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二次曲線中點(diǎn)弦問題求解方法探析 本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計） 題目 二次曲線中點(diǎn)弦問題求解方法探析 姓名 張清玉 學(xué)號 104080406 院 系 數(shù)學(xué)學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師（職稱/學(xué)歷）張紹宗（副教授） 2014年 4月 10日云南師范大學(xué)教務(wù)處云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書系別：數(shù)學(xué)學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級：10數(shù)E班 學(xué)生姓名：張清玉 學(xué)號：104080406 論文題目：二次曲線中點(diǎn)弦問題求解方法探析 一、畢業(yè)論文（設(shè)計）的目的（一）培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行科學(xué)研究和獨(dú)立分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，實事求是和認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作作風(fēng)。（二）通過撰寫畢業(yè)論文（設(shè)計），進(jìn)一步深化所學(xué)知識，運(yùn)用正確的研究方法，收集相關(guān)資料，進(jìn)行調(diào)查研究，提高寫作能力。（三）進(jìn)一步加深對基礎(chǔ)理論的理解，擴(kuò)大專業(yè)知識面，完成教學(xué)計劃規(guī)定的基本理論、基本方法和基本技能的綜合訓(xùn)練，力求在收集資料、查閱文獻(xiàn)、調(diào)查研究、方案設(shè)計、外文應(yīng)用、計算機(jī)處理、撰文論證、文字表達(dá)等方面加強(qiáng)訓(xùn)練，實現(xiàn)所學(xué)知識向能力的轉(zhuǎn)化。（四）鼓勵學(xué)生勇于探索和大膽創(chuàng)新。二、畢業(yè)論文（設(shè)計）的要求（一）畢業(yè)論文（設(shè)計）選題應(yīng)符合本專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的要求，具有理論意義和實際價值。（二）畢業(yè)論文（設(shè)計）有一定的深度和廣度，份量適中。（三）畢業(yè)論文（設(shè)計）的正文內(nèi)容文題相符，結(jié)構(gòu)合理，層次分明，合乎邏輯;概念準(zhǔn)確，語言流暢;論點(diǎn)鮮明,論據(jù)充分,自圓其說。（四）畢業(yè)論文（設(shè)計）應(yīng)當(dāng)反映出學(xué)生查閱文獻(xiàn)、獲取信息的能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題與解決問題的能力，研究方案的設(shè)計能力，研究方法和手段的運(yùn)用能力，外語和計算機(jī)的應(yīng)用能力及團(tuán)結(jié)協(xié)作能力。（五）畢業(yè)論文（設(shè)計）書寫格式規(guī)范，符合云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院全日制本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）管理實施細(xì)則的要求。指導(dǎo)教師（簽字）： 主管院、系領(lǐng)導(dǎo)（簽字）： 2014年4月10日云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院本科生論文（設(shè)計）任務(wù)書一、畢業(yè)論文設(shè)計目的一.研究意義1.直線與二次曲線相交所得中點(diǎn)弦問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點(diǎn)問題及高考命題的常用素材和熱點(diǎn)問題.2.二次曲線在數(shù)學(xué)高考中為必考知識點(diǎn)，主要考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及與直線的位置關(guān)系和求軌跡方程等涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有:數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、 等價轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、整體思想以及配方、換元、構(gòu)造、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)方法3.圓錐曲線為載體在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計問題也是近幾年來數(shù)學(xué)高考的一大特點(diǎn)，以考查學(xué)生的應(yīng)變能力以及分析問題和解決問題的能力4.本文就圓錐曲線的“ 中點(diǎn)弦” 問題中的求中點(diǎn)弦方程、求與中點(diǎn)弦有關(guān)的軌跡問題作歸納總結(jié)，幫助學(xué)生有效解決二次曲線中點(diǎn)弦這一大難題.二、畢業(yè)論文設(shè)計內(nèi)容要求1、畢業(yè)論文（設(shè)計）選題內(nèi)容應(yīng)結(jié)合實際現(xiàn)狀，有據(jù)有理，給出充分的參考文獻(xiàn)，并在文中加以標(biāo)注，有研究意義及價值。2、畢業(yè)論文（設(shè)計）的研究現(xiàn)狀應(yīng)陳述前人已經(jīng)解決了什么問題，得到了什么結(jié)論，尚存在哪些值得研究的問題。3、畢業(yè)論文（設(shè)計）應(yīng)具有一定廣度和深度，字?jǐn)?shù)適中。4、畢業(yè)論文（設(shè)計）應(yīng)給出自己的評述，說明該論文希望解決其中那些未解決的問題，說明已有的基礎(chǔ)和本研究的可行性。5畢業(yè)論文書寫格式規(guī)范符合，云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院全日制本科畢業(yè)生論文（設(shè)計）管理實施細(xì)則的要求。 