部分習(xí)題解-黎永錦《泛函分析講義》的Word文檔.doc

黎永錦-部分習(xí)題解答部分習(xí)題解答意義深刻的數(shù)學(xué)問題從來不是一找出解答就完事了,好象遵循著的格言,每一代的數(shù)學(xué)家都重新思考并重新改造他們前輩所發(fā)現(xiàn)的解答,并把這解答納入當(dāng)代流行的概念和符號(hào)體系之中 L. Bers（貝爾斯）（1914-1993,美國數(shù)學(xué)家）習(xí)題一1.2 設(shè),對(duì)任意, , 試證明和為上的兩個(gè)度量,且存在序列,使得,但不收斂于0. 1.2證明：（1）只須按度量定義驗(yàn)證即可知道為上的兩個(gè)度量和為 上的兩個(gè)度量.（2）取 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí),則且,但.因此,但不收斂于0.1.4 試找出一個(gè)度量空間,在中有兩點(diǎn),但不存在,使得.1.4 證明：在上取離散度量,則對(duì)于,有,但不存在,使得.1.6 在中,設(shè)為的非空子集,為開集,試證明為開集.1.6證明：由可知,對(duì)任意,有,若G是開集,則對(duì)于任意,有開球.故,因而,從而對(duì)任意是開集,由 可知是開集.1.8 在中,設(shè)只有限個(gè)不為0,試證明不是緊集.1.8證明：取,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), ,則,且 ,這里 ,但,因此M不是閉集,所以不是緊集.1.10 設(shè)為度量空間,試證明.1.10證明：對(duì)于任意,有,故,因而,從而.對(duì)于任意,有,因而存在,故,從而,故.所以,.1.12 設(shè)為度量空間,試證明為到 的連續(xù)算子.1.12 證明：對(duì)于任意,有.故類似地,有因此所以,時(shí),必有,即是連續(xù)函數(shù).1.14 設(shè)為度量空間,為閉集,試證明存在可列個(gè)開集,使.1.14 證明：由于F是閉集,因此,又因?yàn)槭沁B續(xù)的,所以對(duì)任意是開集,從而對(duì)于開集,有，所以.1.16 試證明是完備的度量空間.1.16證明：設(shè)為 的列,則對(duì)于任意,存在 N,使得時(shí)有.故對(duì)每個(gè)固定的i,有.因此是列.因而存在,使得,令,則由可知 故由于,因此存在常數(shù)使得.又由可知對(duì)任意i及成立.故所以,即是完備的度量空間.1.18 證明中的有界閉集不一定是緊集.1.18 證明：令,則M是的有界閉集,但M是不緊集.1.20 設(shè),試證明為度量空間,但不是完備的. 1.20證明：容易驗(yàn)證是的度量. 取,則為的列，但沒有極限點(diǎn)，因此不是收斂列，所以不是完備的.1.22 試證明度量空間上的實(shí)值函數(shù)是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意,和都是的閉集.1.22證明: 若度量空間上的函數(shù)是連續(xù)的,則明顯地,對(duì)于任意,和都是的閉集.如果對(duì)于任意,和都是的閉集,則于任意,容易知道是開集, 對(duì)于R上的開集,有的構(gòu)成區(qū)間,使得,因而是開集,所以f是連續(xù)的.1.24 設(shè)R為實(shí)數(shù)全體,試在R上構(gòu)造算子,使得對(duì)任意,都有,但沒有不動(dòng)點(diǎn).1.24證明：(1) 設(shè)R為實(shí)數(shù)全體, 則對(duì)任意,由可知但f(x)沒有不動(dòng)點(diǎn).實(shí)際上,若 ,則,因而矛盾.(2) 設(shè) 則對(duì)任意,由可知但f(x)沒有不動(dòng)點(diǎn).實(shí)際上,若,則,矛盾,所以f(x)沒有不動(dòng)點(diǎn).1.25 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),處處都有偏導(dǎo)數(shù),且滿足試證明在上有唯一的連續(xù)解.提示：定義:為證明為壓縮算子,然后利用S. Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理.1.26 設(shè)為度量空間,為到的算子,若對(duì)任意,都有 ,且有不動(dòng)點(diǎn),試證明的不點(diǎn)是唯一的.1.26證明：反證法,假設(shè)A有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),使得,則但這與矛盾,所以A只有唯一的不動(dòng)點(diǎn).1.27 設(shè)為度量空間,且為緊集,為到的算子,且時(shí),有,試證明一定有唯一的不動(dòng)點(diǎn).證明思路：構(gòu)造上的連續(xù)泛函,利用緊集上的連續(xù)泛函都可以達(dá)到它的下確界,證明存在,使得,就是的不動(dòng)點(diǎn).1.28 試構(gòu)造一個(gè)算子,使得不是壓縮算子,但是壓縮算子.1.28證明：定義,則不是壓縮算子,但是壓縮算子.1.30 設(shè),試證明是壓縮算子.1.30證明：由 ,可知,所以是壓縮算子.習(xí)題二2.2 設(shè)為賦范線性空間,為上的范數(shù),定義試證明為度量空間,且不存在上的范數(shù),使得.2.2證明：由度量的定義可知是X上的度量.假設(shè)存在X上的范數(shù),使得,則對(duì)于,一定有.如果取,則 ,但是,因此不成立,所以一定不存在X上的范數(shù),使得.2.4設(shè)是賦范空間的線性子空間,若是的開集,證明.2.4證明：由于M是線性子空間,因此.由M是開集可知存在.因而對(duì)于任意,有,從而,因?yàn)镸是線性子空間,所以,即.2.6設(shè)是賦范線性空間,若且,試證明.2.6證明：由可知存在,使得,故所以,. 2.10 在中,若是中只有有限個(gè)坐標(biāo)不為零的數(shù)列全體,試證明是的線性子空間,但不是閉的.2.10證明：明顯地M是線性子空間,取,則 且,但,所以M不是閉的子空間.2.12 設(shè),滿足對(duì)任意成立，若在上連續(xù),試證明是線性的.2.12證明：由可知,對(duì)所有正整數(shù)都成立.并且,故對(duì)所有正整數(shù)都成立.因此所有正有理數(shù)都有成立,由和可知并且,因而對(duì)所有有理數(shù)都有成立.由于在上連續(xù),因此,對(duì)于任意,有,使得,從而,所以是線性的.2.14設(shè)是有限維空間,為的基,試證明存在,使得,且,對(duì)成立.2.14證明：令,則M是 n-1維的閉子空間,且,由定理可知存在,使得,且對(duì)任意成立,令 ,則,且,對(duì)任意成立.2.16設(shè)是賦范空間,為的閉線性子空間,試證明存在,使得,且,對(duì)所有成立.2.16證明： 由M是閉線性子空間, 因此,因此存在,使得,且對(duì)于任意成立.令,則,且對(duì)任意成立.2.18設(shè)是嚴(yán)格凸空間,試證明對(duì)任意,且時(shí),有 使得.2.18證明：假設(shè)存在,使得,但,對(duì)任意成立,則,故有因而但這與矛盾,所以時(shí),有對(duì)某個(gè)成立.2.20試證明和都不是嚴(yán)格凸的賦范線性空間.2.20證明：在中,取,則,且,但,因而不是嚴(yán)格凸的.類似的,在中,取,則 ,且,但 ,所以不是嚴(yán)格凸的.2.22舉例說明在賦范線性空間中,絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)不一定是收斂級(jí)數(shù).2.22證明：令,定義,則是賦范空間,取,則 ,因此絕對(duì)收斂,但級(jí)數(shù)不收斂.2.24 設(shè)是賦范線性空間,試證明對(duì)任意,有.2.24證明：由可知, ,因而,所以, .2.26在中,試證明是的完備線性子空間.2.26證明：容易驗(yàn)證是的線性子空間.由于是完備賦范線性空間,是的閉子空間,因此是的完備線性子空間.2.28 在中,取范數(shù)，,則為的線性子空間,對(duì),試求出,使得.2.28證明：由于,并對(duì)于,有,所以,且.習(xí)題三3.2 設(shè),算子, ,試證明是線性有界算子,并求.3.2證明： 由T的定義可知T是線性算子,且, 因此,從而T是線性有界算子. 取,則,且,故,所以.3.4 設(shè),試證明.3.4證明：由于,因此.