安徽省樅陽(yáng)縣浮山中學(xué)2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）.docx

安徽省樅陽(yáng)縣浮山中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）1. 若A，B表示點(diǎn)，a表示直線，表示平面，則下列敘述中正確的是A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則2. 已知直線l的方向向量，平面的法向量，若1，0，則直線l與平面的位置關(guān)系是A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 直線l在平面內(nèi)或直線l與平面平行3. 化簡(jiǎn)方程為不含根式的形式是 A. B. C. D. 4. 已知圓，直線l：若圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于則以下b可能的取值是A. 1B. C. 2D. 5. 已知圓和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為 A. 7B. 6C. 5D. 46. 若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與x，y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B. C. 或D. 7. 已知直線l：和點(diǎn)在直線上求一點(diǎn)Q，使過(guò)P、Q的直線與L以及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積最小則Q坐標(biāo)為A. B. C. D. 8. 設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，是C的兩個(gè)頂點(diǎn)，C上存在一點(diǎn)P，使得與以為直徑的圓相切于Q，且Q是線段的中點(diǎn)，則C的漸近線方程為A. B. C. D. 9. 已知雙曲線C：的離心率為2，左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在雙曲線C上，若的周長(zhǎng)為10a，則的面積為A. B. C. D. 10. 設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)A. 必在圓外B. 必在圓上C. 必在圓內(nèi)D. 以上三種情形都有可能11. 已知，Q是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，M是線段PQ上的點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是A. B. C. D. 12. 已知雙曲線左焦點(diǎn)為F，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若FP的中點(diǎn)在以為半徑的圓上，則P的橫坐標(biāo)為A. B. 4C. D. 6二、填空題（本大題共4小題）13. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)則曲線C的方程為_(kāi)14. ，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與雙曲線分別交于點(diǎn)A，B，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)15. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓：，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，且OE，OF的斜率之積為，則橢圓的離心率為_(kāi)16. 如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，平面平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為_(kāi)三、解答題（本大題共6小題）17. 已知一動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程C；過(guò)點(diǎn)能否作一條直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，若存在，求出直線l方程；若不存在，說(shuō)明理由18. 如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，且 求證：平面BDEF；求二面角的余弦值19. 已知橢圓C：的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓C的半短軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切求橢圓C的方程；設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)若直線與的斜率分別為，且，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項(xiàng)，求面積的取值范圍20. 已知拋物線，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且求點(diǎn)P的軌跡方程；試問(wèn)直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由21. 已知橢圓，若在，四個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)在M上求橢圓M的方程；若點(diǎn)A與點(diǎn)B是橢圓M上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，且，求的取值范圍22. 已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為求橢圓C的方程；點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)求證：與的面積之比為4：5答案和解析1.【答案】D【解析】解：點(diǎn)與面的關(guān)系用符號(hào)，而不是，所以答案A錯(cuò)誤；直線與平面的關(guān)系用表示，則表示錯(cuò)誤；點(diǎn)A不在直線a上，但只要A，B都在平面內(nèi)，也存在，答案C錯(cuò)誤；而，則，所以答案D正確故選：D本題要正確應(yīng)用點(diǎn)，線，面之間的關(guān)系和符號(hào)表示，利用公理一判斷即可立體幾何圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言之間三者之間相互轉(zhuǎn)化，對(duì)公理一要準(zhǔn)確理解到位2.【答案】D【解析】解：，直線l在平面內(nèi)或直線l與平面平行故選：D由，即可判斷出直線l與平面的位置關(guān)系本題考查了平面法向量的應(yīng)用、直線與平面的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題3.【答案】C【解析】【分析】本題考查圓錐曲線的定義，考查方程的幾何意義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是個(gè)簡(jiǎn)單題方程，它的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定點(diǎn)的距離之和為10，從而軌跡為橢圓，故可求【解答】解：方程，它的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定點(diǎn)的距離之和為，從而軌跡為橢圓，焦點(diǎn)在y軸上，且，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：故選：C4.【答案】C【解析】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑要使圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，則圓心到直線l：的距離d滿足，即，即，解得，結(jié)合選項(xiàng)可得b可能的取值是2故選：C由題意可得圓心到直線l：的距離d滿足根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出d，再解絕對(duì)值不等式求得實(shí)數(shù)b的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，絕對(duì)值不等式的解法，是基礎(chǔ)題5.