指導(dǎo)教師簽字：_云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院本科生畢業(yè)論文原創(chuàng)性承諾本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)論文(設(shè)計),是本人在指導(dǎo)教師的知道下獨(dú)立研究，撰寫論文內(nèi)容及成果。論文（設(shè)計）中引用他人的期刊、圖書、資料，均在論文（設(shè)計）中加以說明，除此之外，本論文（設(shè)計）不含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表過或撰寫的成果作品。對本文研究做出重要貢獻(xiàn)的個人或集體，均已在文中作了明確說明。本承諾的一切后果由本人承擔(dān)。畢業(yè)論文（設(shè)計）作者姓名：_2014年4月 10 日 二次曲線中點(diǎn)弦問題求解方法探析摘要 二次曲線中點(diǎn)弦性質(zhì)及其相關(guān)問題是高考的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)，通過本文的學(xué)習(xí)學(xué)生要學(xué)會適當(dāng)選取點(diǎn)差法、代入法、幾何法、直線參數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等方法求解二次曲線的中點(diǎn)軌跡，在應(yīng)對高考的同時掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法并提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 二次曲線中點(diǎn)弦的問題始終是解析幾何的一個主要問題.是充分反映代數(shù)與幾何不可分割關(guān)系的一個非常好的素材.要求學(xué)習(xí)者能從數(shù)、形兩方面深刻理解線與線之間的位置關(guān)系,并會適當(dāng)選取代入法、幾何法、直線參數(shù)法等求解二次曲線的中點(diǎn)軌跡，使解題過程得到優(yōu)化.同時培養(yǎng)學(xué)生直觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì);靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比歸納等各種數(shù)學(xué)思想方法,提高解題能力.關(guān)鍵詞 二次曲線中點(diǎn)弦的概念、性質(zhì)、公式及其相關(guān)問題 二次曲線中點(diǎn)軌跡的問題類型和解題方法Analysis of the twocurvesof midpoint chord ofproblem solving methodAbstract：The two curve midpoint chord properties and related problem is a key and difficult point of college entrance exmination,to learn proper trajeactory atmethod,substitution method,gemometric method,linear parameter method, derivativemethodfor solving twoquadratic curvethrough thelearning of the studentsinthe college entrance examination,andmaster themethods of learning of the students in the college entrance exmination,and master the methods of learning mathematics andpromoting mathematics literacy.Two times curvemidpoint chord of the problem is a major problem ofanalytic geometry.It is fully reflected in a very good material of algebra and geometry inseparablerelationship.Ask learnersfrom thenumber,form two aspects deep position to understand the relationship betweenthe line and the line, the midpoint locusandchoosing the appropriate substitution method, geometric method, linearparameter method to solve the two curves,yhe solving process was optimized. At linearparameter method to solve the twocurves,the solving process was the same time to cultivates students intuitive, rigorous thinking quality, flexible use ofnumeral form combination, classification discussion, analogyand other mathematical methods, improve the ability of solving problems.KeyWords ：The two concept,curve midpoint chord properties,formula and its related problemsTwopointtrajectorycurvetypes of problemsand problem solving methods 二次曲線中點(diǎn)弦問題求解方法探析 二次曲線中點(diǎn)弦的問題始終是解析幾何的一個主要問題.是充分反映代數(shù)與幾何不可分割關(guān)系的一個非常好的素材.本文從數(shù)、形兩方面深刻理解線與線之間的位置關(guān)系,并會適當(dāng)選取代入法、幾何法、直線參數(shù)法等求解二次曲線的中點(diǎn)軌跡，使解題過程得到優(yōu)化.同時培養(yǎng)學(xué)生直觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì);靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比歸納等各種數(shù)學(xué)思想方法,提高解題能力. 