第十一章 第1講 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)受迫振動(dòng)

選修3 4第十一章振動(dòng)和波相對(duì)論簡(jiǎn)介第1講簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)受迫振動(dòng) 知識(shí)點(diǎn)1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)單擺 周期公式 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體在跟位移大小成正比并且總是指向平衡位置的回復(fù)力作用下的振動(dòng) 2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征 1 動(dòng)力學(xué)特征 回復(fù)力與位移大小成 比 總指向 2 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征 x v a均按 或余弦 規(guī)律發(fā)生周期性變化 注意v a的變化趨勢(shì)相反 3 能量特征 系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 振幅A不變 正 平衡位 置 正弦 3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩種模型 質(zhì)量 回復(fù)力 伸長(zhǎng) 足夠小 F kx 知識(shí)點(diǎn)2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的公式和圖像 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式 1 動(dòng)力學(xué)表達(dá)式 F kx 其中 表示回復(fù)力與 的方向相反 2 運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式 x Asin t 其中A代表 表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的快慢 t 代表簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位 叫做 位移 振幅 初相 2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像 1 從 開(kāi)始計(jì)時(shí) 函數(shù)表達(dá)式為x Asin t 圖像如圖甲所示 2 從 處開(kāi)始計(jì)時(shí) 函數(shù)表達(dá)式為x Acos t 圖像如圖乙所示 平衡位置 最大位移 知識(shí)點(diǎn)3受迫振動(dòng)和共振 1 受迫振動(dòng) 1 概念 振動(dòng)系統(tǒng)在周期性 作用下的振動(dòng) 2 特點(diǎn) 受迫振動(dòng)的頻率等于 的頻率 跟系統(tǒng)的固有頻率 驅(qū)動(dòng)力 驅(qū)動(dòng)力 無(wú)關(guān) 2 共振 1 現(xiàn)象 當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于系統(tǒng)的 時(shí) 受迫振動(dòng)的振幅最大 2 條件 驅(qū)動(dòng)力的頻率等于 3 特征 共振時(shí)振幅 4 共振曲線 如圖所示 固有頻率 固有頻率 最大 思考辨析 1 機(jī)械振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 2 彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 加速度最大時(shí) 速度最大 3 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子 若兩時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等 方向相同 則兩時(shí)刻時(shí)間差一定等于周期的整數(shù)倍 4 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺 振幅越大周期越大 5 擺球的質(zhì)量增加為原來(lái)的4倍 擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)速度減為原來(lái)的時(shí) 則單擺的頻率不變 振幅不變 6 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的水平彈簧振子 在半個(gè)周期內(nèi) 彈力做的功一定為零 7 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像代表質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)軌跡 分析 只有滿足F kx關(guān)系的回復(fù)力作用下的機(jī)械振動(dòng)才是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 故 1 錯(cuò) 彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 加速度最大時(shí) 速度最小 故 2 錯(cuò) 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子 若兩時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等 方向相同 由振動(dòng)圖像可知兩時(shí)刻時(shí)間差不一定等于周期的整數(shù)倍 故 3 錯(cuò) 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺 周期與振幅無(wú)關(guān) 故 4 錯(cuò) 在平衡位置 即最低點(diǎn) 時(shí)的動(dòng)能當(dāng)m增為原來(lái)的4倍 速度減為原來(lái)的 時(shí) 動(dòng)能不變 最高點(diǎn)的重力勢(shì)能也不變 但是由于擺球的質(zhì)量增大了 勢(shì)能Ep mgh不變 m大了 h就一定變小了 也就是說(shuō) 振幅減小了 故 5 錯(cuò) 根據(jù)動(dòng)能定理 在某一段時(shí)間內(nèi)彈力做的功等于振子的動(dòng)能的增量 