初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第十五 乘法公式(含答案).doc

第十五講 乘法公式一、內(nèi)容提要1 乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母，一般可以表示數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用（乘法展開），還可以由右到左逆用（因式分解），還要記住一些重要的變形及其逆運(yùn)算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎(chǔ)的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推廣： 多項(xiàng)式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項(xiàng)式平方等于各項(xiàng)平方和加上每兩項(xiàng)積的2倍。 二項(xiàng)式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意觀察右邊展開式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意觀察左邊第二個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè)n為正整數(shù)(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4. 公式的變形及其逆運(yùn)算由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推廣可知：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。二、例題例1. 已知x+y=a xy=b 求x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5解：x2+y2(x+y)22xya22bx3+y3(x+y)33xy（x+y）a33abx4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4) =(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2 =aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2. 求證：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積加上1的和，一定是整數(shù)的平方。證明：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a, a+1, a+2, a+3(a為整數(shù))a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù)a2+3a+1是整數(shù)證畢例3. 求證：22223111能被7整除證明：22223111（22）111311141113111根據(jù)a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（見內(nèi)容提要4）41113111能被43整除22223111能被7整除例4. 由完全平方公式推導(dǎo)“個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計(jì)算規(guī)律 解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點(diǎn)是：冪的末兩位數(shù)字是底數(shù)個(gè)位數(shù)字5的平方，冪的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積。如：152=225 冪的百位上的數(shù)字（2=12)， 252=625 (6=23)，352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45)練習(xí)十五1 填空：a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_2 填空：(x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4(x+y)( _)=x5+y5 （xy）(_)=x5y53.計(jì)算：552= 652= 752= 852= 952=4. 計(jì)算下列各題 ，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律1119= 2228= 3436= 4347= 7674=5.已知x+=3, 求x2+ x3+ x4+的值6、 化簡：（a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7.已知a+b=1,求證：a3+b3+3ab=18.已知a2=a+1，求代數(shù)式a55a+2的值9.求證：2331能被9整除10.求證：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個(gè)數(shù)的和等于較大的數(shù)的平方11如圖三個(gè)小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是a,b,c 求證：三個(gè)小圓周長的和等于大圓的周長 求：大圓面積減去三個(gè)小圓面積和的差。練習(xí)十五答案:1、 2、 3、3025 4225 5625 7225 90254.209 616 1224 2021 5624十位上的數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)的和為10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，其積的末兩位數(shù)是兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，積的百位以上的數(shù)是原十位上數(shù)字乘上比它大1的數(shù)的積5、7 18 476、 7、證明：