隨機(jī)變量的數(shù)字特征ppt課件.ppt

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 4 1數(shù)學(xué)期望 2 4 1數(shù)學(xué)期望 布萊士 帕斯卡 兩個(gè)賭徒甲 乙向他提出了一個(gè)問題 甲乙兩個(gè)人賭博 兩人獲勝的機(jī)率相等 約定誰先贏滿5局 誰就獲得100法郎 甲贏了4局 乙贏了3局 時(shí)間很晚了 他們都不想再賭下去了 那么 這個(gè)錢應(yīng)該怎么分 甲的期望所得值就是0 0 25 100 0 75 75乙的期望所得值就是0 0 75 100 0 25 25 一 數(shù)學(xué)期望的由來 設(shè)X為甲獲得的法郎 Y為乙獲得的法郎 3 4 1數(shù)學(xué)期望 二 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P X xk pk k 1 2 若級(jí)數(shù)絕對收斂 則稱級(jí)數(shù)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 記為E X 即 4 4 1數(shù)學(xué)期望 關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明 1 E X 是一個(gè)實(shí)數(shù) 而非變量 它是一種加權(quán)平均 與一般的算術(shù)平均值不同 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值 也稱均值 2 級(jí)數(shù)的絕對收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值 它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變 5 4 1數(shù)學(xué)期望 例1 設(shè)有10個(gè)同種電子元件 其中2個(gè)廢品 裝配儀器時(shí) 從這10個(gè)中任取1個(gè) 若是廢品 扔掉后重取1只 求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望 解 X的分布律為 6 4 1數(shù)學(xué)期望 例2 某車站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一輛客車到站 但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的 且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立 其規(guī)律為一旅客8 20到車站 求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望 8 108 308 50到站時(shí)刻9 109 309 50概率 7 4 1數(shù)學(xué)期望 例3 8 4 1數(shù)學(xué)期望 三 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 9 4 1數(shù)學(xué)期望 例4 10 例5 設(shè)X的概率密度為求解 4 1數(shù)學(xué)期望 11 4 1數(shù)學(xué)期望 幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望 12 4 1數(shù)學(xué)期望 四 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 若Y g X 且 則有 13 4 1數(shù)學(xué)期望 例6設(shè) X 202 0 40 30 3 P 則E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 E 3X2 5 3E X2 5 13 4 思考 14 4 1數(shù)學(xué)期望 2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 若X是連續(xù)型r v 其密度為f x 則g X 的期望為 15 例7 4 1數(shù)學(xué)期望 16 4 1數(shù)學(xué)期望 1 設(shè)C是常數(shù) 則有 證明 2 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量 C是常數(shù) 則有 證明 例如 五 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 17 4 1數(shù)學(xué)期望 4 設(shè)X Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 則有 3 設(shè)X Y是兩個(gè)隨機(jī)變量 則有 一般地 E aX bY aE X bE Y 18 數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù) 而非變量 它是一種加權(quán)平均 與一般的平均值不同 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值 2 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 4 1數(shù)學(xué)期望 六 小結(jié) 19 4 2方差 20 4 2方差 現(xiàn)有兩批燈泡 第一批燈泡壽命為 一半約950小時(shí) 另一半約1050小時(shí) 平均壽命為1000小時(shí) 第二批燈泡壽命為一半約1300小時(shí) 另一半約700小時(shí) 平均壽命為1000小時(shí) 問題 哪批燈泡的質(zhì)量更好 質(zhì)量更穩(wěn)定 單從平均壽命這一指標(biāo)無法判斷 進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度 21 4 2方差 一 方差的定義 1 方差是一個(gè)特殊的函數(shù)g X X E X 2的期望 2 方差用來度量隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望 即均值 的偏離程度 22 4 2方差 離散型隨機(jī)變量的方差 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差 二 方差的計(jì)算 1 利用定義計(jì)算 23 4 2方差 證明 2 利用公式計(jì)算 24 4 2方差 證明 三 方差的性質(zhì) 1 設(shè)C是常數(shù) 則有 2 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量 C是常數(shù) 則有 證明 25 4 2方差 3 設(shè)X Y相互獨(dú)立 D X D Y 存在 則 證明 注 相互獨(dú)立時(shí) 乘積的期望等于期望的乘積 26 4 2方差 綜上 設(shè)X Y相互獨(dú)立 E X E Y D X D Y 存在 a b c是常數(shù) 則 注意 對任意的隨機(jī)變量X Y都有E aX bY aE X bE Y 27 例1 設(shè)隨機(jī)變量X具有0 1分布 其分布律為 解 4 2方差 28 4 2方差 例2 解 29 4 2方差 解 例3 30 4 2方差 解 例4 于是 31 4 2方差 解 例5