數(shù)學方法的優(yōu)美.doc

數(shù)學文化教案第一章 數(shù)學美學 授課教師：楊渭清第五節(jié) 數(shù)學方法的優(yōu)美一、教學目標：1、認識反證法、RMI方法、抽象方法中的數(shù)學思想；2、理解數(shù)學方法的價值及重要作用；3、了解數(shù)學方法對于數(shù)學觀念的影響。二、教學重點、難點： 正確理解直觀性原則與抽象方法的關系。三、教學過程：前面在許多地方已談到了數(shù)學方法，數(shù)學歸納法也是數(shù)學方法之一。這種通過有限的步驟去認識無限的方法確實是意味深長的。觀點與方法被認為是兩個不同的方面，但是它們又常常是緊密聯(lián)系的，相互影響的，特別不可忽視的是，方法影響觀點。方法論具有越來越普遍的意義，它對人們理解事物的觀念有深刻的影響，甚至成為觀念的組成部分。數(shù)學方法對于數(shù)學觀念的影響，數(shù)學觀念與數(shù)學方法的關系，也是我們關注的題目。我們從比較具體的方法說起。1、反證法在日常用語中，對于一件我們很想做的事，常用“不能不”去強調，或者起修辭的作用，例如說，“如此高尚的行為，我們不能不感動”?！叭毡居乙韯萘χ两襁€不對二戰(zhàn)的戰(zhàn)爭罪行真誠謝罪，我們對它不能不保持高度警惕”。數(shù)學中也常有運用、“不能不”的時候，但是當它運用的時候，必須說出一個道理來，數(shù)學中的“反證法”就是在表達這個意思。用“反證法”證明某命題成立時，就是在論證說：這個命題不可能不成立。具體地說，一個命題，最簡單的形式必包含有已知條件部分，有結論的部分。反證法的第一步就是假定結論不成立，然后通過一定的推導得出矛盾，從而說明：結論不成立是不可能的。什么叫做得出矛盾來了呢?或者推導出與已知條件相沖突的命題，或者是推導出與已有公理相沖突的命題，或者是推導出與已有定理相沖突、或與臨時的假定(論證之中的)相沖突的命題，或有自相矛盾的東西出現(xiàn)了。例如，我們要證明是無理數(shù)，如果從正面去說明它是無理數(shù)，那么就要通過對2開方，計算出它確是一個無限不循環(huán)小數(shù)。實際上這是不可能做到的，你可以開方計算到小數(shù)點后萬位，百萬位、億萬位，但永遠算不到無限?？墒牵瑥摹胺疵妗眮碜C明，情況就不同了，不僅能證明，而且很簡單。古希臘人就會按照下面的步驟來證明。假設不是無理數(shù)，即是有理數(shù)(或可比數(shù))，那么它必可可表示為既約的分數(shù)(既約總是可以事先做到的，因而可假定既約)：兩邊平方，得： 可見，必為一偶數(shù)，記為，為正整數(shù)。于是又得這樣也成了偶數(shù)。至此我們得到一個矛盾：與都是偶數(shù)，而是既約的。當要證明化成小數(shù)而且必定是無限循環(huán)小數(shù)時就不必用反證法。你去除一除，只有有限步就可看出結果來了，而且最多七步就得出結論了。對反證法的使用不是沒有不同看法的。因為反證法要以排中律為前提，例如你在假定不是無理數(shù)后立即說它是有理數(shù)，這就把所有的數(shù)劃分為兩類了，不是無理數(shù)就是有理數(shù)，或者不是有理數(shù)就是無理數(shù)，排中了，沒有其他“中間”形態(tài)了。又如，我們也曾用到過“不是有限即無限”、“不是無限即有限”的命題，也用了排中的前提?？墒牵胖新墒欠衿毡槌闪⒛?這確實是值得注意的，尤其是在日常生活中運用時要特別注意。我們再舉一例。現(xiàn)有10本書，共3類，文學類(A類)，史學類(B類)，數(shù)學類(C類)，證明至少有一類書有4本或4本以上。這個問題很容易通過反證法證明。假設A類、B類、C類的書都不超過3本，那么，所有的書加起來就不超過9本。這與共有10本書相矛盾。所以，至少有一類書超過3本，即4本或4本以上。這個問題又相當于：有10件物品，裝在3個抽屜里，那么有一個抽屜至少有4件物品。這是一個具體的抽屜原理問題，看似很簡單，卻很有用。