1-2-1 正、余弦定理在實(shí)際應(yīng)用中的應(yīng)用.ppt

1 2應(yīng)用舉例第1課時(shí)正 余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用 1 熟練掌握正 余弦定理 2 能夠運(yùn)用正 余弦定理等知識(shí)和方法求解距離 角度 高度等問題 1 應(yīng)用正 余弦定理解與三角形有關(guān)的問題在高考中有所加強(qiáng) 2 以解答題形式考查測量問題 1 正弦定理指出了三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式 這個(gè)關(guān)系式是2 余弦定理的公式是 3 在 ABC中 若a2 b2 c2 則角C是 若a2 b2 c2 則角C是 若a2 b2 c2 則角C是 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcos C 銳角 鈍角 直角 1 基線 1 定義 在測量上 根據(jù)需要適當(dāng)確定的線段叫做基線 2 性質(zhì) 在測量過程中 要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的 使測量具有較高的 一般來說 基線越長 測量的精確度越 測量 精確度 基線 長度 高 2 對(duì)實(shí)際應(yīng)用問題中的一些名稱 術(shù)語的含義的理解 1 坡角 坡向與水平方向的夾角 如圖 2 仰角和俯角 在視線和水平線所成角中 視線在水平線上方的角叫仰角 在水平線下方的角叫俯角 如圖 3 方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角 如圖中B點(diǎn)的方位角為 4 方向角 從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90 的水平角 如南偏西60 指以正南方向?yàn)槭歼?順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60 如圖中 ABC為北偏東60 或?yàn)闁|偏北30 3 正弦定理 余弦定理在實(shí)際測量中應(yīng)用很廣 主要學(xué)習(xí)它們?cè)跍y量 等問題中的一些應(yīng)用 距離 高度 角度 1 如下圖所示 已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm 燈塔A在觀察站C的北偏東20 燈塔B在觀察站C的南偏東40 則燈塔A與燈塔B的距離為 答案 B 答案 D 3 如圖所示 為了測量河的寬度 在一側(cè)岸邊選定兩點(diǎn)A B 在另一側(cè)岸邊選定點(diǎn)C 測得 CAB 30 CBA 75 AB 120m 則河的寬度為 答案 60m 4 如圖 在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45 方向 距A處 1 海里的B處有一艘走私船 在A處北偏西75 方向 距A處2海里的C處的我方緝私船 奉命以10海里 小時(shí)的速度追截走私船 此時(shí)走私船正以10海里 小時(shí)的速度從B處向北偏東30 方向逃竄 問 緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船 并求出所需時(shí)間 一商船行至索馬里海域時(shí) 遭到海盜的追擊 隨即發(fā)出求救信號(hào) 正在該海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的海軍 黃山 艦在A處獲悉后 即測出該商船在方位角為45 距離10海里的C處 并沿方位角為105 的方向 以9海里 時(shí)的速度航行 黃山 艦立即以21海里 時(shí)的速度前去營救 求 黃山 艦靠近商船所需要的最少時(shí)間及所經(jīng)過的路程 解題過程 如圖所示 若 黃山 艦以最少時(shí)間在B處追上商船 則A B C構(gòu)成一個(gè)三角形 設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí) 則AB 21t BC 9t 又已知AC 10 依題意知 ACB 120 根據(jù)余弦定理 AB2 AC2 BC2 2 AC BCcos ACB 21t 2 102 9t 2 2 10 9tcos120 21t 2 100 81t2 90t 即360t2 90t 100 0 題后感悟 1 將追及問題轉(zhuǎn)化為三角形問題 即可把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 這樣借助于正弦定理或余弦定理 就容易解決問題了 最后要把數(shù)學(xué)問題還原到實(shí)際問題中去 2 測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題 一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問題 從而運(yùn)用正弦定理去解決 3 測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題 一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長的問題 然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測量問題 然后運(yùn)用正弦定理解決 如圖所示 A B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn) 相距800m 在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45 BAD 120 又在B點(diǎn)測得 ABD 45 其中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足 求山高CD 題后感悟 解決測量高度問題的一般步驟是 在解題中 要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí) 注意方程思想的運(yùn)用 2 在某一山頂觀測山下兩村莊A B 測得A的俯角為30 B的俯角為40 觀測A B兩村莊的視角為50 已知A B在同一海平面上且相距1000米 求山的高度 精確到1米 sin40 0 643 畫出示意圖 在三角形中利用正 余弦定理求有關(guān)角度進(jìn)而解決問題 題后感悟 在充分理解題意的基礎(chǔ)上畫出大致圖形 由問題中的有關(guān)量提煉出三角形中的元素 用余弦定理 勾股定理解三角形 2 解三角形應(yīng)用題的步驟 準(zhǔn)確理解題意 分清已知與所求 尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語 畫出示意圖 并將已知條件在圖形中標(biāo)出 分析與所研究的問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形 通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理正確求解 并作答 特別提醒 在解題時(shí)要注意公式的選擇 使解題過程盡可能簡化 盡量避免討論 某觀測站C在城A的南偏西20 的方向 由城A出發(fā)的一條公路 走向是南偏東40 在C處測得公路上B處有一人 距C為31