖象向兩邊擴(kuò)展 得y asin x 在r上的圖象 典例1 作出函數(shù)的一個周期內(nèi)的圖象 分析 考查 五點(diǎn)法 作圖 反思感悟 用 五點(diǎn)法 作正 余弦函數(shù)的圖象要注意以下幾點(diǎn) 先將解析式化為y asin x 或y acos x 的形式 周期 振幅a a 0 列出一個周期的五個特殊點(diǎn) 描點(diǎn) 用平滑曲線連線 類型二三角函數(shù)的圖象變換解題準(zhǔn)備 三角函數(shù)的圖象變換包括平移和伸縮兩類變換 具體有以下三種變換 1 相位變換 y sinx的圖象向左 0 或向右 1 到原來的倍 縱坐標(biāo)不變 得到y(tǒng) sin x的圖象 3 振幅變換 y sinx圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長 a 1 或縮短 0 a 1 到原來的a倍 橫坐標(biāo)不變 得到y(tǒng) asinx的圖象 分析 先化異名為同名 后作變換 反思感悟 對于y f x 的圖象 若將圖象平移a a 0 個單位 當(dāng)向左平移則把x換成x a 當(dāng)向右平移則把x換成x a 其他任何數(shù)值和符號不變 若將圖上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 倍 1 則只需將x換成 若將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 1 則只需將x換成 x即可 類型三三角函數(shù)y asin x 的解析式解題準(zhǔn)備 給出圖象求解析式y(tǒng) asin x b的難點(diǎn)在于 的確定 本質(zhì)為待定系數(shù)法 基本方法是 五點(diǎn)法 運(yùn)用 五點(diǎn) 中的一點(diǎn)確定 圖象變換法 即已知圖象是由哪個函數(shù)的圖象經(jīng)過變換得到的 通?？捎闪阒迭c(diǎn)或最值點(diǎn)確定 有時從找 五點(diǎn)法 中的第一零值點(diǎn)作為突破口 要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一零值點(diǎn)的位置 典例3 下圖為y asin x 的圖象的一段 求其解析式 分析 確定a 若以n為五點(diǎn)法作圖中的第一零點(diǎn) 由于此時曲線是先下降后上升 類似于y sinx的圖象 所以a0 而 可由相位來確定 2 由此題兩種解法可見 在由圖象求解析式時 第一零點(diǎn) 的確定是很重要的 盡量使a取正值 由f x asin x a 0 0 的一段圖象 求其解析式時 a比較容易看圖得出 困難的是求待定系數(shù) 和 常用如下兩種方法 如果圖象明確指出了周期t的大小和 零點(diǎn) 坐標(biāo) 那么由 即可求出 確定 時 若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升 或下降 的零點(diǎn)橫坐標(biāo)x0 則令 x0 0 或 x0 即可求出 代入點(diǎn)的坐標(biāo) 利用一些已知點(diǎn) 最高點(diǎn) 最低點(diǎn)或零點(diǎn) 坐標(biāo)代入解析式 再結(jié)合圖形解出 和 若對a 的符號或?qū)?的范圍有要求 則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求 3 利用圖象特征確定函數(shù)解析式y(tǒng) asin k或根據(jù)代數(shù)條件確定解析式時 要注意以下幾種常用方法 振幅a ymax ymin 相鄰兩個最值對應(yīng)的橫坐標(biāo)之差 或者一個單調(diào)區(qū)間的長度為由此推出 的值 確定 值 一般用給定特殊點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式確定 類型四三角函數(shù)圖象的對稱性解題準(zhǔn)備 函數(shù)y asin x 的圖象的對稱問題 1 函數(shù)y asin x 的圖象關(guān)于直線x xk 其中 xk k k z 成軸對稱圖形 也就是說波峰或波谷處且與x軸垂直的直線為其對稱軸 2 函數(shù)y asin x 的圖象關(guān)于點(diǎn) xj 0 其中 xj k k z 成中心對稱圖形 