高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修2-1：2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.ppt

2 2橢圓2 2 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 通過圖片我們看到 在我們所生活的世界中 隨處可見橢圓這種圖形 而且我們也已經(jīng)知道了橢圓的大致形狀 那么我們能否動(dòng)手畫一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓呢 1 了解橢圓的實(shí)際背景 感受橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用 重點(diǎn) 2 掌握橢圓的定義 會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 重點(diǎn) 難點(diǎn) 實(shí)驗(yàn)操作 1 取一條定長的細(xì)繩 2 把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處 3 套上鉛筆 拉緊繩子 移動(dòng)筆尖 這時(shí)筆尖 動(dòng)點(diǎn) 畫出的軌跡是一個(gè)圓 如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離 分別固定在圖板的兩點(diǎn)處套上鉛筆 拉緊繩子 移動(dòng)筆尖 畫出的軌跡是橢圓 探究點(diǎn)1橢圓的定義 根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)請(qǐng)同學(xué)們回答下面幾個(gè)題 1 在畫橢圓的過程中 細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的 2 在畫橢圓的過程中 繩子的長度變了沒有 說明了什么 3 在畫橢圓的過程中 繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系 思考 結(jié)合實(shí)驗(yàn) 請(qǐng)同學(xué)們思考 橢圓是怎樣定義的 橢圓定義 我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離的和等于常數(shù) 大于 F1F2 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2叫做橢圓的焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 MF1 MF2 F1F2 橢圓 MF1 MF2 F1F2 線段 MF1 MF2 F1F2 不存在 思考 在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離之和等于定值2a的點(diǎn)的軌跡是否一定為橢圓 提升總結(jié) 探究點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 根據(jù)橢圓的定義如何求橢圓的方程呢 思考 求曲線的方程的基本步驟是什么呢 1 建系設(shè)點(diǎn) 2 寫出點(diǎn)集 3 列出方程 4 化簡方程 5 檢驗(yàn) 第一步 如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系呢 想一想 圓的最簡單的標(biāo)準(zhǔn)方程 是以圓的兩條相互垂直的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸 橢圓是否可以采用類似的方法呢 方案一 設(shè)M x y 是橢圓上任意一點(diǎn) 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2 橢圓的焦距為2c c 0 M與F1和F2的距離的和等于2a 2a 2c 0 請(qǐng)同學(xué)們自己完成剩下的步驟 求出橢圓的方程 解 以焦點(diǎn)F1 F2的所在直線為x軸 線段F1F2的垂直平分線為y軸 建立平面直角坐標(biāo)系xOy 如圖 設(shè)M x y 是橢圓上任意一點(diǎn) 橢圓的焦距為2c c 0 M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a 2a 2c 則F1 F2的坐標(biāo)分別是 c 0 c 0 x F1 F2 M O y 由橢圓的定義得 因?yàn)?移項(xiàng) 再平方 整理得 兩邊再平方 得 它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 1 2 y o F F M x 1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 左邊是兩個(gè)分式的平方和 右邊是1 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 x2與y2的分母哪一個(gè)大 則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上 3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a b c滿足a2 b2 c2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些特征呢 提升總結(jié) 例1已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 2 0 2 0 并且經(jīng)過點(diǎn) 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上 所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知 又因?yàn)?所以 因此 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以 能用其他方法求它的方程嗎 另解 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上 所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 聯(lián)立 因此 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 又 焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 變式練習(xí) 已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)和 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 則有 解得 所以 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x y O D M P 例2如圖 在圓上任取一點(diǎn)P 過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD D為垂足 當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí) 線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么 為什么 解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 x y 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 x0 y0 則 因?yàn)辄c(diǎn)P x0 y0 在圓 把點(diǎn) 0 x y0 2y代入方程 得 即 所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓 從例2你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎 例3如圖 設(shè)點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別是 5 0 和 5 0 直線AM BM相交于點(diǎn)M 且它們的斜率之積是 求點(diǎn)M的軌跡方程 y A x M B O 解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo) x y 因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是 5 0 所以 直線AM的斜率為 同理 直線BM的斜率 由已知有 化簡 得點(diǎn)M的軌跡方程為 1 已知F1 F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 過F1的直線交橢圓于M N兩點(diǎn) 則三角形MNF2的周長為 A 10B 20C 30D 40 B D 2 橢圓的長軸是短軸的3倍 且過點(diǎn)A 3 0 則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 答案 3 已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓 它的焦距為2 4m 外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為3m 求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 以兩個(gè)焦點(diǎn)F1 F2所在的直線為x軸 以線段F1F2的垂直平分線為y軸 建立直角坐標(biāo)系 則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 根據(jù)題意知 2a 3 2c 2 4 即a 1 5 c 1 2 所以b2 a2 c2 1 52 1 22 0 81