在任意的6個人中，一定可以找到3個相互認識的人，或3個互不認識的人。你能證明這命題嗎?實際上，利用抽屜原理就不難證明?，F(xiàn)在，我們把6個人看做6件物品，然后將他們標記為A、B、C、D、E、F。以F為基準，將A、B、C、D、E這五件“物品”，分為兩類亦即“裝于兩個抽屜”，一類是“與F相識”的，另一類是“與F不相識”的。這時，相當于把5件“物品”“A、B、C、D、E”放進兩個抽屜，一個是“與F相識”的抽屜，另一個是“與F不相識”的抽屜。那么，兩“抽屜”中必有其一至少有這“3件物品”?，F(xiàn)在可以看到，無論是哪個“抽屜”中有“3件物品”，都將得到我們所需要的答案。如果“與F相識”的抽屜里有3個人，不妨說是A、B、C。這時，假若A、B、C 3人彼此不相識，那么已說明答案是成立的；假若A、B、C中至少有2人，例如A、B 2人相識，再加之以A與B都同F(xiàn)相識，因此，A、B、F 3人便是彼此相識的3位，這也說明了答案成立。如果“與F不相識”的抽屜里有3個人，仍不妨說是A、B、C、D、E中的A、B、C 3位。這時，若A、B、C 3人彼此相識，那么已說明答案成立；假若A、B、C中至少有兩人，例如A、B 2人不相認，而他們又都與F不相識，這樣，A、B、F 3人就是彼此互不相識的3人。于是命題所說的答案也成立。我們由反證法很容易證明簡單的抽屜原理，利用抽屜原理又可說明一些有趣的現(xiàn)象。在文學藝術領域里使用大概、可能之類的術語是無妨的，在數(shù)學領域里，卻要求精確、準確。也有一種討論大概或可能性大小的數(shù)學，但此時也要求把可能性大小準確地算出來。數(shù)學方法給人的美感，其性質有所不同，人們感覺到的是精美、優(yōu)美。2、RMI方法對形式邏輯，看你如何去欣賞，比如說三段式這種東西，你可能覺得它平淡無味?！胺踩硕加星楦校瑥埲彩且粋€人，張三也有情感”。這似乎沒有多大意思。但是，它在思想中、論說中體現(xiàn)出說服力，如果再加之以語言表達上的技巧，它也給人以特殊的美感。辯證邏輯則給人這種感覺，也叫邏輯美，是科學美的一種。RMI方法是體現(xiàn)了辯證思想的方法。從一個很簡單的例子開始。211，這很容易計算，一般學生能記得210 = 1 024，于是馬上可知211 =2 048。實在不記得210 = 1 024也無妨。24 = 16是很簡單的，28 =162 = 256，再乘以4，也得到210 = 1 024。于是，211也很好算。相反，的計算就困難得多了。對2開3次方就不容易，對2開11次方就更不容易。但是，計算的對數(shù)很容易，很多人記得2的常用對數(shù)值是0.301 0，于是 接著，我們有對數(shù)表可查，查出0.027 3的反對數(shù)：1.065。而這就是的近似值，于是得： 以上，我們實際上經(jīng)歷了一個這樣的過程：本來是求2的11次方根，但我們先求；然后再求出即。簡言之： 這是從還是回到了，但后一個與前一個不同，前者是由一個運算所涵蓋著的，后者以一個具體數(shù)字顯現(xiàn)，即的值。以上的過程是走了一個曲折的路，化難為易。正是有了這種曲折才導致了進步。這種曲折不是一般人走的彎路，而是一種創(chuàng)造，一種發(fā)明。這里，關鍵的工具是對數(shù)。對數(shù)出現(xiàn)后，不到一個世紀，就傳遍了世界上許多國家。它的出現(xiàn)與天文學有關，因此，尤其是天文學家們以十分欣喜的心情歡迎它。伽利略甚至以藝術般的語言說：“給我空間、時間及對數(shù)，我即可創(chuàng)造一個宇宙?！碑斀竦娜藗?，有更有效的方法和更高效率的工具來計算對數(shù)。然而，16世紀末至17世紀初，那時候就造出了常用對數(shù)表，其計算之困難與繁重實在令今人難以想象(是牛津大學一位教授與對數(shù)創(chuàng)始人納皮爾共同制作了當初的常用對數(shù)表)。歷史上，科學家們?yōu)槿祟愇拿魉鞯钠D苦卓絕的努力有千千萬萬，對數(shù)的創(chuàng)立及其數(shù)表的制作僅為一例。