也就是說函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn) 平衡位置點(diǎn) 是其對稱中心 類型五三角函數(shù)模型的常見應(yīng)用解題準(zhǔn)備 三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象 因此在解決實(shí)際問題時有著廣泛的應(yīng)用 如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性 那么它就可以借助三角函數(shù)來描述 三角函數(shù)模型的常見類型有 1 航海類問題 涉及方位角概念 方位角指的是從指正北方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角度 還涉及正 余弦定理 2 與三角函數(shù)圖象有關(guān)的應(yīng)用題 近年全國高考有一解答題正是此類應(yīng)用題 3 引進(jìn)角為參數(shù) 利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理 解決最優(yōu)化問題 即求最值 4 三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用 典例5 已知某海濱浴場的海浪高度y 米 是時間t 0 t 24 單位 小時 的函數(shù) 記作 y f t 下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù) 經(jīng)長期觀測 y f t 的曲線可近似地看成是函數(shù)y acos t b的圖象 1 根據(jù)以上數(shù)據(jù) 求出函數(shù)y acos t b的最小正周期t 振幅a及函數(shù)表達(dá)式 2 依據(jù)規(guī)定 當(dāng)海浪高度高于1米時才可對沖浪愛好者開放 請依據(jù) 1 的結(jié)論 判斷一天內(nèi)的8 00到20 00之間 有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動 解 1 由表中數(shù)據(jù) 知周期t 12 由t 0 y 1 5 得a b 1 5 由t 3 y 1 0 得b 1 由 得a 0 5 b 1 振幅為 2 由題知 當(dāng)y 1時才可對沖浪者開放 2k k z 即12k 3 t 12k 3 k z 0 t 24 故可令 中k分別為0 1 2 得0 t 3或9 t 15或21 t 24 在規(guī)定時間8 00至20 00之間 有6個小時的時間可供沖浪者運(yùn)動 即9 00至15 00 錯源一未抓住平移對象而致誤 典例1 將函數(shù)的圖象沿x軸向左平移個單位 求所得圖象的解析式 剖析 此題出錯率極高 主要原因是未抓住函數(shù)圖象平移是針對自變量x而言的 錯源二伸縮變換中記憶不準(zhǔn)而致錯 剖析 錯解一 錯在變換公式記憶錯誤 錯解二 錯誤較多 不僅變換公式記憶錯誤 還不清楚變換是針對自變量x的 錯源三抓不住對稱變換中針對對象而致錯 剖析 錯在前也加了負(fù)號 將函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱 只是在自變量x前加負(fù)號 其他處都不變 評析 若將函數(shù)y sin x 的圖象關(guān)于y軸對稱 所得圖象的解析式為y sin x 若將函數(shù)y sin x 的圖象關(guān)于x軸對稱 所得圖象的解析式為y sin x 技法 四看 解決圖象平移問題一看 平移要求拿到這類問題 首先要看題目要求由哪個函數(shù)圖象平移到哪個函數(shù)圖象 這是判斷移動方向的關(guān)鍵點(diǎn) 一般題目會有下面兩種常見的敘述 解析 上面兩題是平移問題兩種典型的敘述方法 粗看兩題好像差不多 其實(shí)兩題的要求是不同的 第 1 題是要把函數(shù)y sin2x移到而第 2 題是要把函數(shù)移到y(tǒng) sin2x 兩題平移的要求不同 第 1 題是基本形式 應(yīng)該選d 而第 2 題是它的反形式 故選c 答案 1 d 2 c 二看 函數(shù)形式我們在解決這類問題時 一定要依賴y asin x 的形式 如果題目給定的函數(shù)不是這樣的形式 就要化為y asin x 的形式 再考慮平移 解析 此題主要是函數(shù)形式的變化 我們所研究的兩個函數(shù)必須都是形如y asin x 的形式