初中數(shù)學論文：雙圖相融 精彩紛呈.doc

初中數(shù)學論文 雙圖相融 精彩紛呈一次函數(shù)與反比例函數(shù)是初中數(shù)學中非常重要的兩種函數(shù)，研究它們的圖象和性質(zhì)對拓展學生的思維空間，提高他們的分析能力都非常有用。本文就直線與雙曲線“相融”的角度研究和探索隱藏在里面的一些性質(zhì)。一、雙圖演示 “變”與“不變”1.過第一象限的一條直線AB，分別交x軸、y軸正半軸于點A、點B，(如圖1)CDPyOBAx圖1設A（0，b），B（a，0），在線段AB上有一動點P，過點P作PCAO于C，PDOB于D，記矩形CODP的面積為S?？疾欤寒旤cP在線段AB上運動時S的變化情況。設CP=x，則由ACPAOB得：，即 AC=x ， OC=AO-AC=b- S=PCCO=x（b-）=-+bx （0xa ） 所以S是x的二次函數(shù)，由此可知點P在直線上運動時，矩形CODP的面積S CDPyOx圖2隨之變化而變化，且當x=-=時，S取得最大值，此時CP為中位線，即點P為AB的中點。2過第一象限的一支雙曲線y=（x0，k0），（如圖2）。設在雙曲線 y=（x0） 上有一動點P，過點P作PCAO于C，PDOB于D，記矩形CODP的面積為S?？疾欤寒旤cP在雙曲線y=（x0）上運動時S的變化情況。設P（m，），則S=CPCO=m=k。所以當點P在曲線上運動時，S是固定不變的。它總是等于k（k0）的值。二、相融探究內(nèi)在性質(zhì)CDPyOBAx圖3現(xiàn)在我們把圖1、圖2合在一起，如圖3。 點P為線段AB的中點，雙曲線y=（x0），經(jīng)過點P，由上面兩個函數(shù)的研究可知：當P在線段AB上運動時，矩形CODP的面積要變化，但無論點P怎樣運動，矩形CODP的面積都小于或等于點P在AB中點時的面積。而點P如果在雙曲線上運動，則無論點P怎樣運動，矩形CODP的面積都不會改變，這能說明什么呢？這恰恰說明線段AB與雙曲線只有一個交點。因此我們得到：性質(zhì)1：當直線AB與雙曲線相切于點P時，點P一定是線段AB的中點。反之也成立（m，）CDPyOBAx圖4下面換一個角度敘述上面的性質(zhì)并加以證明。如圖4，設雙曲線為y=（k0，x0），P為任一點（m，），則B坐標為（2m，0）， A坐標為（0，）。求證：直線AB與雙曲線 y=（k0，x0）相切。 證明：設直線AB的解析式為y=kx+b 把（2m，O），（0，）代入y=kx+b得： 直線AB的解析式為y=-， 與雙曲線y=聯(lián)列成方程組由代入得：- =（）2-4k=0 ，D2C2D1C1P2P1CDPyOBAx圖5所以方程組只有一個解。即直線AB與雙曲線只有一個交點。又因為直線AB與x軸、y軸都相交，故直線AB與雙曲線 y=（k0，x0） 相切。如圖5，當雙曲線經(jīng)過直線AB上非中點P1時，則雙曲線必與直線AB交于另一點P2，由運動規(guī)律知：當點P從中點分別運動到P1、P2時，矩形CODP的面積從最大值減少到相等的值。而從S=-x2+bx的圖象的對稱性可以猜想：要使矩形C1OD1P1與矩形C2OD2P2的面積相等，P移動的路程應該是相等的。即PP1=PP2，從而可進一步猜想：AP1=BP2。FEBCyODAx圖6性質(zhì)2：在平面直角坐標系中，任意一條與雙曲線相交的直線，被雙曲線和兩條坐標軸所截得的線段長相等。已知如圖6：直線y=ax+b與兩坐標軸交于點A、點D，與雙曲線y=（x0），交于點B、點C。求證：AB=CD。 證明：作CEy軸于E，BFx軸于F，設B（m，n），C（e，f），則E（o，f），F(xiàn)（m，o），直線EF的解析式為y=-x+f（*）OEFCByDAx圖7又B、C在雙曲線y=上， mn=ef=k= =又B、C在直線y=ax+b上 am+b=n ae+b=f -得a（m-e）=n-f a=- （*）直線EF與直線AD平行，可證四邊形AEFB，四邊形EFDC均為平行四邊形 AB=EF=CD 。（事實上還可以用面積證明，限于篇幅，這里不再累述） 若如圖7，直線y=ax+b與雙曲線y=，坐標軸交于A、B、D1C1B1A1P1P2CDPyOBAx圖8C、D四點。同理有：AB=CD。反過來，對于圖4，過點P任作一條直線與雙曲線交于另一點P1，與坐標軸分別交于A1、B1。（如圖8）由性質(zhì)2知線段PP1 的中點P2 一定也是線段A1B1的中點，過點P2作P2 C1AO于C1，P2 D1 OB于D1 ，容易得到 ：三角形A1OB1的面積等于矩形P2C1OD1面積的兩倍。三角形AOB的面積等于矩形PCOD面積的兩倍。而P2在雙曲線的右上方，所以矩形P2C1OD1面積大于矩形PCOD面積。所以三角形A1OB1的面積大于三角形AOB的面積。因此我們可以得到下面的性質(zhì)。性質(zhì)3：當P為第一象限內(nèi)一定點，在過點P與x軸y軸正半軸分別相交于點B、點A的所有直線中，當且僅當點P為AB中點時，直線與兩坐標軸構成的三角形AOB的面積最小。CDPyOBAxCDPyOBAx圖9-1圖9-2事實上，過P作任一直線如圖9-1，容易知道，PB=PAPC，PDPB=PA，APC=DPB，由S=absinC得，SPBDSAPC（圖9-2同理可證）所以SOCDSOAB所以經(jīng)過定點P的直線與坐標軸構成的三角形中，當P恰好為AB中點時的ABO面積是最小的。BCyODAxOCByDAx圖10-2三、舉例拓展實際應用例1：如圖10，直線y=ax+b與雙曲線y=，坐標軸交于A、B、C、D四點，連結OB、OC，求證：SOAB =SOCD 。 圖10-1分析：由性質(zhì)2得：AB=CD，又因為ABO與CDO以AB、CD為底的高是相同的，所以SOAB =SOCD 。例2：（2009年山東威海）一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點過點分別作軸，軸，垂足分別為；過點分別作軸，軸，垂足分別為與交于點，連接（1）若點在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖11-1，試證明：； （2）若點分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖11-2，則與還相等嗎？試證明你的結論OCFMDENKyx（圖11-1）OCDKFENyxM（圖11-2）分析