《4.2　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算》導(dǎo)學(xué)案.doc

4.3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算導(dǎo)學(xué)案課程學(xué)習(xí)目標1.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算，并能用運算律進行復(fù)數(shù)的四則運算.2.能根據(jù)所給運算的形式選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行復(fù)數(shù)的四則運算.課程導(dǎo)學(xué)建議重點:正確進行復(fù)數(shù)的四則混合運算.難點:采用適當?shù)姆椒ㄌ岣哌\算速度與準確度.知識記憶與理解知識體系梳理創(chuàng)設(shè)情景兩個多項式可以進行乘除法運算，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；對于兩個復(fù)數(shù)a+bi，c+di(a，b，c，dR)，能像多項式一樣進行乘除法運算嗎？知識導(dǎo)學(xué)問題1:結(jié)合多項式乘法運算的特點，說明復(fù)數(shù)乘法運算有哪些特點？(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法類似，只是在運算過程中把i2換成-1，然后實部、虛部分別合并；(2)兩個復(fù)數(shù)的積仍是一個復(fù)數(shù)；(3) 復(fù)數(shù)的乘法與實數(shù)的乘法一樣，滿足交換律、結(jié)合律及分配律；(4)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.問題2:什么是共軛復(fù)數(shù)？ 一般地，當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫作互為共軛復(fù)數(shù).問題3:怎樣進行復(fù)數(shù)除法運算？復(fù)數(shù)的除法首先是寫成分數(shù)的形式，再利用兩個互為共軛復(fù)數(shù)的積是一個實數(shù)，將分母化為實數(shù)，從而化成一個具體的復(fù)數(shù).問題4:復(fù)數(shù)的四種基本運算法則(1)加法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；(2)減法:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；(3)乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；(4)除法:(a+bi)(c+di)=+i(c+di0).知識鏈接高斯在1831年，用實數(shù)組(a，b)代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運算，使得復(fù)數(shù)的某些運算也像實數(shù)一樣地“代數(shù)化”.他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法直角坐標法和極坐標法加以綜合，統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)”擴展為“平面上的點與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)”.高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法.至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了.基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=的虛部是().A.0B.-1C.1D.2【解析】z=-i，虛部為-1，故選B.【答案】B2.復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=1-i，則z=z1z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i.【答案】D3.已知復(fù)數(shù)z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù)，則z=.【解析】設(shè)z=bi(bR)，則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i，依題意得解得b=-2.所以z=-2i.【答案】-2i4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數(shù)單位)，試求z的實部.【解析】(法一)i(z+1)=-3+2i，z=-1=-(-3i-2)-1=1+3i，故z的實部是1.(法二)令z=a+bi(a、bR)，由i(z+1)=-3+2i，得i(a+1)+bi=-3+2i，-b+(a+1)i=-3+2i，a+1=2，a=1.故z的實部是1.思維探究與創(chuàng)新重點難點探究探究一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算計算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)；(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i；(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.【方法指導(dǎo)】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法和乘法的運算法則進行計算，注意i的性質(zhì).【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-312i+31i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小結(jié)】三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運算或利用結(jié)合律運算，混合運算與實數(shù)的運算順序一樣，對于能夠使用乘法公式計算的兩個復(fù)數(shù)的乘法，用乘法公式更簡捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.探究二復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算計算:(1)(1+2i)(3-4i)；(2)；(3)(+i)4+.【方法指導(dǎo)】(1)寫成分式的形式，再分母實數(shù)化.(2)分子、分母按復(fù)數(shù)的乘法先分別展開化簡，或分解因式，再做除法.(3)先展開，后化簡.【解析】(1)(1+2i)(3-4i)=-+i.(2)(法一)原式=1.(法二)原式=1.(3)原式=(+i)22+=(-+i)2-=-i+i-=(-)+(-)i.【小結(jié)】進行復(fù)數(shù)的運算，除了應(yīng)用四則運算法則之外，對于一些簡單算式要知道其結(jié)果，這樣可方便計算，簡化運算過程，比如=-i，(1+i)2=2i，(1-i)2=-2i，=i，=-i，a+bi=i(b-ai)，=i，等等.運算方法要靈活，有時要巧妙運用相應(yīng)實數(shù)系中的乘法公式，比如第(2)題中的解法一.探究三復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用已知|z|2+(z+)i= (i為虛數(shù)單位)，試求滿足條件的z.【方法指導(dǎo)】本題可設(shè)z=x+yi(x，yR)，然后代入給定的方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件列方程組解x，y，從而得出復(fù)數(shù)方程的解z.【解析】原方程化簡為|z|2+(z+)i=1-i，設(shè)z=x+yi(x，yR)，代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i，原方程的解為z=-i.【小結(jié)】對于此類復(fù)數(shù)方程我們一般是設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x，yR)，然后將其代入給定方程，利用復(fù)數(shù)四則運算將其整理，然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來求解.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一計算:(1)(1-i)2；(2)(-+i)(+i)(1+i).【解析】(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=(-)+(-)i(1+i)=(-+i)(1+i)=(-)+(-)i=-+i.應(yīng)用二計算:(1)；(2)+.【解析】(1)=1-i.(2)+=+=i-i=0.應(yīng)用三若關(guān)于x 的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有純虛數(shù)根，求實數(shù)t的值和該方程的根.【解析】設(shè)x=ai(aR且a0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一個純虛根，將其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+tai)i=0，-a2-at+(t2+3t)i=0，由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得故t=-3，方程的兩個根為0或3i.技能應(yīng)用與拓展基礎(chǔ)技能檢測1.復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)，則|z|等于().A.25B.C.5D.【解析】z=-4-3i，所以|z|=5.【答案】C2.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i【解析】+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.【答案】D3.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2，則復(fù)數(shù)z=.【解析】z=1-i.【答案】1-i4.計算:+()2014.【解析】原式=+(-i)2014=-i-1.全新視角拓展(2014年山東卷)已知a，bR，i是虛數(shù)單位.若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則 (a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】先由共軛復(fù)數(shù)的條件求出a，b的值，再求(a+bi)2的值.由題意知a-i=2-bi，a=2，b=1，(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.【答案】D固學(xué)案基礎(chǔ)達標檢測1.設(shè)z=+i，則|z|=().A.B.C.D.2【解析】先化簡，再求|z|.z=+i=+i=+i，|z|=.【答案】B2.復(fù)數(shù)z=i(-2-i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】z=-2i-i2=1-2i，對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點為(1，-2)，在第四象限.【答案】D3.復(fù)數(shù)=.【解析】=.【答案】4.規(guī)定運算=ad-bc，若=1-2i，i為虛數(shù)單位，求復(fù)數(shù)z.【解析】=2z-1=1-2iz=1-i.基本技能檢測 5.復(fù)數(shù)=a+bi(i是虛數(shù)單位，a、bR)，則().A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=-1，b=1D.a=1，b=-1【解析】=-1+i，則a=-1，b=1.【答案】C6.已知復(fù)數(shù)z=，則+等于().A.0B.1C.-1D.2【解析】z=-1，所以+=1-1=0.【答案】A7.復(fù)數(shù)=.【解析】=-1=-1=-1+i.【答案】-1+i8.設(shè)x、y為實數(shù)，且+=，求x-y的值.【解析】由+=知(1+i) +(1+2i)=(1+3i)，即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-