在時(shí)間相差半個(gè)周期內(nèi)的兩個(gè)時(shí)刻 振子的速度大小即速率一定相等 所以動(dòng)能不變 在這段時(shí)間內(nèi)彈力做功為零 故 6 對(duì) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像不是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像實(shí)質(zhì)是位移 時(shí)間圖像 故 7 錯(cuò) 考點(diǎn)1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征 考點(diǎn)解讀 1 動(dòng)力學(xué)特征 F kx 表示回復(fù)力的方向與位移方向相反 k是比例系數(shù) 不一定是彈簧的勁度系數(shù) 2 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比而方向相反 為變加速運(yùn)動(dòng) 遠(yuǎn)離平衡位置時(shí) x F a Ep均增大 v Ek均減小 靠近平衡位置時(shí)則相反 深化理解 3 運(yùn)動(dòng)的周期性特征 相隔T或nT的兩個(gè)時(shí)刻振子處于同一位置且振動(dòng)狀態(tài)相同 4 對(duì)稱(chēng)性特征 相隔 n為正整數(shù) 的兩個(gè)時(shí)刻 質(zhì)點(diǎn)所處位置必定與原來(lái)的位置關(guān)于平衡位置對(duì)稱(chēng) 所有的運(yùn)動(dòng)描述量大小相等 如果為矢量則方向相反 質(zhì)點(diǎn)在距平衡位置等距離的兩個(gè)點(diǎn)上具有大小相等的速度 加速度 在平衡位置兩側(cè)相等距離上運(yùn)動(dòng)時(shí)間也是相同的 5 能量特征 振動(dòng)的能量包括動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化 系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 典例透析1 2014 漳州模擬 如圖所示 彈簧下面掛一質(zhì)量為m的物體 物體在豎直方向上做振幅為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 當(dāng)物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí) 彈簧正好為原長(zhǎng) 彈簧在彈性限度內(nèi) 則物體在振動(dòng)過(guò)程中 A 彈簧的最大彈性勢(shì)能等于2mgAB 彈簧的彈性勢(shì)能和物體動(dòng)能總和不變C 物體在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小應(yīng)為2gD 物體在最低點(diǎn)時(shí)的彈力大小應(yīng)為mg 解題探究 1 物體振動(dòng)過(guò)程的對(duì)稱(chēng)性特征 在 位置兩側(cè)等距離的兩個(gè)點(diǎn) 大小相等 2 彈簧振子平衡位置的回復(fù)力 3 物體振動(dòng)過(guò)程的能量特征 系統(tǒng) 守恒 平衡 速度 加速度 回復(fù)力 為零 機(jī)械能 解析 選A 據(jù)機(jī)械能守恒定律可知物體在振動(dòng)過(guò)程中 彈簧的彈性勢(shì)能和物體動(dòng)能 重力勢(shì)能的總和不變 在最低點(diǎn)時(shí)彈性勢(shì)能最大 應(yīng)為2mgA A選項(xiàng)正確 B選項(xiàng)錯(cuò)誤 物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí) 彈簧正好為原長(zhǎng) 物體只受重力作用 加速度大小為g 據(jù)物體振動(dòng)過(guò)程的對(duì)稱(chēng)性可知在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小應(yīng)為g 彈力大小應(yīng)為2mg C D選項(xiàng)錯(cuò)誤 變式訓(xùn)練 2014 三明模擬 光滑的水平面上放有質(zhì)量分別為m和m的兩木塊 下方木塊與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連 彈簧的另一端固定在墻上 如圖所示 已知兩木塊之間的最大靜摩擦力為f 為使這兩個(gè)木塊組成的系統(tǒng)能像一個(gè)整體一樣地振動(dòng) 系統(tǒng)的最大振幅為 解析 選C 由兩木塊之間的最大靜摩擦力為f 以質(zhì)量為m的木塊為研究對(duì)象 可得整體的最大加速度則kA ma 由此得最大振幅故選C 變式備選 如圖所示 在質(zhì)量為M的無(wú)下底的木箱頂部用一輕彈簧懸掛質(zhì)量均為m M m 的A B兩物體 箱子放在水平地面上 平衡后剪斷A B間細(xì)線 此后A將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí) 木箱對(duì)地面的壓力為 A MgB M m gC M m gD M 2m g 解析 選A 由平衡條件可知線斷時(shí)A受到的回復(fù)力為mg 當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)回復(fù)力大小應(yīng)為mg 方向向下 因而此時(shí)彈簧的彈力等于零 木箱對(duì)地的壓力為Mg 故A正確 考點(diǎn)2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像 考點(diǎn)解讀 1 由圖像可以得出質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅 周期 2 可以確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移 3 可以根據(jù)圖像確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)回復(fù)力 加速度和速度的方向 回復(fù)力和加速度的方向 因回復(fù)力總是指向平衡位置 故回復(fù)力和加速度在圖像上總是指向t軸 拓展延伸 速度的方向 速度的方向可以通過(guò)下一時(shí)刻位移的變化來(lái)判定 下一時(shí)刻位移如增加 振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度方向就是遠(yuǎn)離t軸 下一時(shí)刻位移如減小 