再看一個例子。求和：.一般來說，等比級數(shù)的和容易求，有公式可套。這里給出的不是等比級數(shù)。而且我們還知道是無窮大。但大約可看出，當加減交錯時，不會是無窮大了。這個級數(shù)的和很難求，我們先繞繞彎子。首先，我們把它變成一個變動的式子（函數(shù)項級數(shù)）：如果能知道它的和，然后令此和中的x = 1，那大約就可達到目的了。問題在于：這個變數(shù)級數(shù)的和容易求嗎？如果能求出，我們就通過一條“之”字路取得了成功。下面我們就來考慮這個變數(shù)級數(shù)和的計算。只要點點微積分知識就知道 這樣，如果一旦對前面那個函數(shù)項級數(shù)微分，我們很快就會得到一個比較容易求和的級數(shù)了，它就是一個等比級數(shù) 此時的公比是()，于是得到我們很容易地求出了，卻不是；然而，再由來求出變成了求原函數(shù)(積分)的問題。但是，這個求原函數(shù)的問題也簡單，由基本積分表即知 似應考慮積分常數(shù)，但由于當x = 0時y = 0，故可知積分常數(shù)是0，所以上述結果無誤。當然，上述運算過程中還有一些理論問題，這里就不細說了。若命x = 1，就得到： 關鍵在于對我們走過的路程的理解。與前一例相同的是，我們也是經(jīng)歷了一個“否定之否定”的程序，所不同的是，這里所使用的工具不是對數(shù)，而是微積分。對這個過程也可以標示如下： 再比較一下就可明白，以上都是利用了兩個互逆的運算來實現(xiàn)我們的目標的。一個是對數(shù)與反對數(shù)，一個是微分與積分，一正一反解決了問題。其實，數(shù)學中互逆的運算還很多。就拿加法與減法這樣簡單的互逆運算，我們也可加以利用。例如，這樣的式子，17世紀早期有的數(shù)學家還認為在實數(shù)領域是不能分解的?，F(xiàn)在，一位普通的中學生也能分解它，用的方法就是一加一減，加進一個，再減去一個；這一類方法是很多很多的。運算可以被視為一種變換或映射，映射之后再反映過來。當然，這對映射的性質有一定要求。在滿足一定要求之后，就可利用來解決一些問題。這也是一種具有普遍性的方法。在一般人心目中，以為數(shù)學是嚴謹?shù)?、嚴肅的、嚴格的，這也不錯，但若以為數(shù)學是嚴酷的、冷酷的，那就不符合它的性格了。數(shù)學既是嚴肅的，又是很活潑的。不少喜愛數(shù)學的人，有的是為其活潑的表現(xiàn)形式所吸引，有的是為它的深刻所感染，有的則是兩種感受都起了作用。常人總以為抽象是數(shù)學枯燥無味的根源，其實不然。一方面，抽象的方法，不只是數(shù)學運用，其他學科領域也用。例如；物理學中，討論剛體運動時，常把一個物體視為一個質點，這就是抽象手法。討論天體運動的時候，說地球、火星、木星、繞太陽轉的軌道是一個橢圓，此時，也是視太陽及其行星為一些幾何點(幾何點即無體積的點，或把體積“抽象”掉了)。語言學也是很抽象的，只是人們可能沒有強烈地感覺到這一點。語言文字不過是一些符號，符號本身就是抽象的結果。我們可以稍稍多想想“神”這個字有多抽象，“圣”這個字有多抽象，只是許多字我們并未仔細去想。文學也有抽象。詩歌就是很抽象的，“白日依山盡，黃河人海流”，就很抽象。小說中的人物一般也是經(jīng)過抽象“加工”的。繪畫也有抽象，你畫一個人，可能立體感很強，但無論怎樣要略去人的幾個側面，無論怎樣細致，面部微小的部分也會略去不少。音樂更有抽象，尤其是器樂，它只是用聲音來描述高山流水、林海雪原、濤濤大海以及人間的悲歡離合，一切視角效果都略去了，你只能通過聲音去想象背后的畫面?？墒牵瑢ξ膶W藝術中那些明擺著的抽象，人們并不感到抽象，而數(shù)學的抽象卻使人有鮮明的抽象感覺。這是為什么呢?確實，這兩種抽象也有差別。例如，“白日依山盡，黃河人海流，欲窮千里目，更上一層樓”這樣的詩句，雖然也相當?shù)某橄?，語言異常簡練，但畢竟這里還是有“日”，“山”，“河”，“?！