高中數(shù)學新課標人教A版選修2-1：2.2.1 橢圓及其標準方程.ppt

2 2橢圓2 2 1橢圓及其標準方程 通過圖片我們看到 在我們所生活的世界中 隨處可見橢圓這種圖形 而且我們也已經知道了橢圓的大致形狀 那么我們能否動手畫一個標準的橢圓呢 1 了解橢圓的實際背景 感受橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用 重點 2 掌握橢圓的定義 會求橢圓的標準方程 重點 難點 實驗操作 1 取一條定長的細繩 2 把它的兩端都固定在圖板的同一點處 3 套上鉛筆 拉緊繩子 移動筆尖 這時筆尖 動點 畫出的軌跡是一個圓 如果把細繩的兩端拉開一段距離 分別固定在圖板的兩點處套上鉛筆 拉緊繩子 移動筆尖 畫出的軌跡是橢圓 探究點1橢圓的定義 根據(jù)剛才的實驗請同學們回答下面幾個題 1 在畫橢圓的過程中 細繩的兩端的位置是固定的還是運動的 2 在畫橢圓的過程中 繩子的長度變了沒有 說明了什么 3 在畫橢圓的過程中 繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系 思考 結合實驗 請同學們思考 橢圓是怎樣定義的 橢圓定義 我們把平面內與兩個定點F1 F2的距離的和等于常數(shù) 大于 F1F2 的點的軌跡叫做橢圓 兩個定點F1 F2叫做橢圓的焦點 兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 MF1 MF2 F1F2 橢圓 MF1 MF2 F1F2 線段 MF1 MF2 F1F2 不存在 思考 在平面內動點M到兩個定點F1 F2的距離之和等于定值2a的點的軌跡是否一定為橢圓 提升總結 探究點2橢圓的標準方程 根據(jù)橢圓的定義如何求橢圓的方程呢 思考 求曲線的方程的基本步驟是什么呢 1 建系設點 2 寫出點集 3 列出方程 4 化簡方程 5 檢驗 第一步 如何建立適當?shù)淖鴺讼的?想一想 圓的最簡單的標準方程 是以圓的兩條相互垂直的對稱軸為坐標軸 橢圓是否可以采用類似的方法呢 方案一 設M x y 是橢圓上任意一點 橢圓的兩個焦點分別為F1和F2 橢圓的焦距為2c c 0 M與F1和F2的距離的和等于2a 2a 2c 0 請同學們自己完成剩下的步驟 求出橢圓的方程 解 以焦點F1 F2的所在直線為x軸 線段F1F2的垂直平分線為y軸 建立平面直角坐標系xOy 如圖 設M x y 是橢圓上任意一點 橢圓的焦距為2c c 0 M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a 2a 2c 則F1 F2的坐標分別是 c 0 c 0 x F1 F2 M O y 由橢圓的定義得 因為 移項 再平方 整理得 兩邊再平方 得 它表示焦點在y軸上的橢圓 它表示焦點在x軸上的橢圓 1 2 y o F F M x 1 橢圓的標準方程的形式 左邊是兩個分式的平方和 右邊是1 2 橢圓的標準方程中 x2與y2的分母哪一個大 則焦點在哪一個軸上 3 橢圓的標準方程中a b c滿足a2 b2 c2 橢圓的標準方程有哪些特征呢 提升總結 例1已知橢圓的兩個焦點坐標分別是 2 0 2 0 并且經過點 求它的標準方程 解 因為橢圓的焦點在x軸上 所以設它的標準方程為 由橢圓的定義知 又因為 所以 因此 所求橢圓的標準方程為 所以 能用其他方法求它的方程嗎 另解 因為橢圓的焦點在x軸上 所以設它的標準方程為 聯(lián)立 因此 所求橢圓的標準方程為 又 焦點的坐標為 變式練習 已知橢圓經過兩點和 求橢圓的標準方程 解 設橢圓的標準方程為 則有 解得 所以 所求橢圓的標準方程為 x y O D M P 例2如圖 在圓上任取一點P 過點P作x軸的垂線段PD D為垂足 當點P在圓上運動時 線段PD的中點M的軌跡是什么 為什么 解 設點M的坐標為 x y 點P的坐標為 x0 y0 則 因為點P x0 y0 在圓 把點 0 x y0 2y代入方程 得 即 所以點M的軌跡是一個橢圓 從例2你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關系嗎 例3如圖 設點A B的坐標分別是 5 0 和 5 0 直線AM BM相交于點M 且它們的斜率之積是 求點M的軌跡方程 y A x M B O 解 設點M的坐標 x y 因為點A的坐標是 5 0 所以 直線AM的斜率為 同理 直線BM的斜率 由已知有 化簡 得點M的軌跡方程為 1 已知F1 F2是橢圓的兩個焦點 過F1的直線交橢圓于M N兩點 則三角形MNF2的周長為 A 10B 20C 30D 40 B D 2 橢圓的長軸是短軸的3倍 且過點A 3 0 則橢圓的標準方程是 答案 3 已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓 它的焦距為2 4m 外輪廓線上的點到兩個焦點的距離和為3m 求這個橢圓的標準方程 解 以兩個焦點F1 F2所在的直線為x軸 以線段F1F2的垂直平分線為y軸 建立直角坐標系 則這個橢圓的標準方程為 根據(jù)題意知 2a 3 2c 2 4 即a 1 5 c 1 2 所以b2 a2 c2 1 52 1 22 0 81