振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度方向就是指向t軸 典例透析2 2014 南平模擬 如圖所示 一底端有擋板的斜面體固定在水平面上 其斜面光滑 傾角為 一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端固定在擋板上 上端與物塊A連接在一起 物塊B緊挨著物塊A靜止在斜面上 某時(shí)刻將B迅速移開(kāi) A將在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 已知物塊A B的質(zhì)量分別為mA mB 若取沿斜面向上為正方向 移開(kāi)B的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn) 則A的振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的圖像是 解題探究 將B移開(kāi)后 A在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 1 平衡位置時(shí)彈簧壓縮量為 2 A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為 3 開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)刻 A所處的位置是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 最大位移處 負(fù)向 解析 選B 物塊B緊挨著物塊A靜止在斜面上時(shí) 彈簧壓縮量是B移開(kāi)后 A在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 在平衡位置有mAgsin kx 即彈簧壓縮量為因此A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為選項(xiàng)A C錯(cuò)誤 開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)刻 A所處的位置是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)負(fù)向最大位移處 且沿斜面向上為正方向 振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的圖像是B 選項(xiàng)D錯(cuò)誤 總結(jié)提升 利用圖像分析振動(dòng)物理量的方法 1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像不是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像實(shí)質(zhì)是位移 時(shí)間圖像 對(duì)同一振動(dòng)的物體 圖像的形狀與起始時(shí)刻的選取和正方向的規(guī)定有關(guān) 2 要將圖像所提供的信息與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征有機(jī)結(jié)合起來(lái) 并注意發(fā)掘隱含信息 這類(lèi)問(wèn)題一般都需要明確振動(dòng)的周期和振幅及某時(shí)刻速度方向 并在此基礎(chǔ)上沿著x F a Ep Ek思路分析各量的變化 3 分析此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立起振動(dòng)圖像和振動(dòng)過(guò)程的聯(lián)系 結(jié)合初始時(shí)刻的位置 周期和振幅來(lái)計(jì)算一定時(shí)間內(nèi)的路程 若初始時(shí)刻的位置在平衡位置或最大位移處 則路程若初始時(shí)刻的位置不在特殊位置 且時(shí)間不滿足半周期的整數(shù)倍 則路程應(yīng)結(jié)合函數(shù)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算 變式訓(xùn)練 如圖所示為某彈簧振子在0 5s內(nèi)的振動(dòng)圖像 由圖可知 下列說(shuō)法中正確的是 A 振動(dòng)周期為5s 振幅為8cmB 第2s末振子的速度為零 加速度為負(fù)向的最大值C 第3s末振子的速度為正向的最大值D 從第1s末到第2s末振子在做加速運(yùn)動(dòng) 解析 選C 根據(jù)圖像 周期T 4s 振幅A 8cm A錯(cuò)誤 第2s末振子到達(dá)波谷位置 速度為零 加速度最大 但沿x軸正方向 B錯(cuò)誤 第3s末振子經(jīng)過(guò)平衡位置 速度達(dá)到最大 且向x軸正方向運(yùn)動(dòng) C正確 從第1s末到第2s末振子經(jīng)過(guò)平衡位置向下運(yùn)動(dòng)到達(dá)波谷位置 速度逐漸減小 D錯(cuò)誤 考點(diǎn)3受迫振動(dòng)和共振 考點(diǎn)解讀 1 自由振動(dòng) 受迫振動(dòng)和共振的比較 對(duì)比分析 2 共振曲線如圖所示 橫坐標(biāo)為驅(qū)動(dòng)力頻率f驅(qū) 縱坐標(biāo)為振幅A 它直觀地反映了驅(qū)動(dòng)力頻率對(duì)受迫振動(dòng)振幅的影響 由圖可知 f驅(qū)與f固越接近 振幅A越大 當(dāng)f驅(qū) f固時(shí) 振幅A最大 典例透析3 下表表示某受迫振動(dòng)的振幅隨驅(qū)動(dòng)力頻率變化的關(guān)系 若該振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率為f固 則 A f固 60HzB 60Hz f固 70HzC 50Hz f固 60HzD 以上選項(xiàng)都不對(duì) 解題探究 1 振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率由 與 無(wú)關(guān) 2 共振曲線反映振動(dòng)系統(tǒng)的振幅隨驅(qū)動(dòng)力頻率變化的關(guān)系是 系統(tǒng)本身決定 驅(qū)動(dòng)力 驅(qū)動(dòng)力頻率越接近系統(tǒng)的固有頻率 系統(tǒng)的振幅越大 解析 選C 由如圖所示的共振曲線可判斷出f驅(qū)與f固相差越大 受迫振動(dòng)的振幅越小 f驅(qū)與f固越接近 受迫振動(dòng)的振幅越大 并從中看出f驅(qū)越接近f固 振幅的變化越慢 比較各組數(shù)據(jù)知f驅(qū)在50 60Hz范圍內(nèi)時(shí) 振幅變化最小 因此 50Hz f固 60Hz 故C正確 變式訓(xùn)練 