剛體定軸轉(zhuǎn)動.doc

第三章 剛體定軸轉(zhuǎn)動基 本 要 求一、掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的角位移、角速度、角加速度的概念及運動學(xué)公式。二、理解轉(zhuǎn)動慣量的物理意義，并會計算簡單形體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量。三、掌握剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律及應(yīng)用。四、會計算剛體的轉(zhuǎn)動動能及重力勢能，能正確應(yīng)用轉(zhuǎn)動動能定理和機械能守恒定律。五、會計算沖量矩、剛體對固定軸的角動量，能正確應(yīng)用角動量定理和角動量守恒定律。內(nèi) 容 提 要一、剛體的運動形式剛體 任何情況下形狀和體積都不改變的物體（理想化模型）。剛體是特殊的質(zhì)點系，其上各質(zhì)點間的相對位置保持不變，有關(guān)質(zhì)點系的規(guī)律都可用于剛體。剛體的平動 在運動中，如果連接剛體內(nèi)任意兩點的直線在各個時刻的位置都彼此平行，則這樣的運動稱為剛體的平動。平動是剛體的基本運動形式之一，剛體做平動時，可用質(zhì)心或其上任何一點的運動來代表整體的運動。剛體的轉(zhuǎn)動 如果剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線作圓周運動，稱剛體的轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動也是剛體的基本運動形式之一。轉(zhuǎn)動中最基本的是定軸轉(zhuǎn)動，即運動中各質(zhì)點均做圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。一般運動 剛體不受任何限制的任意運動,稱為剛體的一般運動，它可視為平動和轉(zhuǎn)動的疊加。3. 剛體轉(zhuǎn)動的描述角速度矢量 角速度的方向：在轉(zhuǎn)軸上畫一有向線段，其長度按一定比例代表角速度的大小，它的方向與剛體轉(zhuǎn)動方向之間的關(guān)系按右手螺旋定則來確定，即使右手螺旋轉(zhuǎn)動的方向和剛體的轉(zhuǎn)動方向一致，則螺旋前進(jìn)的方向就是角速度的方向。角加速度矢量 定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上各點都繞同一軸作圓周運動，任一點的線速度與角速度的關(guān)系為：二、剛體的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量 剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動動能 三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動剛體的第一定律 一個可繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩等于零時，它將保持原有的角速度不變。轉(zhuǎn)動剛體的第二定律 剛體轉(zhuǎn)動的角加速度與合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。四、力矩的功力矩 力矩的大?。?其中稱力臂，為與之間的夾角。力矩的功 力矩的空間積累效應(yīng)。變力矩的功 五、剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體做作功的代數(shù)和等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 或 六、剛體的重力勢能剛體在重力場中，具有重力勢能。剛體的重力勢能為： 為質(zhì)心的高度。七、沖量矩和角動量沖量矩 力矩對時間的積累效應(yīng)。角動量 ，方向與角速度方向一致。質(zhì)點的角動量 ，其中m、v、r分別為質(zhì)點的質(zhì)量、速度與轉(zhuǎn)軸到速度方向的距離。質(zhì)點作勻速率圓周運動時，角動量的大小、方向均不變。八、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體受到合外力矩的沖量矩等于剛體角動量的增量。九、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律當(dāng)剛體受到的合外力矩為0時，剛體的角動量守恒。即若M外=0，則I=常數(shù)。角動量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一。它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速、低速范圍均適用。解題方法與例題分析一、轉(zhuǎn)動慣量的計算 mC圖31非連續(xù)剛體的轉(zhuǎn)動慣量由求和法計算，連續(xù)剛體的轉(zhuǎn)動慣量由積分法計算。對于有些問題，利用轉(zhuǎn)動慣量的疊加性和平行軸定理計算比較方便。例1 計算質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓盤繞中心軸C的轉(zhuǎn)動慣量。解 在離轉(zhuǎn)軸至處取一小環(huán)，面積為，質(zhì)量為，其中為圓盤的質(zhì)量面密度由轉(zhuǎn)動慣量的定義CAm圖32例2 計算質(zhì)量為m，長為l的均勻桿繞軸C和軸A的轉(zhuǎn)動慣量。解 在桿上取一長度元dx，離轉(zhuǎn)軸的距離為x，質(zhì)量為dm=dx，其中為桿的質(zhì)量線密度=m/l，由轉(zhuǎn)動慣量的定義對C軸：對A軸：圖33二、力矩的計算例3 一勻質(zhì)細(xì)桿長為l，質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為的水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩M阻。 解 桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻力矩大。在桿上離轉(zhuǎn)軸的距離為x處取一長度為dx的質(zhì)元，質(zhì)元質(zhì)量，其中為桿的質(zhì)量線密度。則質(zhì)元所受阻力矩為細(xì)桿所受的阻力矩為由細(xì)桿質(zhì)量 有 三、應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的解題方法解題步驟：1.確定研究對象；2.受力分析（只考慮對轉(zhuǎn)動有影響的力矩）；3.列方程求解(平動物體列牛頓定律方程，轉(zhuǎn)動剛體列轉(zhuǎn)動定律方程，并列出角量與線量關(guān)系)。 例4 長為l，質(zhì)量為m的細(xì)桿，初始時的角速度為0，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時間t后桿靜止，求摩擦力矩M阻。