對(duì)于任意,由可知,有,使得,故,因而對(duì)任意n成立從而,所以3.6 設(shè)是賦范空間,若對(duì)任意,有,試證明 .3.6 證明：定義,則是到K的線性有界算子,且對(duì)于任意,有因?yàn)槿我赓x范空間X的共軛空間 都是完備的,因此由一致有界原理,有.由的定義可知故,所以,.3.7 設(shè),是賦范空間, 試證明是空間當(dāng)且僅當(dāng)是空間.證明思路：明顯地,只需證明是空間時(shí),是空間.由于,因此有,故由Hahn-Banach定理存在,使得.若是Cauchy列,定義算子列為,則,并且,因而為的Cauchy列,所以存在,使得.不難證明,從而是空間.3.8 設(shè)是空間,且對(duì)任意,試證明.3.8證明： 由于,因此對(duì)任意x成立,由X是空間可知因而,所以,即f是X的線性連續(xù)泛函.3.10 設(shè),是賦范空間,是線性算子,且是滿射,若存在,使得對(duì)任意成立,試證明是線性連續(xù)算子,且.3.10 證明：由可知T是單射,因而存在,且對(duì)于任意,由T滿射可知存在,使得,容易驗(yàn)證是線性算子,故,所以,連續(xù),且.3.12 設(shè)是空間,是上的非零線性泛函,試證明一定是開映射.3.12證明：由可知存在,使得,故對(duì)于的開集及任意,必有,使得,由于是開集,故有,使,因此對(duì),有,因而,但 ,故 ,即為的內(nèi)點(diǎn),所以為開集,即一定開映射.3.13 設(shè)是賦范空間,是從到的線性算子,是從到的線性算子,若對(duì)任意,有,試證明和都是線性連續(xù)算子.證明思路：先證為閉算子,從而是線性連續(xù)算子,然后利用Hahn-Banach定理的推論可知, 當(dāng)時(shí),存在,使得,不難進(jìn)一步證明為是線性連續(xù)算子.3.14 設(shè),是賦范空間,為到的閉線性算子,為的緊集,試證明為的閉集.3.14證明：若,且,則存在使得,由于是緊集,因此存在,使得,且.由及是閉線性算子可知,所以,即是閉集.3.15 設(shè)為空間,為到的線性算子,若,且和都是閉的,試證明.證明思路：由于的定義域?yàn)?因此明顯地,只需證明為閉線性算子.設(shè)有點(diǎn)列,當(dāng)時(shí),.由是閉的,可知必有,使得.由于,因此,即.由是閉的,可得,從而.因此,所以為閉線性算子.由閉圖像定理可知3.16 設(shè),賦范空間,若強(qiáng)收斂于,試證明弱收斂于.3.16證明：由于強(qiáng)收斂于,因此對(duì)任意,有,故對(duì)于任意,有,所以弱收斂于.習(xí)題四4.2 試證明.4.2證明：對(duì)于任意,有,故對(duì)于任意,有由于因此由可知收斂,從而絕對(duì)收斂,且令,則,且對(duì)于任意,都,有 且.反過來,對(duì)于任意 ,則定義f為則是上的線性連續(xù)泛函,且,所以 4.4 試證明.4.4證明： 用反證法,假設(shè) ,則由于是可分的,因此是可分的,但這與不可分矛盾,所以4.6 試證明在中強(qiáng)收斂比按坐標(biāo)收斂強(qiáng). 4.6證明：若,且,則因此,對(duì)于任意有從而,所以強(qiáng)收斂比按坐標(biāo)收斂強(qiáng).4.7 設(shè)是無窮維的賦范空間,試證明一定也是無窮維的賦范空間.證明思路：對(duì)于任意的自然數(shù),由于是無窮維的賦范空間,因此存在個(gè)線性無關(guān)的的,由Hahn-Banach定理,不難證明存在,使得,從而只需證明是線性無關(guān)的,則,所以一定也是無窮維的賦范空間.4.8設(shè)是賦范空間,若是相對(duì)緊的,試證明.4.8證明：由于是相對(duì)緊的,因此存在子列收斂于,但弱收斂于,因此對(duì)于任意,有.由收斂于可知,從而,對(duì)任意成立.因而.故,所以.4.10設(shè)為賦范空間,若,試證明4.10證明：對(duì)于任意,定義上的泛函,則由,可知f是X上的線性連續(xù)泛函,由于弱收斂,因此,因而,所以弱收斂.4.12 設(shè)為空間,弱收斂于,且收斂于,試證明.4.12證明：由于弱收斂于時(shí),有,使得,因此所以,當(dāng)弱收斂于,且收斂于時(shí),有.4.14設(shè)是空間,且存在且有界,試證明的逆存在且.4.14證明：由 及 可知 T*-1存在,并且.4.16設(shè)是賦范空間,試證明.4.16證明：反證法,假設(shè),則由于是閉子空間,因此,故由定理可知存在,使得且對(duì)于任意 ,所以,但這與弱收斂于矛盾,因而弱收斂時(shí),一定有.