并且二次曲線的中點(diǎn)弦問題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，對鍛煉學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維有很大幫助.二次曲線的定義：二次曲線(圓錐曲線)的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0e1時，軌跡為雙曲線；當(dāng)e=0時，軌跡為圓（，當(dāng)時）.1.1二次曲線中點(diǎn)弦概念1對于給定點(diǎn)P和給定的圓錐曲線C，若C上的某條弦AB過P點(diǎn)且被P點(diǎn)平分，則稱該弦AB為圓錐曲線C上過P點(diǎn)的中點(diǎn)弦。其中圓錐曲線弦為連接圓錐曲線C上不同兩點(diǎn)A、B的線段AB稱為圓錐曲線C的弦.1.2 二次曲線中點(diǎn)弦公式 在解二次曲線中點(diǎn)弦有關(guān)問題時，可應(yīng)用兩點(diǎn)的曲線束方程中唯一的直線方程得到一套中點(diǎn)弦公式，這些公式容易導(dǎo)出，且特點(diǎn)明顯便于記憶和掌握，應(yīng)用它解題非常簡便.拋物線中點(diǎn)弦公式拋物線C：上，過給定點(diǎn)的中點(diǎn)弦所在直線方程為： 中點(diǎn)弦存在的條件：（點(diǎn)P在拋物線開口內(nèi)）. 橢圓中點(diǎn)弦公式橢圓C：上，過給定點(diǎn)P=(a,)的中點(diǎn)弦所在直線方程為： .中點(diǎn)弦存在的條件：（點(diǎn)P在橢圓內(nèi)）. 雙曲線中點(diǎn)弦公式雙曲線C：上，過給定點(diǎn)P=( a,)的中點(diǎn)弦所在直線方程為： 中點(diǎn)弦存在的條件：（點(diǎn)P不在雙曲線、漸近線上以及它們所圍成的區(qū)域內(nèi).） 1.3二次曲線中點(diǎn)弦性質(zhì)2性質(zhì)1 橢圓、雙曲線的過定點(diǎn)（m,0）(m0,且m)的一條弦兩端點(diǎn)和其焦點(diǎn)軸上的兩頂點(diǎn)的連線的交點(diǎn)的軌跡是直線.性質(zhì) 2拋物線的過定點(diǎn)（m,0）(m0)的一條弦的一端點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的連線與過另一端點(diǎn)且平行于拋物線對稱軸的直線的交點(diǎn)的軌跡是直線x=-m.2.歸納求解二次曲線中點(diǎn)軌跡的類型和方法2.1求解二次曲線中點(diǎn)軌跡的類型 如果以圓、橢圓等圖形的中心為中心，按比例縮小圖形，則一定存在同類的圓、橢圓等與弦AB中點(diǎn)M相切（如下圖）.此時等比例縮小圖形的曲線方程如兩邊對求導(dǎo)，可發(fā)現(xiàn)并不改變原方程求導(dǎo)的結(jié)果.因此，利用導(dǎo)數(shù)法求中點(diǎn)弦的斜率，就是在中點(diǎn)處的值.BMA2.1 -12.1.1 求中點(diǎn)弦所在直線方程問題例1 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個根，于是，又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為.解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個交點(diǎn)為因為A、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。2.1.2 求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題定理設(shè)有二次曲線的方程為 ,、兩點(diǎn)在曲線上,是弦的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則證明設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）、兩點(diǎn)在曲線上，兩式相減得：整理得，又，證畢注:特別地，當(dāng)時，二次曲線為圓，顯然，有例2 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)D（1,0）引動弦AB，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解: 設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則由定理得整理得這就是點(diǎn)的軌跡方程例2 -1例3 設(shè)橢圓與直線相交于、兩點(diǎn)，且，又的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率為，求、b的值解:由定理得，(1)將代入橢圓方程整理得：設(shè)、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2,則，即(2)由(1)、(2)解得例4 過橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程.解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（），則有，兩式相減得，又因為，所以，所以，而，故.化簡可得 （）.解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，又因為Q在橢圓上，所以，即，所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為（）.(3)弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題引理3 設(shè)A、B是二次曲線C：上的兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，則例 求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo). 解：解法一：設(shè)直線與拋物線交于，其中點(diǎn)，由題意得,消去y得，即，所以，即中點(diǎn)坐標(biāo)為.解法二：設(shè)直線與拋物線交于，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點(diǎn)坐標(biāo)為.