解 以細(xì)桿為研究對象，只有摩擦阻力產(chǎn)生力矩，由勻變速轉(zhuǎn)動公式：有 即 細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動慣量 則摩擦阻力矩為： 例5 質(zhì)量為m1和m2的兩個物體跨在定滑輪上，m2放在光滑的桌面上，滑輪半徑為R，質(zhì)量為M。求m1下落的加速度和繩子的張力T1、T2。T1T2圖34解 受力分析：以為研究對象 以為研究對象 以為研究對象 補充方程 聯(lián)立上述四個方程，求解得討論：當(dāng) M=0時（忽略滑輪質(zhì)量）， 例6 如圖35（a）所示，質(zhì)量為m =1kg的物體懸掛在定滑輪上，滑輪的半徑R = 0.2m，物體距地面的高度為h =1.5m，由靜止（vo=0）下落到達(dá)地面所用的時間為t =3s。設(shè)繩輪間無相對滑動，繩不可伸長，求輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量I 。Rthmv0= 0 （a） （b） （c）圖35Rm解 受力分析，如圖35（b）、（c）所示：以滑輪為研究對象 以m為研究對象 運動學(xué)關(guān)系 聯(lián)立解得 四、應(yīng)用轉(zhuǎn)動動能定理的解題方法解題步驟：1.確定研究對象；1.2.受力分析，確定做功的力矩；3.確定始末兩態(tài)的動能；4.由轉(zhuǎn)動動能定理列方程求解。圖36 例7 一細(xì)桿質(zhì)量為m，長度為l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，如圖36所示。求細(xì)桿擺到鉛直位置時的角速度。解 以桿為研究對象，只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化，有重力矩做作功：始末兩態(tài)動能為：由動能定理：即 由，有 所以 五、應(yīng)用機械能守恒定律的解題方法圖37 例8 如圖37所示的物體系中，倔強系數(shù)為k的彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為I。質(zhì)量為m的物體從靜止開始下落，求下落高度h時物體的速度v。 解 在物體m下落過程中只有重力和彈力保守力做功，物體系機械能守恒。選擇彈簧原長為彈性勢能零點，物體下落h時為重力勢能零點。將代入上式，求解得OOABl , m圖38例9 如圖38所示，均勻直桿質(zhì)量為m，長為l，初始時棒水平靜止。軸光滑，。求桿下擺到角時的角速度。 解 對于桿和地球系統(tǒng)，只有重力做功，故機械能E守恒。初態(tài) 末態(tài) 則 直桿的轉(zhuǎn)動慣量為OA段和OB段轉(zhuǎn)動慣量的疊加，所以 將代入，解得 六、應(yīng)用角動量守恒定律的解題方法O R圖39例10 如圖39所示，一質(zhì)量M，半徑為R的圓柱，可繞固定的水平軸O自由轉(zhuǎn)動。今有一質(zhì)量為m，速度為v0的子彈，水平射入靜止的圓柱下部（近似看作在圓柱邊緣），且停留在圓柱內(nèi)（垂直于轉(zhuǎn)軸）。求：（1）子彈與圓柱的角速度。（2）該系統(tǒng)的機械能的損失。解 （1）子彈與圓柱發(fā)生完全非彈性碰撞，角動量守恒。設(shè)子彈與圓柱碰后角速度為。 （2）損失的機械能 其中 七、綜合類題目m yxhPOMR圖310例11 如圖310所示，一質(zhì)量為m的黏土塊從高度h處自由下落，黏于半徑為R，質(zhì)量為M=2m的均質(zhì)圓盤的P點，并開始轉(zhuǎn)動。已知=60，設(shè)轉(zhuǎn)軸O光滑，求：（1）碰撞后的瞬間盤的角速度。（2）P轉(zhuǎn)到x軸時，盤的角速度和角加速度。解 （1）由m下落過程中：有 對m +盤系統(tǒng)，碰撞極小，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對O軸力矩可忽略，又外力對軸的力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒 又 由、得 （2）對m + M +地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，令P、x重合時EP = 0，則 由、得由轉(zhuǎn)動定律得例12 如圖311（a）所示，一均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為m1，半徑為R，用細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為m2的重物，將重物由靜止釋放下落并帶動圓柱體轉(zhuǎn)動。求重物下落h高度時的速率（所有摩擦力忽略不計）。 m1，R N T m2 T h m2g m1g（a） （b）圖311解 重物、圓柱體受力情況如圖311（b）所示，則重物和定滑輪的運動方程分別為：又 可解出重物下降的加速度為： a為常量，即重物作勻變速運動。，而 圖312例13 長為，質(zhì)量為m0的細(xì)棒，可繞垂直于一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動。棒原來處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球沿光滑水平面飛來，正好與棒下端相碰（設(shè)碰撞完全彈性），使桿向上擺到處，如圖312所示，求小球的初速度。解 從小球和棒完全彈性碰撞上升到處，問題可分為兩個過程來討論。第一過程：小球和棒完全彈性碰撞。取小球和棒為系統(tǒng)，因系統(tǒng)所受的合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動量守恒。即 又因碰撞完全彈性，因此系統(tǒng)的動能守恒。有 式中為小球的初速度，和分別為碰撞后小球的速度和棒的角速度。第二過程：從碰撞后棒得到角速度，到它上升到處。取棒、地球為系統(tǒng)，因系統(tǒng)中無外力和非保守內(nèi)力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。即 聯(lián)立、和式解得習(xí) 題一、選擇題1、有兩個半徑相同、質(zhì)量相同的細(xì)圓環(huán)，A環(huán)質(zhì)量分布均勻，B環(huán)的質(zhì)量分布不均勻。設(shè)它們對通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為IA和IB，則應(yīng)有 。AIAIB； BIAm2 。設(shè)繩子長度不變，且繩子和滑輪間不打滑，滑輪可視為圓盤，試求m1和m2的加速度。5、長為l，質(zhì)量為m0的細(xì)棒，可繞垂直于一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動。棒原來處于