安徽省高中數學第三章導數及其應用3.1變化率與導數3.1.3導數的幾何意義教案.docx_第1頁
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文檔簡介

3.1.3導數的幾何意義項目內容課題(共 1 課時)修改與創(chuàng)新教學目標1了解平均變化率與割線斜率之間的關系;2理解曲線的切線的概念;3通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義,并會用導數的幾何意義解題。教學重、難點教學重點:曲線的切線的概念、切線的斜率、導數的幾何意義; 教學難點:導數的幾何意義教學準備多媒體課件教學過程一、導入新課:(一)平均變化率、割線的斜率(二)瞬時速度、導數我們知道,導數表示函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率,反映了函數y=f(x)在x=x0附近的變化情況,導數的幾何意義是什么呢?二、講授新課:(一)曲線的切線及切線的斜率:如圖3.1-2,當沿著曲線趨近于點時,割線的變化趨勢是什么?圖3.1-2我們發(fā)現,當點沿著曲線無限接近點P即x0時,割線趨近于確定的位置,這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題:割線的斜率與切線PT的斜率有什么關系? 切線PT的斜率為多少?容易知道,割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時,無限趨近于切線PT的斜率,即說明:(1)設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質函數在處的導數.(2)曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;2)要根據割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.(二)導數的幾何意義:函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率,即 說明:求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:求出P點的坐標;求出函數在點處的變化率 ,得到曲線在點的切線的斜率;利用點斜式求切線方程.(二)導函數:由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當 是一個確定的數,那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.記作:或,即: 注:在不致發(fā)生混淆時,導函數也簡稱導數(三)函數在點處的導數、導函數、導數 之間的區(qū)別與聯(lián)系。(1)函數在一點處的導數,就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是一個常數,不是變數。(2)函數的導數,是指某一區(qū)間內任意點x而言的, 就是函數f(x)的導函數 (3)函數在點處的導數就是導函數在處的函數值,這也是 求函數在點處的導數的方法之一。三典例分析例1:(1)求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.(2)求函數y=3x2在點處的導數.解:(1),所以,所求切線的斜率為2,因此,所求的切線方程為即(2)因為所以,所求切線的斜率為6,因此,所求的切線方程為即(2)求函數f(x)=在附近的平均變化率,并求出在該點處的導數 解: 例2(課本例2)如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數,根據圖像,請描述、比較曲線在、附近的變化情況解:我們用曲線在、處的切線,刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況(1) 當時,曲線在處的切線平行于軸,所以,在附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降(2) 當時,曲線在處的切線的斜率,所以,在附近曲線下降,即函數在附近單調遞減(3) 當時,曲線在處的切線的斜率,所以,在附近曲線下降,即函數在附近單調遞減從圖3.1-3可以看出,直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度,這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢例3(課本例3)如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時間(單位:)變化的圖象根據圖像,估計時,血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到)解:血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率,就是藥物濃度在此時刻的導數,從圖像上看,它表示曲線在此點處的切線的斜率如圖3.1-4,畫出曲線上某點處的切線,利用網格估計這條切線的斜率,可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值作處的切線,并在切線上去兩點,如,則它的斜率為:所以 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率0.40-0.7-1.4四課堂練習1求曲線y=f(x)=x3在點處的切線;2求曲線在點處的切線課堂小結:1曲線的切線及切線的斜率;2導數的幾何意義。布置作業(yè):P.80 5,6板書設計3.1.3導數的幾何意義(一)曲線的切線及切線的斜率(二)導數的幾何意義(三)導函數的概念(四)函數在點處的導數、導函數、導數 之間的區(qū)別與聯(lián)系。例1、例2、例3練習1求曲線y=f(x)=x3在點處的切線;2求曲線在點處的切線 教學反思導數的幾何意義是后

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