《走向清華北大》高考總復習 平面向量的基本定理及坐標表示課件.ppt

第二十四講平面向量的基本定理及坐標表示 回歸課本 1 平面向量基本定理及坐標表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量 那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a 有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共線的向量e1 e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 2 平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個單位向量e1 e2作為基底 對于平面內(nèi)的一個向量a 有且只有一對實數(shù)a1 a2 使a a1e1 a2e2 把有序數(shù)對 a1 a2 叫做向量a的坐標 記作a a1 a2 其中a1叫a在x軸上的坐標 a2叫a在y軸上的坐標 設 a1e1 a2e2 則向量的坐標 a1 a2 就是終點a的坐標 即若 a1 a2 則a點坐標為 a1 a2 反之亦成立 o是坐標原點 2 平面向量的坐標運算 1 加法 減法 數(shù)乘運算 2 向量坐標的求法已知a x1 y1 b x2 y2 則 x2 x1 y2 y1 即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去始點的坐標 3 平面向量共線的坐標表示設a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 則a與b共線 a b x1y2 x2y1 0 考點陪練 1 下列各組向量中 可以作為基底的是 a e1 0 0 e2 1 2 b e1 1 2 e2 5 7 c e1 3 5 e2 6 10 d e1 2 3 e2 解析 根據(jù)基底的定義知 非零且不共線的兩個向量才可以作為平面內(nèi)的一組基底 a中顯然e1 e2 c中e2 2e1 所以e1 e2 d中e1 4e2 所以e1 e2 答案 b 2 已知a 2 3 b 1 5 則3a b等于 a 5 14 b 5 14 c 7 4 d 5 9 解析 3a b 3 2 3 1 5 6 9 1 5 5 14 答案 a 3 設a 1 2 b 3 4 c 3 2 則 a 2b c a 15 12 b 0c 3d 11解析 a 2b 1 2 2 3 4 5 6 a 2b c 3 答案 c 答案 2 類型一平面向量基本定理的應用解題準備 已知e1 e2是平面的一組基底 如果向量a e1 e2共面 那么有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 反之 如果有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 那么a e1 e2共面 這是平面向量基本定理的一個主要考查點 也是高考本部分知識考查的重點內(nèi)容 反思感悟 1 本題先利用平面向量基本定理設出未知向量 然后利用共線向量的條件列出方程組 通過待定系數(shù)法從而確定參數(shù)的值 2 由平面向量基本定理知 平面內(nèi)的任一向量都可用兩個不共線的向量惟一表示 根據(jù)向量的加法和減法法則及幾何性質(zhì)即可解題 類型二平面向量的坐標運算解題準備 向量的坐標運算 使得向量的線性運算都可用坐標來進行 實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化 將數(shù)與形緊密結合起來 就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算 反思感悟 由a b c三點坐標易求得坐標 再根據(jù)向量坐標的定義就可以求出m n的坐標 向量的坐標是向量的另一種表示形式 它只與起點 終點 相對位置有關 三者中給出任意兩個 可求第三個 在求解時 應將向量坐標看作一 整體 運用方程的思想求解 向量的坐標運算是向量中最常用也是最基本的運算 必須靈活應用 類型三平面向量共線的坐標表示解題準備 兩平面向量共線的充要條件有兩種形式 若a x1 y1 b x2 y2 則a b的充要條件是x1y2 x2y1 0 若a b a 0 則b a 典例3 平面內(nèi)給定三個向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 回答下列問題 1 求3a b 2c 2 求滿足a mb nc的實數(shù)m n 3 若 a kc 2b a 求k 4 若 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 直接用向量加減法的坐標運算公式 2 借助于向量相等的條件 建立關于m n的方程組 3 利用向量共線的充要條件 建立關于實數(shù)k的充要條件 4 利用 d c a b 及 d c 1建立關于x y的方程組 解 1 3a b 2c 3 3 2 1 2 2 4 1 9 6 1 2 8 2 9 1 8 6 2 2 0 6 2 a mb nc 3 2 m 1 2 n 4 1 m 4n 2m n 3 a kc 2b a 又a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 k 4 設d x y d c x 4 y 1 a b 2 4 又 d c a b 且 d c 1 反思感悟 向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示 在引入向量的坐標表示后 可以使向量的運算完全化為代數(shù)運算 這樣就可以將 形 和 數(shù) 緊密結合在一起 因此 很多幾何問題 特別是共線 共點等較難問題的證明 通過建立坐標系 設出點的坐標就可轉(zhuǎn)化為坐標運算來解決 如 要證平行 只需相關向量共線 要證垂直 只需相關向量數(shù)量積等于0 錯源一遺漏零向量 典例1 若a 3 2 m 與b m m 平行 求m的值 錯解 因為b m m m 1 1 令c 1 1 b c 又a b 所以a c 即3 1 1 2 m 0 解得m 5 剖析 零向量與任一向量平行 當m 0時 b為零向量 也與a平行 正解 由a b 得 3m m 2 m 0 即m2 5m 0 解得m 5或m 0 所以m的值為0或5 評析 零向量與任一向量都是平行 共線 向量 這是在解題中常常容易被忽視的 錯源二忽視平面向量基本定理的使用條件致誤 剖析 本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決 但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時 容易忽視平面向量基本定理的使用條件 出現(xiàn)漏解 漏掉了當a b共線時 t可為任意實數(shù)這個解 正解 由題設知 d c 2b 3a e c t 3 a tb c d e三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k 使得即 t 3 a tb 3ka 2kb 整理得 t 3 3k a 2k t b 若a b共線 則t可為任意實數(shù) 若a b不共線 則有解之得綜上 a b共線時 t可為任意實數(shù) a b不共線時 評析 平面向量基本定理如果e1 e2是一平面內(nèi)的兩個不共線向量 那么對該平面內(nèi)的任一向量a 有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 特別地 當a 0時 1 2 0 本題在a b不共線時 就是根據(jù)這個定理得出的方程組 在平面向量的知識體系里 平面向量基本定理是基石 共線向量定理是重要工具 在復習這部分時要充分注意這兩個定理在解決問題中的作用 在使用平面向量基本定理時要注意其使用是兩個基向量不共線 技法一基向量法 典例1 在下圖中 對于平行四邊形abcd 點m是ab的中點 點n在