工程統(tǒng)計(jì)學(xué)-第4章單樣本決策.ppt

2020 2 12 1 西南科技大學(xué)工業(yè)工程與設(shè)計(jì)系 朱伏平 2020 2 12 2 2020 2 12 3 統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的科學(xué) 它提供了探索數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律的一套方法 通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)得收集和分析 找出內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律 一般來(lái)說(shuō) 包括以下幾類問(wèn)題 一 參數(shù)估計(jì)的基本問(wèn)題 Thebasicparameterestimationproblems 未知分布函數(shù)的估計(jì) 參數(shù)估計(jì) 統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn) 點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì) 參數(shù)估計(jì)的幾類問(wèn)題 矩估計(jì)法 最大似然估計(jì)法 2020 2 12 4 統(tǒng)計(jì)量是用樣本構(gòu)造的函數(shù) 它包含了樣本中的信息 因而可以用統(tǒng)計(jì)量的值來(lái)推斷總體參數(shù) 如均值 方差 成數(shù)等 統(tǒng)計(jì)量 設(shè)X1 X2 Xn為總體X的一個(gè)樣本 g X1 X2 Xn 為一連續(xù)函數(shù) 若g中不含未知參數(shù) 為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 設(shè)x1 x2 xn是一組樣本觀察值 稱 g x1 x2 xn 是統(tǒng)計(jì)量g X1 X2 Xn 的一個(gè)觀察值 則稱 g X1 X2 Xn 2020 2 12 5 點(diǎn)估計(jì)的概念設(shè) 是總體X分布的未知數(shù) 是用X的樣本構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量 的一個(gè)觀察值 去估計(jì)未知參數(shù) 的真值 參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì) 為 的估計(jì)量 為 的一個(gè)估計(jì)值 由于估計(jì)量是隨機(jī)變量 抽取不同的樣本 其取值是各不相同的 用一個(gè)特定樣本對(duì)總體未知參數(shù)所作的估計(jì) 僅是所有可能估計(jì)值中的一個(gè)點(diǎn) 故稱為點(diǎn)估計(jì) 稱為 并稱統(tǒng)計(jì)量 2020 2 12 6 2020 2 12 7 2020 2 12 8 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) Thepointestimateparameters 常用的兩種點(diǎn)估計(jì)方法 矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法 1矩估計(jì)法 基本思想 樣本X1 Xn作為總體的一個(gè)代表 由其構(gòu)成的樣本一定程度上反映了總體矩 由大數(shù)定理知 樣本矩依概率收斂于總體矩 因此只要總體X的K階原點(diǎn)矩存在 就可以用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計(jì)量 按矩估計(jì)法 樣本均值是總體均值的估計(jì)量 即 2020 2 12 9 樣本方差S2是總體方差的估計(jì)量 即 備注 矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn) 簡(jiǎn)單 直觀 并且不必知道總體的分布類型 廣泛應(yīng)用 缺點(diǎn) 首先它要求總體的k階原點(diǎn)矩存在 否則無(wú)法估計(jì) 其次它不考慮總體分布類型 不利于充分利用總體分布函數(shù)所提供的信息 2020 2 12 10 統(tǒng)計(jì)學(xué)中對(duì)矩的定義 所謂的k階原點(diǎn)矩和k階中心矩 對(duì)于離散情形下 是取和之后再平均 而對(duì)于連續(xù)情況 取而代之的則是積分 而原點(diǎn)矩和中心矩的區(qū)別就在于對(duì)數(shù)據(jù)的處理上的不同 原點(diǎn)矩描述的是數(shù)據(jù)在原點(diǎn)0處附近的特性 中心矩則描述的是數(shù)據(jù)在其平均值附近的特性 二者的關(guān)系就好比如概率論中期望與方差的關(guān)系 2020 2 12 11 設(shè)某種元件的壽命X N 2 其中 2未知 現(xiàn)隨機(jī)測(cè)得10個(gè)元件的壽命如下 小時(shí) 1502 1453 1367 1108 16501213 1208 1480 1550 1700試估計(jì) 和 2 解 使用excel中 AVERAGE VARP功能可得 例1 產(chǎn)品壽命均值和方差的估計(jì) 2020 2 12 12 2020 2 12 13 2020 2 12 14 2020 2 12 15 2020 2 12 16 2020 2 12 17 1 無(wú)偏性 為未知參數(shù) 的估計(jì)量 則稱 為 的無(wú)偏估計(jì)量 無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的最基本要求 無(wú)偏估計(jì)將不會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)性的估計(jì)偏差 不難證明 對(duì)任意總體X 和樣本 方差S2分別是總體均值和總體方差的無(wú)偏估計(jì) 估計(jì)量的優(yōu)良準(zhǔn)則 簡(jiǎn)稱無(wú)偏估計(jì) 若 樣本均值 樣本比例也是總體比例的無(wú)偏估計(jì) 2020 2 12 18 2020 2 12 19 有效性是衡量估計(jì)量最重要的標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)給定的樣本容量 