推論1 設(shè)圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時，則過點(diǎn)P的切線斜率為） 推論2 設(shè)橢圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則）（注：對ab也成立,假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過點(diǎn)P的切線斜率為）推論3 設(shè)雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為P（則）（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過P點(diǎn)的切線斜率為）推論 4 設(shè)拋物線的弦AB的中點(diǎn)為P（則）（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，則過點(diǎn)P的切線斜率為）2. 2已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線的一弦中點(diǎn)，求該弦的方程2.2.1 聯(lián)立方程法.用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程（斜率不存在的情況需要另外考慮），與圓錐曲線方程聯(lián)立求得關(guān)于x的一元二次方程和關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程.2.2.2 點(diǎn)差法4，或稱代點(diǎn)相減法.解二次曲線中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.若設(shè)直線與二次曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為,將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量.這種代點(diǎn)作差的方法稱為“點(diǎn)差法”.設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)和，代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減，運(yùn)用平方差公式得由斜率為可以得到斜率的取值.（使用時注意判別式的問題）例1、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程.解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即.例2、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， 又 ， 兩式相減得即，即 ，即由，得點(diǎn)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為例3、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程.解：設(shè)橢圓的方程為，則 設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是例4、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱.解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即，這就是弦中點(diǎn)軌跡方程.它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得采用求導(dǎo)法、公式法、作差法、參數(shù)法等一些特殊的解題方法與技巧求二次曲線的中點(diǎn)軌跡方程，不但優(yōu)化解題過程，而且提高了解題速度，更有利于開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力.3.導(dǎo)數(shù)法原理 3.1利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把二次曲線方程看作y是x的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可輕松求出切線的斜率 如對圓兩邊對求導(dǎo)，則有所以在切點(diǎn)（m,n）處的切線斜率.從而求出切線方程是.類似地可以輕松求出過橢圓、雙曲線、拋物線等曲線上的點(diǎn)的切線方程.類型一：以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程例1曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決例2與直線的平行的拋物線的切線方程是（） 解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為由此得到切點(diǎn)（1,1）故切線方程為，即，故選3.2利用導(dǎo)數(shù)法求解中點(diǎn)弦問題 二次曲線的弦的中點(diǎn)軌跡是平面解析幾何中的一個難點(diǎn).要求解二次曲線的弦的中點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵是弦的斜率如何用它的中點(diǎn)坐標(biāo)表示.例3. 已知定點(diǎn)A（0，2），橢圓，過A任意引直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M（x，y）.對橢圓兩邊求導(dǎo)，得所以的斜率為.又，所以.化簡即得（在橢圓內(nèi)的部分）.3.3 求與中點(diǎn)弦有關(guān)的對稱問題例4. 求拋物線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，求m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，曲線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn).（2）當(dāng)m0時，假設(shè)存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，設(shè)這兩點(diǎn)的中點(diǎn)為A（a，b），則A必在拋物線內(nèi)，所以.對兩邊求導(dǎo)，得，所以中點(diǎn)弦的斜率為. 將點(diǎn)A（a，b）坐標(biāo)代入得由得即又恒成立，所以故時滿足題意。綜上（1）（2），m取值范圍是.二次曲線中點(diǎn)弦