正在運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器 當(dāng)其飛輪以角速度 0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 機(jī)器的振動(dòng)不強(qiáng)烈 切斷電源 飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)逐漸慢下來(lái) 在某一小段時(shí)間內(nèi)機(jī)器卻發(fā)生了強(qiáng)烈的振動(dòng) 此后飛輪轉(zhuǎn)速繼續(xù)變慢 機(jī)器的振動(dòng)也隨之減弱 在機(jī)器停下來(lái)之后若重新啟動(dòng)機(jī)器 使飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度從0較緩慢地增大到 0 在這一過(guò)程中以下判斷正確的是 A 機(jī)器一定不會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的振動(dòng)B 機(jī)器一定還會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的振動(dòng) C 若機(jī)器發(fā)生強(qiáng)烈振動(dòng) 強(qiáng)烈振動(dòng)可能發(fā)生在飛輪角速度為 0時(shí)D 若機(jī)器發(fā)生強(qiáng)烈振動(dòng) 強(qiáng)烈振動(dòng)時(shí)飛輪的角速度肯定為 解析 選B 飛輪在轉(zhuǎn)速逐漸減小的過(guò)程中 機(jī)器出現(xiàn)強(qiáng)烈的振動(dòng) 說(shuō)明發(fā)生共振現(xiàn)象 共振現(xiàn)象產(chǎn)生的條件是驅(qū)動(dòng)力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率 故當(dāng)機(jī)器重新啟動(dòng)時(shí) 飛輪轉(zhuǎn)速緩慢增大的過(guò)程中 一旦達(dá)到共振條件 機(jī)器一定還會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的振動(dòng) A錯(cuò) B對(duì) 由題意可知 發(fā)生強(qiáng)烈共振時(shí) 飛輪的角速度一定小于 0 但不一定是 C D錯(cuò) 故選B 資源平臺(tái) 振動(dòng)的處理方法在綜合問(wèn)題中的應(yīng)用如圖甲 在x 0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B 一質(zhì)量為m 帶電量為q q 0 的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處 以初速度v0沿x軸正方向射入 粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見(jiàn)圖甲 不計(jì)粒子的重力 現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮?發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡 y x曲線 不同 但具有相同的空 間周期性 如圖乙所示 同時(shí) 這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng) y t關(guān)系 是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 且都有相同的周期當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時(shí) 其y t圖像如圖丙所示 求該粒子在y軸方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A 并寫(xiě)出y t的函數(shù)表達(dá)式 規(guī)范解答 設(shè)粒子在y方向上的最大位移為ym 圖丙曲線的最高點(diǎn)處 對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度大小為v2 方向沿x軸 因?yàn)榱Ｗ釉趛方向的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 因而在y 0和y ym處粒子所受的合外力大小相等 方向相反 則 qv0B qE qv2B qE 由動(dòng)能定理有 又Ay ym 由 式解得 可寫(xiě)出圖丙曲線滿足的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y t函數(shù)表達(dá)式為答案 1 如圖為一彈簧振子的振動(dòng)圖像 由此可知 A 在t1時(shí)刻 振子的動(dòng)能最大 所受的彈力最大B 在t2時(shí)刻 振子的動(dòng)能最大 所受的彈力最小C 在t3時(shí)刻 振子的動(dòng)能最大 所受的彈力最小D 在t4時(shí)刻 振子的動(dòng)能最大 所受的彈力最大 解析 選B 由振動(dòng)圖像可知 質(zhì)點(diǎn)t2和t4時(shí)刻在平衡位置處 t1和t3時(shí)刻在最大位移處 根據(jù)彈簧振子振動(dòng)的特征 彈簧振子在平衡位置時(shí)的速度最大 動(dòng)能最大 加速度為零 彈力為零 B對(duì) D錯(cuò) 在最大位移處 速度為零 動(dòng)能最小 加速度最大 彈力最大 A C錯(cuò) 2 2014 泉州模擬 如圖所示 質(zhì)量相同的四個(gè)擺球懸于同一根橫線上 四個(gè)擺的擺長(zhǎng)分別為l1 2m l2 1 5m l3 1m l4 0 5m 現(xiàn)以擺3為驅(qū)動(dòng)擺 讓擺3振動(dòng) 使其余三個(gè)擺也振動(dòng)起來(lái) 則擺球振動(dòng)穩(wěn)定后 A 擺1的振幅一定最大B 擺4的周期一定最短C 四個(gè)擺的振幅相同D 四個(gè)擺的周期相同 解析 選D 讓擺3振動(dòng) 則其余三個(gè)擺做受迫振動(dòng) 四個(gè)擺的周期相同 選項(xiàng)B錯(cuò)誤 D正確 擺1與驅(qū)動(dòng)擺3固有周期相差多 振幅小 選項(xiàng)A C錯(cuò)誤 3 2013 上海高考 做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體 當(dāng)它每次經(jīng)過(guò)同一位置時(shí) 可