第三節(jié) 高斯定理.doc

第一章 靜電場3 高斯定理（P70）1. 設(shè)一半徑為5厘米的圓形平面，放在場強為300牛頓/庫侖的勻強電場中，試計算平面法線與場強的夾角取下列數(shù)值時通過此平面的電通量：；。解：由可得： 2. 均勻電場與半徑為的半球面的軸線平行，試用面積分計算通過此半球面的電通量。解：3. 如附圖所示，在半徑為和的兩個同心球面上，分別均勻地分布電荷和，求： 、三個區(qū)域內(nèi)的場強分布； 若，情況如何？畫出此情形的曲線。解： 由高斯定理得：區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)， 當時，4. 根據(jù)量子理論，氫原子中心是一個帶正電的原子核（可以看成點電荷），外面是帶負電的電子云。在正常狀態(tài)（核外電子處在s態(tài)）下，電子云的電荷密度分布是球?qū)ΨQ的：式中為一常數(shù)（它相當于經(jīng)典原子模型中s電子圓形軌道的半徑，稱為玻爾半徑），求原子內(nèi)的電場分布。解：原子內(nèi)的電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而原子內(nèi)的電場也是球?qū)ΨQ分布的。由高斯定理可得 5. 實驗表明：在靠近地面處有相當強的電場，垂直于地面向下，大小約為100牛頓/庫侖；在離地面千米高的地方，也是垂直于地面向下的，大小約為25牛頓/庫侖。 試計算從地面到此高度大氣中電荷的平均體密度。 如果地球上的電荷全部均勻分布在表面，求地面上電荷的面密度。解： 設(shè)電荷的平均體密度為，取圓柱形高斯面如圖（1）（側(cè)面垂直底面、底面平行地面），上下底面處的場強分別為和，則通過高斯面的電場強度通量為高斯面包圍的電荷由高斯定理 設(shè)地面面電荷密度為。由于電荷只分布在地表面，所以電力線終止于地面，取高斯面如圖（2）。由高斯定理6. 半徑為的無窮長直圓筒面上均勻分布帶電，沿軸線單位長度的電量為。求場強分布，并畫曲線。解：電場分布具有軸對稱性，作與圓筒共軸半徑為、長為的圓柱形高斯面，由高斯定理可得當時，當時，7. 一對無限長的共軸直圓筒，半徑分別為和，筒面上都均勻帶電，沿軸線單位長度的電量分別為和。 求各區(qū)域內(nèi)的場強分布； 若，情況如何？畫出此情形的曲線。解： 由高斯定理可得當時， 當時，當時， 當時，代入中可得，8. 半徑為的無限長直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為。求場強分布，并畫曲線。解：電場分布具有軸對稱性，作與圓柱體共軸半徑為、長為的圓柱形高斯面，由高斯定理可得當時，當時，9. 設(shè)氣體放電形成的等離子體圓柱內(nèi)的體電荷分布可用下式表示：式中是到軸線的距離，是軸線上的值，是個常數(shù)（它是減少到處的半徑）。求場強分布。解：作與圓柱體共軸半徑為、長為的圓柱形高斯面，由高斯定理可得10. 兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度分別為，求各區(qū)域的場強分布。解：電荷面密度為的無限大均勻帶電平面的場強為由場的疊加原理可得兩帶電平面間的場強為方向垂直帶電平面由正電荷指向負電荷。兩帶電平面外側(cè)的場強為可以用高斯定理求出同樣的結(jié)果（作垂直于帶電平面的原柱形高斯面）。11. 兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度都是，求各處的場強分布。解：由場的疊加原理和無限大均勻帶電平面的場強公式可得兩帶電平面間的場強為兩帶電平面外側(cè)的場強大小為方向垂直帶電平面12. 三個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別是、。求下列情況各處的場強：；，；，；，。解：建立如圖所示坐標軸（軸）。每個帶電平面產(chǎn)生的場強均為（帶電平面的左側(cè)），（帶電平面的右側(cè)）則由場強疊加原理，三個無限大的均勻帶電平面所分成的4個區(qū)域的場強分別為區(qū)：區(qū)：區(qū)：區(qū)：實際上無限大的均勻帶電平面產(chǎn)生的電場是勻強電場，并且關(guān)于帶電平面對稱，因而無限大均勻帶電平行平面組產(chǎn)生的電場在平行平面組外也是關(guān)于平面對稱的，所以可以應(yīng)用高斯定理求出無限大均勻帶電平行平面組的電場分布。上面的結(jié)果也可用高斯定理求出。 當時，4個區(qū)的場強分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)： 當、時，4個區(qū)的場強分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)： 當、時，4個區(qū)的場強分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)： 當、時，4個區(qū)的場強分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：13. 一厚度為的無限大平板，平板體內(nèi)均勻帶電，電荷的體密度為，求板內(nèi)、外場強的分布。解：如圖，建立坐標軸。帶電平板產(chǎn)生的場強是關(guān)于平面對稱的，作底面面積為平行于平板、且關(guān)于坐標原點對稱的圓柱形高斯面。由高斯定理可得在平板內(nèi)，即時，則 在平板外，即時，則 考慮到電場的方向，平板外的場強可表示為14. 在半導體結(jié)附近總是堆積著正、負電荷，在區(qū)內(nèi)有正電荷，區(qū)內(nèi)有負電荷，兩區(qū)電荷的代數(shù)和為零。我們把結(jié)看成是一對帶正、負電荷的無限大平板，它們相互接觸（見附圖）。取坐標的原點在、區(qū)的交界面上，區(qū)的范圍是，區(qū)的范圍是。設(shè)兩區(qū)內(nèi)電荷體分布都是均勻的： （突變結(jié)模型）這里、是常數(shù)，且（兩區(qū)電荷數(shù)量相等）。試證明電場的分布為區(qū)：區(qū)：并畫出和隨變化的曲線來。證明：因兩區(qū)電荷數(shù)量相等，且可把結(jié)看成是一對帶正、負電荷的無限大平板，由高斯定理可知：結(jié)外的場強為零，電場只存在結(jié)內(nèi)。對區(qū)、區(qū)分別作如圖所示底面面積為、一個底面在結(jié)外及另一個底面過處的圓柱形高斯面、。由高斯定理可得區(qū)： 區(qū)： 和隨變化的曲線如圖：15. 如果在上題中電荷的體分布為 （線性緩變結(jié)模型）這里是常數(shù)，（為什么？），統(tǒng)一用表示。試證明電