高考數(shù)學一輪復習 7.2 一元二次不等式及其解法精品課件 新人教A版.ppt

要點梳理1 一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表 7 2一元二次不等式及其解法 基礎(chǔ)知識自主學習 2 用程序框圖來描述一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解的算法過程為 x x x1 x x r x xx2 x x1 x x2 3 上述不等式ax2 bx c 0 0 中的a均大于0 若a 0 則可先進行轉(zhuǎn)化 使x2的系數(shù)為正 但一定注意在轉(zhuǎn)化過程中 不等號的變化 基礎(chǔ)自測1 不等式的解集為 a b c d 解析不等式同解于又 相應(yīng)方程的兩根為故原不等式的解集為答案a 2 設(shè)二次不等式ax2 bx 1 0的解集為 x 1 x 則ab的值為 a 6b 5c 6d 5解析因x 1 是方程ax2 bx 1 0的兩根 a 3 b 2 ab 6 c 3 2009 四川理 1 設(shè)集合s x x 5 t x x2 4x 21 0 則s t a x 7 x 5 b x 3 x 5 c x 5 x 3 d x 7 x 5 解析s x 5 x 5 t x 7 x 3 s t x 5 x 3 c 4 不等式的解集是 a 1 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 解析 x 2 x 1 0且x 1 1 x 2 d 5 若集合a x ax2 ax 10時 相應(yīng)二次方程中的 a2 4a 0 解得0 a 4 綜上得 a 0 a 4 d 題型一一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式 1 2x2 4x 3 0 2 3x2 2x 8 0 3 8x 1 16x2 首先將二次項系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù) 再看二次三項式能否因式分解 若能 則可得方程的兩根 大于號取兩邊 小于號取中間 若不能 則再看 利用求根公式求解方程的根 而后寫出解集 題型分類深度剖析 思維啟迪 解 1 42 4 2 3 16 24 8 0 方程2x2 4x 3 0沒有實根 2x2 4x 3 0的解集為 2 原不等式等價于3x2 2x 8 0 x 2 3x 4 0 x 2或x 不等式的解集為 2 3 原不等式等價于16x2 8x 1 0 4x 1 2 0 只有當4x 1 0 即時不等式成立 故不等式解集為 探究提高解一元二次不等式的一般步驟是 1 化為標準形式 2 確定判別式 的符號 3 若 0 則求出該不等式對應(yīng)的二次方程的根 若 0 則對應(yīng)的二次方程無根 4 結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集 特別地 若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式 則可立即寫出不等式的解集 知能遷移1解下列不等式 解 1 兩邊都乘以 3 得3x2 6x 20 且方程3x2 6x 2 0的解是所以原不等式的解集是 2 方法一 原不等式即為16x2 8x 1 0 其相應(yīng)方程為16x2 8x 1 0 8 2 4 16 0 上述方程有兩相等實根結(jié)合二次函數(shù)y 16x2 8x 1的圖象知 原不等式的解集為r 方法二8x 1 16x2 16x2 8x 1 0 4x 1 2 0 x r 不等式的解集為r 題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例2 已知不等式 a r 1 解這個關(guān)于x的不等式 2 若x a時不等式成立 求a的取值范圍 討論a的取值 首先看是否可化為一元二次不等式 其次看根的大小 思維啟迪 解 1 原不等式等價于 ax 1 x 1 0 當a 0時 由 x 1 0 得x0時 不等式化為解得x 當a 0時 不等式化為若即 1 a 0 則若即a 1 則不等式解集為空集 若即a 1 則 綜上所述 a0時 解集為 2 x a時不等式成立 即 a 11 即a的取值范圍為 1 探究提高 1 含參數(shù)的一元二次不等式可分為兩種情形 一是二次項系數(shù)為常數(shù) 參數(shù)在一次項或常數(shù)項的位置 此時可考慮分解因式 再對參數(shù)進行討論 若不易分解因式 則要對判別式 分類討論 分類應(yīng)不重不漏 二是二次項系數(shù)為參數(shù) 則應(yīng)考慮二次項系數(shù)是否為0 然后再討論二次項系數(shù)不為0的情形 以便確定解集的形式 注意必須判斷出相應(yīng)方程的兩根的大小 以便寫出解集 2 含參數(shù)不等式的解法問題 是高考的重點內(nèi)容 