格林公式及其應(yīng)用(28).ppt

思考與練習(xí) 1 設(shè) 且都取正向 問下列計(jì)算是否正確 提示 一 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 二 二元函數(shù)的全微分求積 第三節(jié) 2 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 第十一章 p197 例2 回顧 結(jié)果 被積函數(shù)相同 起點(diǎn)終點(diǎn)也相同 但是由于積分路徑不同 導(dǎo)致積分結(jié)果不同 稱此曲線積分與路徑有關(guān) 被積函數(shù)相同 起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同 雖然積分路徑不同 但是積分結(jié)果相同 稱此曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 回顧 p197 例3 結(jié)果 1 曲線積分與路徑義無(wú)關(guān)的定義 B A 如果在區(qū)域G內(nèi)有 一 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 2 平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件 定理2 設(shè)D是單連通域 在D內(nèi) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 1 沿D中任意光滑閉曲線L 有 2 對(duì)D中任一分段光滑曲線L 曲線積分 3 4 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有 與路徑無(wú)關(guān) 只與起止點(diǎn)有關(guān) 函數(shù) 則以下四個(gè)條件等價(jià) 在D內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分 即 說明 積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí) 曲線積分可記為 證明 1 2 設(shè) 為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲 線 則 根據(jù)條件 1 證明 2 3 在D內(nèi)取定點(diǎn) 因曲線積分 則 同理可證 因此有 和任一點(diǎn)B x y 與路徑無(wú)關(guān) 有函數(shù) 證明 3 4 設(shè)存在函數(shù)u x y 使得 則 P Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有 證明 4 1 設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線 如圖 利用格林公式 得 所圍區(qū)域?yàn)?證畢 注意 1 常用來判斷曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 2 當(dāng)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí) 常選擇最簡(jiǎn)路徑 平行于坐標(biāo)軸的直線段組成的折線作為積分路徑 如果D是復(fù)連通域 即使曲線積分也不一定與路徑無(wú)關(guān) 注意以上的結(jié)果與L的形狀無(wú)關(guān) 單連通的條件不可去 見p205例4 當(dāng)曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)時(shí) 我們可以不沿指定的L積分 一般選擇沿折線積分 例1 解 練習(xí)證明下列曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 并計(jì)算積分值 教材214頁(yè) 題4 2 解 曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 可沿折線積分 二 二元函數(shù)的全微分求積 1 原函數(shù) 如果存在一個(gè)函數(shù)u x y 使得 du x y P x y dx Q x y dy 原函數(shù) 全微分式 例如 全微分式 2 判別定理 定理3 設(shè)函數(shù)P x y Q x y 在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則P x y dx Q x y dy在D內(nèi)為某一函數(shù)全微分 在D內(nèi)恒成立 3 全微分求積 當(dāng)Pdx Qdy為全微分式時(shí) 求其原函數(shù)u x y 的過程 與路徑無(wú)關(guān) 可選平行于坐標(biāo)軸的折線作為積分路徑 如圖取為積分路徑 得 如圖取為積分路徑 得 例2 驗(yàn)證 在整個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)是某個(gè)函數(shù)u的全微分 并求u 在整個(gè)坐標(biāo)面上是某個(gè)函數(shù)的全微分 注 起點(diǎn)可以任選 一般選原點(diǎn) 原函數(shù)可以相差一個(gè)常數(shù) 練習(xí) 解 或 例3 解 全微分方程及其求法 定義 若有全微分形式 例如 所以原方程是全微分方程 全微分方程 全微分方程的解法 1 應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 則全微分方程的通解為 例1 這是全微分方程 方程的通解為 故 故 例1 解 是全微分方程 將左端重新組合 原方程的通解為 例2 用直接湊全微分的方法 內(nèi)容小結(jié) 1 格林公式 2 等價(jià)條