保澳俊?，“樓”等形象的東西；不像數(shù)學式子那樣，幾乎什么也摸不著。例如，你從 中看見了什么?確實，如果不換個視角，就會有茫然的感覺；否則，這種式子也可能給你更豐富的想象。事實上，越會抽象的人，在一定的意義下講，又可能是越會把問題具體化的人。具體化與抽象化是相伴存在的，因為對具體的深入認識才能更好地抽象，因為抽象而能更好地把握具體。有一個古老的問題，稱為七橋問題。在河床中有兩個小島A與B，連接這兩島與兩岸C、D的總共有7座橋，如上圖。問題是：能否從某地出發(fā)，走過所有的橋，但每座橋只經(jīng)過一次?這個問題似乎很容易，卻一直未找到答案。18世紀，有位數(shù)學家參與研究。他首先做的事是將七橋圖變成了另一個圖，見下圖。在這個圖中，只有4個點6條線了。這樣做，把兩岸面積的大小略去了，把島的大小、形狀也省去了，把橋的長短、曲直、寬窄等也全不考慮了。去掉的東西很多，表明抽象程度很高。但需注意，這種抽象把問題的本質方面都留下了嗎? 事實上，被簡化的或典型化的圖只剩下點和線，因此可稱之為一個點線圖，那么，問題的本質方面是；圖中點與線的連接方式是否準確地反映了橋、島、兩岸的相互關聯(lián)？雖然形狀已大小不一樣，但這個點線圖是正確反映了實質問題的，因此，這種抽象可稱之為科學抽象。這種抽象也反映了一種數(shù)學思想，它要抓住問題的最實質性的方面而舍去對這一問題暫時無關的方面，以便有效地推動問題的研究。這么一抽象，原來的“一次性走過所有橋”的問題，就變成了“一筆畫”問題，即把一個“點線圖”(或網(wǎng)絡)用一筆畫出來的可能性問題。這么一抽象，就可以不讓一些非實質性的方面模糊我們的視線。下面的兩個點線圖，左邊的一個能一筆畫成，右邊的一個雖也很簡單，但一筆畫不出：在左圖中，通過每個頂點的線條(或棱)數(shù)為偶數(shù)：(2，4，2)；在右圖中，通過每個頂點的棱數(shù)為奇數(shù)：(1，3，3，1)。這也許是問題的要害。事實上，除了起點和終點外，過其他點即中間點(因須進出各一次)的棱數(shù)是偶數(shù)乃一必要條件。現(xiàn)在，再來看看那個七橋圖，過A、B、C、D 4個頂點的棱數(shù)分別是3，5，3，3，都是奇數(shù)。正是這種特性，決定了七橋問題的答案：不可能一次性走過七橋。從這個問題的解決，我們不僅可以看到抽象方法所顯示的力量，應當也可看到抽象的藝術。在這個問題的處理過程中，抽象程度不同一般。一般認為數(shù)學研究的對象是形與數(shù)，而在這個問題的研究中，形狀也不是我們關注的對象，線(棱)的長短、曲直這樣的數(shù)量關系及形狀特征也不是我們關注的，惟一被我們注意的是點以及點與點之間的連接方式。數(shù)學有一個分支叫拓撲學，按照以上方式來處理問題正是拓撲學所做的。有一張關于建立校園網(wǎng)的拓撲圖，一時間，有好幾位問：什么叫拓撲圖?網(wǎng)絡中心放在實驗大樓，然后有幾個中間站分別設在圖書館、文學院大樓、理學院大樓及財務大樓，再由這些中間站伸向各教學樓及其他各用戶。這個圖并不需要一個原形的校園圖，各中間站與中心的真實距離與方位并不重要，各中間站與各用戶之間的真實距離與方位也不是重要的，重要的是中心、中間站、用戶之間的連接方式，中心、中間站、用戶等都可用點來表示，而它們之間則用線來連接，而關鍵在于點與點如何聯(lián)系。這正是一個具有拓撲性質的圖。如果有兩張這樣的圖，點與線相同，點線連接方式也相同，但點與點距離不同、連線的曲直不同，那實際上是兩張相同的圖，這就是在拓撲意義下講的。拓撲學的誕生與發(fā)展進一步表現(xiàn)了數(shù)學的抽象程度。然而，抽象方法的優(yōu)美也進一步展現(xiàn)在人們面前。雖然充分領略這一點并不容易。在我國傳統(tǒng)的教育理論中，特別強調直觀性原則。其實，這是一條帶有很大片面性的原則。第一，人的認識能力的提高，既表現(xiàn)在善于直觀上，更表現(xiàn)在通過直觀到抽象