有效估計(jì)是所有無(wú)偏估計(jì)量中估計(jì)誤差最小的 是參數(shù) 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì) 若 有效 容量 是 所有無(wú)偏估計(jì)中方差最小的 是 的最小方差無(wú)偏估計(jì) 2 有效性 對(duì)固定的樣本 若 則稱 也稱為 的有效估計(jì) 樣本均值和樣本比例 都是總體均值和總體比例的有效估計(jì) 而對(duì)正態(tài)總體 樣本方差也是總體方差的有效估計(jì) 可以證明 對(duì)任意總體 2020 2 12 20 2020 2 12 21 3 一致性 設(shè)是參數(shù)的估計(jì)量 對(duì)于任意給定的 當(dāng)時(shí)有則稱為的一致估計(jì)量 2020 2 12 22 2020 2 12 23 2020 2 12 24 二 假設(shè)檢驗(yàn) 1 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)在總體的分布函數(shù)已知 但參數(shù)未知時(shí) 如對(duì)總體分布中的未知參數(shù)提出假設(shè) 則如何利用樣本提供的信息來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè) 即接受此假設(shè)還是拒絕此假設(shè) 這類統(tǒng)計(jì)問(wèn)題我們稱之為參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 參數(shù)估計(jì)和參數(shù)檢驗(yàn)是利用樣本對(duì)總體的統(tǒng)計(jì)特性提供的信息 建立樣本的函數(shù) 即估計(jì)量或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 是從不同角度處理總體未知參數(shù)的兩種統(tǒng)計(jì)方法 2020 2 12 25 2020 2 12 26 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 設(shè)總體為 建立假設(shè)這里表示原假設(shè) 表示備擇假設(shè) 假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 就是要建立一個(gè)合理的法則 根據(jù)這一法則 利用已知樣本作出接受原假設(shè) 即拒絕備擇假設(shè) 還是拒絕原假設(shè) 即接受備擇假設(shè) 的決策 2020 2 12 27 判斷 假設(shè) 的依據(jù) 實(shí)際推斷原理 概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不會(huì)發(fā)生的 如果原假設(shè)為真 則由一次抽樣計(jì)算而得的樣本觀測(cè)值 滿足不等式此事件幾乎是不會(huì)發(fā)生的 現(xiàn)在在一次觀測(cè)中竟然出現(xiàn)了滿足上述不等式的樣本均值 則我們有理由懷疑原來(lái)的假設(shè)的正確性 因而拒絕原假設(shè) 若出現(xiàn)的觀測(cè)值不滿足上述不等式 此時(shí)沒(méi)有足夠的理由拒絕 因此只能接受原假設(shè) 2020 2 12 28 2020 2 12 29 2020 2 12 30 2020 2 12 31 兩類錯(cuò)誤 在使用任何一個(gè)檢驗(yàn)法 相當(dāng)于確定一個(gè)拒絕域 時(shí) 由于抽樣的隨機(jī)性 作出的判斷總可能會(huì)犯兩類錯(cuò)誤 一是假設(shè)實(shí)際上為真時(shí) 我們卻作出拒絕的錯(cuò)誤決策 稱這類 棄真 的錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤 二是當(dāng)實(shí)際上不真時(shí) 我們卻接受了 稱這類 取偽 的錯(cuò)誤為第二類錯(cuò)誤 我們這里討論的檢驗(yàn)問(wèn)題中的顯著性水平控制了犯第一類錯(cuò)誤的概率 這種只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制 而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的檢驗(yàn)問(wèn)題 稱為顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題 2020 2 12 32 2020 2 12 33 2020 2 12 34 2020 2 12 35 2020 2 12 36 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟 第一步 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求 提出原假設(shè)和備擇假設(shè) 第二步 給定顯著性水平以及樣本容量 第三步 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布 并由原假設(shè)的內(nèi)容確定拒絕域的形式 構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量 第四步 由 拒絕 為真 求出拒絕域 第五步 根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體值 第六步 作出拒絕還是接受原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)判斷 2020 2 12 37 2020 2 12 38 2020 2 12 39 2020 2 12 40 2020 2 12 41 2020 2 12 42 三 區(qū)間估計(jì) 2020 2 12 43 2020 2 12 44 2020 2 12 45 2020 2 12 46 2020 2 12 47 2020 2 12 48 2020 2 12 49 2020 2 12 50 單個(gè)正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 已知 關(guān)于的檢驗(yàn) Z檢驗(yàn) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 