主要考查等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論的數(shù)學思想 知能遷移2解關(guān)于x的不等式x2 a a2 x a3 0 解原不等式可變形為 x a x a2 0 則方程 x a x a2 0的兩個根為x1 a x2 a2 當aa2 此時原不等式的解集為 x xa2 當0a2 xa 此時原不等式的解集為 x xa 當a 1時 有a2 a xa2 此時原不等式的解集為 x xa2 當a 0時 有x 0 原不等式的解集為 x x r且x 0 當a 1時 有x 1 此時原不等式的解集為 x x r且x 1 綜上可知 當a1時 原不等式的解集為 x xa2 當0a 當a 0時 原不等式的解集為 x x 0 當a 1時 原不等式的解集為 x x 1 題型三一元二次不等式的應(yīng)用 例3 某種商品 現(xiàn)在定價p元 每月賣出n件 設(shè)定價上漲x成 每月賣出數(shù)量減少y成 每月售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍 1 用x和y表示z 2 設(shè)y kx 0 k 1 利用k表示當每月售貨總金額最大時x的值 3 若求使每月售貨總金額有所增加的x值的范圍 通過代數(shù)化簡 將問題轉(zhuǎn)化成解一元二次不等式問題 思維啟迪 解 1 按現(xiàn)在的定價上漲x成時 上漲后的定價為元 每月賣出數(shù)量為件 每月售貨總金額是npz元 因而所以 2 在y kx的條件下 整理可得由于0 k 1 所以所以使z值最大的x的值是 3 要使每月售貨總金額有所增加 即z 1 應(yīng)有即x x 5 0 解得0 x 5 所以所求x的范圍是 0 5 不等式應(yīng)用題常以函數(shù)的模型出現(xiàn) 多是解決現(xiàn)實生活 生產(chǎn) 科技中的最優(yōu)化問題 在解題中涉及到不等式的解及有關(guān)問題 解不等式的應(yīng)用題 要審清題意 建立合理 恰當?shù)臄?shù)學模型 這是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵 探究提高 知能遷移3國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控 實行征收附加稅政策 現(xiàn)知某種酒每瓶70元 不征收附加稅時 每年大約產(chǎn)銷100萬瓶 若政府征收附加稅 每銷售100元要征稅r元 叫做稅率r 則每年的銷售收入將減少10r萬瓶 要使每年在此項經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元 問r應(yīng)怎樣確定 解設(shè)每年銷售量為x萬瓶 則銷售收入為每年70 x萬元 從中征收的稅金為70 x r 萬元 其中x 100 10r 由題意 得70 100 10r r 112 整理 得r2 10r 16 0 36 0 方程r2 10r 16 0的兩個實數(shù)根為x1 2 x2 8 然后畫出二次函數(shù)y r2 10r 16的圖象 由圖象得不等式的解為2 r 8 題型四一元二次不等式的恒成立問題 例4 12分 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若對所有的實數(shù)x不等式恒成立 求m的取值范圍 2 設(shè)不等式對于滿足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范圍 1 由于二次項系數(shù)含有字母 所以首先討論m 0的情況 而后結(jié)合二次函數(shù)圖象求解 2 轉(zhuǎn)換思想將其看成關(guān)于m的一元一次不等式 利用其解集為 2 2 求參數(shù)x的范圍 思維啟迪 解 1 不等式mx2 2x m 1時 不等式恒成立 不滿足題意 3分當m 0時 函數(shù)f x mx2 2x m 1為二次函數(shù) 需滿足開口向下且方程mx2 2x m 1 0無解 即綜上可知不存在這樣的m 6分 2 從形式上看 這是一個關(guān)于x的一元二次不等式 可以換個角度 把它看成關(guān)于m的一元一次不等式 并且已知它的解集為 2 2 求參數(shù)x的范圍 7分設(shè)f m x2 1 m 1 2x 則其為一個以m為自變量的一次函數(shù) 其圖象是直線 由題意知該直線當 2 m 2時線段在x軸下方 探究提高 1 解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量 誰是參數(shù) 一般地 知道誰的范圍 誰就是變量 求誰的范圍 誰就是參數(shù) 2 對于二次不等式恒成立問題 恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方 恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方 知能遷移4已知f x x2 2ax 2 當x 1 時 f x a恒成立 求a的取值范圍 解方法一f x x a 2 2 a2 此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x a 當a 1 時 結(jié)合圖象知 f x 在 1 上單調(diào)遞增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得a 3 又a 1 3 a 1 當a 1 時 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 2 a 1 又a 1 1 a 1 綜上所述 所求a的取值范圍為 3 a 1 方法二由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 令g x x2 2ax 2 a 即 4a2 4 2 a 0或解得 3 a 1 1 解一元二次不等式時 首先要將一元二次不等式化成標準型 即ax2 bx c 0或ax2 bx c0 如解不等式6 x2 5x時首先化為x2 5x 60或ax2 bx c0 與一元二次方程ax2 bx c 0的關(guān)系 方法與技巧 思想方法感悟提高 1 知道一元二次方程ax2 bx c 0的根可以寫出對應(yīng)不等式的解集 2 知道一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c0或ax2 bx c 0的解集 1 一元二次不等式的界定 對于貌似一元二次不等式的形式要認真鑒別 如 解不等式 x a ax 1 0 如果a 0它實際上是一個一元一次不等式 只有當a 0時它才是一個一元二次不等式 2 當判別式 0 a 0 解集為r ax2 bx c0 解集為 二者不要混為一談 失誤與防范 一 選擇題1 2009 陜西理 1 若不等式x2 x 0的解集為m 函數(shù)f x ln 1 x 的定義域為n 則m n為 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 1 0 解析不等式x2 x 0的解集m x 0 x 1 f x ln 1 x 的定義域n x 1 x 1 則m n x 0 x 1 定時檢測 a 2 已知不等式ax2 bx 1 0的解集是則不等式x2 bx a 0的解集是 a 2 3 b 2 3 c d 解析由題意知是方程ax2 bx 1 0的根 所以由韋達定理得解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0即為x2 5x 6 0 解集為 2 3 a 3 已知p 關(guān)于x的不等式x2 2ax a 0的解集是r q 10的解集是r等價于4a2 4a 0 即 1 a 0 c 4 設(shè)命題p 2x 3 1 q 則p是q的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件解析不等式 2x 3 1的解是1 x 2 不等式的解是1 x 2 a 5 設(shè)f x 若f t 2 則實數(shù)t的取值范圍是 a 1 4 b 2 3 c 4 1 d 0 3 解析由題意知t2 2t 1 2且t 0 或 2t 6 2且t3或t 0 d 6 在r上定義運算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1對任意實數(shù)x恒成立 則 a 1 a 1b 0 a 2c d 解析依題設(shè)得x a x2 a2 1恒成立 c 二 填空題7 若函數(shù)f x 是定義在 0 上的增函數(shù) 且對一切x 0 y 0滿足f xy f x f y 則不等式f x 6 f x 0 x 0 所以0 x 2 0 2 8 若關(guān)于x的方程x2 ax a2 1 0有一正根和一負根 則a的取值范圍是 解析令f x x2 ax a2 1 二次函數(shù)開口向上 若方程有一正一負根 則只需f 0 0 即a2 1 0 1 a 1 1 a 1 9 已知函數(shù)f x x2 2x b2 b 1 b r 若當x 1 1 時 f x 0恒成立 則b的取值范圍是 解析依題意 f x 的對稱軸為x 1 又開口向下 當x 1 1 時 f x 是單調(diào)遞增函數(shù) 若f x 0恒成立 則f x min f 1 1 2 b2 b 1 0 即b2 b 2 0 b 2 b 1 0 b 2或b 1 b 2或b 1 三 解答題10 解不等式 解原不等式等價于解 得x2 3x 0 即 3 x 0 解 得x 1或x 故原不等式的解集為 11 解關(guān)于x的不等式ax2 2 2x ax a r 解原不等式變形為ax2 a 2 x 2 0 1 當a 0時 原不等式變?yōu)?2x 2 0 故其解集為 x x 1 2 當a 0時 不等式即為 a