【優(yōu)化方案】江蘇省高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章第八節(jié)課件 理 蘇教版.ppt

第八節(jié)角的向量解法 第八節(jié)角的向量解法 考點探究 挑戰(zhàn)高考 考向瞭望 把脈高考 雙基研習(xí) 面對高考 雙基研習(xí) 面對高考 1 異面直線所成角公式 設(shè)a b分別為異面直線l1 l2上的方向向量 為異面直線所成的角 則cos cos 2 線面角公式 設(shè)l為平面 的斜線 a為l的方向向量 n為平面 的法向量 為l與 成的角 則sin cos 3 面面角公式 設(shè)n1 n2分別為平面 的法向量 二面角為 如圖 1 則 或 需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補 其中cos 設(shè)n1 n2為兩平面內(nèi)二面角棱的法向量 二面角為 如圖 2 則 或 需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補 其中cos 思考感悟直線與平面所成的角和平面的法向量與直線的方向向量所成的角有什么關(guān)系 答案 1 考點探究 挑戰(zhàn)高考 用向量方法求解兩異面直線所成的角 簡單 易掌握 其基本程序是選基底 表示兩直線方向向量 計算數(shù)量積 若能建立空間直角坐標(biāo)系 則更為方便 如圖 長方體abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 aa1 1 e h分別是a1b1和bb1的中點 求 1 eh與ad1所成的角的余弦 2 ac1與b1c所成的角的余弦 利用空間向量方法求直線與平面所成的角 可以有兩種辦法 一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角 或其補角 二是通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 思路分析 利用正三棱柱的性質(zhì) 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 寫出有關(guān)點的坐標(biāo) 求角時有兩種思路 一是由定義找出線面角 取a1b1的中點m 連c1m 證明 c1am是ac1與面a1b所成的角 另一種是利用平面ab1的法向量n x y 求解 利用空間向量方法求二面角時 注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角 一是分別在二面角的兩個面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量 則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通過平面的法向量來求 設(shè)二面角的兩個面的法向量分別為n1和n2 則二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 注意 利用空間向量方法求二面角時 注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角 思路分析 由于圖形為正四棱錐 因而建立空間直角坐標(biāo)系 用坐標(biāo)法解答 名師點評 從本例的解答過程中可以發(fā)現(xiàn) 坐標(biāo)法重在建系 找點和計算這三個方面 因此 選取合適的坐標(biāo)系為找點的坐標(biāo)帶來方便 更為下一步的計算提供了前提 而尋找出點的坐標(biāo)是解題的中間環(huán)節(jié) 點的坐標(biāo)一旦出現(xiàn)錯誤 下面的計算也就失去了意義 因而應(yīng)找準(zhǔn)點的坐標(biāo) 所以這幾個環(huán)節(jié)應(yīng) 仔細(xì) 為之 方法技巧用空間向量求解角的方法步驟如下 1 若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2 它們所成的角為 則cos cos v1 v2 2 利用空間向量方法求直線與平面所成的角 可以有兩種辦法 一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角 或其補角 二是通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 3 利用空間向量方法求二面角 也可以有兩種辦法 一是分別在二面角的兩個面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量 則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通過平面的法向量來求 設(shè)二面角的兩個面的法向量分別為n1和n2 則二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 失誤防范利用空間向量坐標(biāo)法求線面角時 計算過程中的角與所求線面角不相等 易出錯 而求二面角時 兩平面的法向量的夾角也并不一定就是所求的二面角的大小 這與法向量的方向有關(guān) 考向瞭望 把脈高考 通過近幾年的江蘇高考試題統(tǒng)計分析可以看出 以簡單幾何體為載體的線面位置關(guān)系的論證 角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題 空間向量在研究上述問題中發(fā)揮著很大的作用 特別是研究平行問題 垂直問題 角的問題及距離問題等 填空題以考查計算型問題為主 而解答題則著重考查邏輯推理型問題 當(dāng)然 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提 隨著新課程改革的深入 立體幾何考題正朝著 多思考 少計算 的方向發(fā)展 也就是說 對于既可使用綜合法 又可使用向量法或坐標(biāo)法求解的題目 使用向量法或坐標(biāo)法可以降低題目的難度 預(yù)測在2012年的高考中仍會以考查線面角 二面角為主 考查空間向量法的應(yīng)用 本題滿分14分 2010年高考天津卷 如圖 在長方體abcd a1b1c1d1中 e f分別是棱bc cc1上的點 cf ab 2ce ab ad aa1 1 2 4 1 求異面直線ef與a1d所成角的余弦值 2 證明 af 平面a1ed 3 求二面角a1 ed