可以根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的不同類型 確定檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域 四 方差已知的正態(tài)總體均值的推斷 2020 2 12 51 例某廠生產(chǎn)某種型號(hào)的內(nèi)胎 從長(zhǎng)期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)知道其扯斷強(qiáng)力服從均值 1380 N 標(biāo)準(zhǔn)差 50 N 的正態(tài)分布 該廠為提高產(chǎn)品的質(zhì)量 改變了原來(lái)的配方進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)生產(chǎn)試驗(yàn) 設(shè)新配方生產(chǎn)的內(nèi)胎其扯斷強(qiáng)力仍服從正態(tài)分布 由于在試驗(yàn)中除配方外 其他條件都保持不變 因此可以認(rèn)為新配方未改變此型號(hào)內(nèi)胎扯斷強(qiáng)力的方差 采用新配方的5次試驗(yàn) 測(cè)得內(nèi)胎扯斷強(qiáng)力為 單位 N 1450 1460 1360 1430 1420 試問(wèn)采用新配方 是否能提高內(nèi)胎的扯斷強(qiáng)力 顯著性水平為 0 1 2020 2 12 52 解對(duì)這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 需要檢驗(yàn)假設(shè)形如這樣的假設(shè)檢驗(yàn) 稱為右邊檢驗(yàn) 類似也有左邊檢驗(yàn) 此檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域的形式為查表得 而經(jīng)計(jì)算得 從而有 即 據(jù)此 拒絕原假設(shè) 2020 2 12 53 2020 2 12 54 2020 2 12 55 正態(tài)總體 未知 關(guān)于的檢驗(yàn) 小樣本 t檢驗(yàn) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 可以根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的不同類型 確定此檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域 五 方差未知的正態(tài)總體均值的推斷 2020 2 12 56 例某種元件 按照標(biāo)準(zhǔn)其使用壽命不低于1000 小時(shí) 現(xiàn)從生產(chǎn)出的一批元件中隨機(jī)抽取25件 測(cè)得其平均壽命為950 小時(shí) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為100 小時(shí) 假設(shè)該種元件壽命服從正態(tài)分布 對(duì)于置信度95 試問(wèn)這批元件是否可以認(rèn)為合格 解此問(wèn)題即要檢驗(yàn)拒絕域的形式為而由已知可得 又 即 故拒絕原假設(shè) 認(rèn)為這批元件不合格 2020 2 12 57 2020 2 12 58 2020 2 12 59 2020 2 12 60 六 正態(tài)總體方差的推斷 2020 2 12 61 無(wú)論已知或未知 建立假設(shè) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 拒絕域 或 2020 2 12 62 設(shè)某種元件的壽命X N 2 其中 2未知 現(xiàn)隨機(jī)測(cè)得10個(gè)元件的壽命如下 小時(shí) 1502 1453 1367 1108 16501213 1208 1480 1550 1700試估計(jì) 和 2 求例中元件壽命方差 2的95 置信區(qū)間 解 使用計(jì)算器的SD功能可得 例 產(chǎn)品壽命方差的估計(jì) 2020 2 12 63 解 由上頁(yè) S2 196 52 n 10 2 0 025 1 2 0 975 故所求 2的置信區(qū)間為 135 22 358 82 n 1 S2 n 1 S2 9 196 52 19 023 9 196 52 2 7 135 22 358 82 2020 2 12 64 這里討論的是在大樣本 樣本容量 情形下總體均值和總體比率的假設(shè)檢驗(yàn) 總體均值和總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)這里利用中心極限定理 在樣本容量充分大時(shí) 樣本均值近似服從正態(tài)分布 從而可以構(gòu)造相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和確定出檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域 這部分內(nèi)容 請(qǐng)同學(xué)們下去自己看教材P38 P40 六 非正態(tài)總體參數(shù)的推斷 2020 2 12 65 前面的分析都是在給定的樣本容量和樣本數(shù)據(jù)下求置信區(qū)間 但在實(shí)際應(yīng)用中 應(yīng)當(dāng)在隨機(jī)抽樣前就確定所需抽取的樣本容量 抽取的樣本容量過(guò)大 雖然可以提高統(tǒng)計(jì)推斷的精度 但將增加不必要的人力 物力 費(fèi)用和時(shí)間開支 如果抽取的樣本容量過(guò)小 則又會(huì)使統(tǒng)計(jì)推斷的誤差過(guò)大 推斷結(jié)果就達(dá)不到必要的精度要求 確定樣本容量的原則 在滿足所需的置信度和允許誤差條件 置信區(qū)間的d值 下 確定所需的最低樣本容量 七 樣本容量的確定 2020 2 12 66 總體均值區(qū)間估計(jì)時(shí)樣本容量的確定 在給定置信度和允許誤差d的條件下 由 可得 其中總體標(biāo)準(zhǔn)差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差也是未知的 通常可以先通過(guò)小規(guī)模抽樣作出估計(jì) 由于使用的是近似公式 可知實(shí)際采用的最低樣本容量應(yīng)比計(jì)算結(jié)果稍大 2020 2 12 67 2020