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班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 裝 訂 線 沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院第一學(xué)期期末考試高等代數(shù)試卷（1）題號(hào)一二三四五六七總分得分得分一、 填空（共35分，每題5分）1設(shè), 則 69_ .2當(dāng) _2,-2 .時(shí), 有重因式。3. 令,是兩個(gè)多項(xiàng)式, 且被整除, 則 0_ , _0 . 4. 行列式 23 。5. 矩陣的積。6. 7. 的一般解為, 任意取值。得分二、（10分）令,是兩個(gè)多項(xiàng)式。求證當(dāng)且僅當(dāng)。證：必要性. 設(shè)。（1%）令為的不可約公因式，（1%）則由知或。(1%)不妨設(shè)，再由得。故矛盾。(2%) 充分性. 由知存在多項(xiàng)式使,(2%)從而,(2%)故。(1%)得分三、(16分)取何值時(shí)，線性方程組有唯一解、沒(méi)有解、有無(wú)窮解？在有解情況下求其解。解：(5%)當(dāng)時(shí)，有唯一解：(4%) 當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮解：任意取值；當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮解：任意取值；(3%)當(dāng)或時(shí)，無(wú)解。(4%)得分四、(10分)設(shè)都是非零實(shí)數(shù)，證明證: 對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=1時(shí) , , 結(jié)論成立(2%); 假設(shè)n-1時(shí)成立。則n時(shí)= = (4%)現(xiàn)由歸納假設(shè)有=,(3%)故由歸納原理結(jié)論成立。(1%)得分五、(10分)證明在有理數(shù)域上不可約。證: 令得(1%)。(3%)取素?cái)?shù)p=2滿足且2不整除1, 4不整除2. (2%)再據(jù)艾茵斯坦茵判別法知在有理數(shù)域上不可約，（2%）從而在有理數(shù)域上不可約（2%）得分六、（9分）令為數(shù)域上秩為的矩陣，。求證：存在秩為的矩陣和秩為的矩陣, 使得。證: 為數(shù)域上秩為的矩陣，, 則存在可逆陣P和可逆陣Q使.（3%）進(jìn)而令（4%）就得（2%）.得分七、（10分）設(shè), 是矩陣, 且,可逆。求證矩陣可逆,

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