習(xí)題五5.2設(shè)是內(nèi)積空間,試證明是上的線性連續(xù)泛函,且. 5.2證明： 由可知線性泛函,且,因此是上的連續(xù)線性泛函,并且,取,則，所以，.5.4 設(shè)是內(nèi)積空間,若試證明線性無關(guān).5.4證明：若,且則對(duì)于,當(dāng)時(shí),有.因此,所以線性無關(guān).5.6 設(shè)是空間的閉真子空間,試證明含有非零元素.5.6 證明： 由是的真子空間,因而對(duì),存在,使得 ,由及可知所以,且,即含有非零元.5.8 設(shè)是空間的閉真子空間,試證明.5.8證明：由于,因此只須證.對(duì)于任意有使得,由可知,故,因此,所以,因而,從而.5.9 設(shè)是實(shí)內(nèi)積空間上的線性連續(xù)泛函,若,試求,使得.5.9 解答:取,則一定有.5.10 設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集,試證明.5.10 證明：由可知, .反過來,對(duì)任意,及,可知,因而對(duì)于任意 成立,故因此,所以.5.12 設(shè)是空間,、是的閉真空間,試證明是的閉子空間.5.12證明：明顯地是的線性子空間,因此只須證在中是閉的,若 ,且,則由于是空間,是閉子空間,因此,故.因而,所以,故,即是的閉子空間.5.14 設(shè)是內(nèi)積空間,試證明的充要條件為對(duì)任意,有.5.14 證明：若,則對(duì)任意,有且 因此.反過來,若,有,則由和 可知令 ,則因而,所以.5.16設(shè)是內(nèi)積空間,試證明當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意,有.5.16證明：若,則對(duì)任意,有,因此 ，所以.反過來,若對(duì)任意,有,則令,由及因此,所以,.5.17 設(shè)是內(nèi)積空間的正交規(guī)范集,試證明對(duì)任意成立.5.17證明：由于是X的正交規(guī)范集,因此對(duì)任意,有故5.18設(shè)為空間的正交規(guī)范集,試證明時(shí),有.5.18證明：若,則由于是正交規(guī)范集,因此.因?yàn)槭峭陚涞?所以由 可知是收斂級(jí)數(shù),記,則故,由,可知,因而,所以,即.5.19設(shè)是空間的正交集,試證明弱收斂當(dāng)且僅當(dāng).5.19證明：若弱收斂,則存在,使得對(duì)任意成立,故由是正交集可知,所以.反之,若,則由可知是的列,所以在空間中收斂,因而弱收斂.5.20設(shè)是內(nèi)積空間的正交規(guī)范集,則對(duì)于任意中最多只有可列個(gè)不為零,且.5.20證明：若是有限集,則明顯地,有 若不是有限集,則對(duì)于任意,只能是有限集,因而是可數(shù)集,且對(duì)任意,有,故5.21 設(shè)是空間,若存在,且,試證明存在且.5.21 證明：由于是空間,且,因此存在.對(duì)于任意,有又因?yàn)?所以,因而.5.22 設(shè)是空間,若,試證明.5.22證明：由及,可知時(shí),有 ,因此.5.24 若是空間,是自伴算子,試證明是自伴算子.5.24證明：由于是自伴算子,因此 ,且,所以對(duì)于.5.25 設(shè)是空間,若是自伴算子,試證明是自伴算子.5.25證明：由于,因此,所以是自伴的.5.26 設(shè)是復(fù)空間,若試證明存在唯一的自伴算子,使得,且.5.26 證明：令,則,且由于因此和都是自伴算子.假設(shè)存在自伴算子,使得,則且,因此.所以,存在唯一的自伴算子,使得.5.27 設(shè)是空間,若是正規(guī)算子,試證明是正規(guī)算子.5.27 證明：由于是正規(guī),因此故由可知,所以即是正規(guī)算子.5.28 設(shè)是復(fù)空間,試證明是正規(guī)算子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意成立.5.28 證明：若是正規(guī)算子,則,因此對(duì)于任意,有,故,因此,所以對(duì)任意成立.反之,若對(duì)任意有,則,故.因而對(duì)任意成立.所以,即是正規(guī)