【答案】B【解析】【分析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用，屬于一般題由，可得點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，又點(diǎn)P在圓C上，則兩圓有交點(diǎn)，由兩圓的位置關(guān)系列關(guān)系式求得m的取值范圍即可【解答】解：圓C：的圓心，半徑為1，圓心C到的距離為5，圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6再由可得，以AB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn)，可得，故有，故選：B6.【答案】D【解析】【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題由題意可得可以看作點(diǎn)P到直線m：與直線l：距離之和的5倍，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式解得即可【解答】解：設(shè)，故可以看作點(diǎn)P到直線m：與直線l：距離之和的5倍，取值與x，y無(wú)關(guān)，這個(gè)距離之和與P無(wú)關(guān)，如圖所示：當(dāng)圓在兩直線之間時(shí)，P點(diǎn)與直線m，l的距離之和均為m，l的距離，此時(shí)與x，y的值無(wú)關(guān)，當(dāng)直線m與圓相切時(shí)，化簡(jiǎn)得，解得或舍去，故選：D7.【答案】C【解析】解：設(shè)，則直線PQ：，令，則，即直線PQ與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意，所以直線PQ與L以及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積：，當(dāng)且僅當(dāng)取等，此時(shí)，故選：C設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)利用圖形之間的關(guān)系表示出所求的三角形的面積通過(guò)建立的函數(shù)類型選擇合適的方法求出面積的最小值即可本題是函數(shù)與直線問(wèn)題的小綜合題，首先要建立起三角形面積與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的類型進(jìn)行適當(dāng)變形利用基本不等式求解所求的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想8.【答案】C【解析】解：由于O為的中點(diǎn)，Q為線段的中點(diǎn)，則由中位線定理可得，由與以線段為直徑的圓相切于點(diǎn)Q，則，由雙曲線的定義可得，即有，由，由勾股定理可得，即，則，即的漸近線方程為故選：C運(yùn)用中位線定理，可得，再由雙曲線的定義，以及直線和圓相切的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理得到，則C的漸近線方程可求本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查雙曲線漸近線方程的求法，考查直線和圓相切的條件，以及中位線定理和勾股定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，是中檔題9.【答案】B【解析】解：雙曲線C：的離心率為2，左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在雙曲線C上若的周長(zhǎng)為10a，不妨A在雙曲線右支，可得：，解得，所以的面積：故選：B利用雙曲線的離心率以及定義結(jié)合的周長(zhǎng)為10a，求出、；然后推出結(jié)果本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力10.【答案】C【解析】【分析】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題通過(guò)可得，利用韋達(dá)定理可得、，根據(jù)完全平方公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即得結(jié)論【解答】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)根，由韋達(dá)定理：，點(diǎn)必在圓內(nèi)故選：C11.【答案】B【解析】解：橢圓即，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則有 ，代入化簡(jiǎn)可得，故選：B設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則有，由，得到，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果本題考查用代入法求點(diǎn)的軌跡方程，得到，是解題的關(guān)鍵12.【答案】C【解析】解：雙曲線的，左焦點(diǎn)為，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，若FP的中點(diǎn)M在以為半徑的圓上，連接，OM，由三角形的中位線定理可得，雙曲線的右準(zhǔn)線方程為即，由雙曲線的第二定義可得，解得故選：C求得雙曲線的a，b，c和e，設(shè)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，OM，由三角形的中位線定理可得，求得雙曲線的右準(zhǔn)線方程，結(jié)合雙曲線的第二定義，解方程可得所求橫坐標(biāo)本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的中位線定理，運(yùn)用定義法解題是解決圓錐曲線問(wèn)題的常用方法，屬于中檔題13.【答案】【解析】解：雙曲線的漸近線方程為，由一條漸近線方程為，可得，橢圓的焦點(diǎn)為，可得，由可得，即雙曲線的方程為，故答案為：由雙曲線的漸近線方程可得，求得橢圓的焦點(diǎn)，可得，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14.【答案】【解析】解：根據(jù)雙曲線的定義，可得，是等邊三角形，即，又，中，即，解得，雙曲線的漸近線的漸近線方程為，故答案為：根據(jù)雙曲線的定義算出中，由是等邊三角形得，利用余弦定理算出，可得a，b的關(guān)系，即可得到雙曲線漸近線方程本題主要考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵15.【答案】【解析】解：設(shè)，則，由對(duì)稱性可得：，則，可得，相減可得：，AD斜率之積為，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，且OE，OF的斜率之積為，則OE，OF的斜率之積等于AB，AD斜率之積，則橢圓的離心率為，故答案為：設(shè)，則，由對(duì)稱性可得：，則，由可得，相減可得：AB，AD斜率之積為由E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，可得OE，OF的斜率之積等于AB，AD斜率之積即，即可求得橢圓的離心率本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題16.【答案】【解析】解：取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OB，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，是等腰直角三角形，為直角三角形，0，0，0，0，異面直線AC與PD所成角的余弦值為故答案為：取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC與PD所成角的余弦值本題考查異線直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算與求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題17.【答案】解：設(shè)動(dòng)圓圓心半徑為r，根據(jù)題意得：，所以，則動(dòng)圓圓心P軌跡為雙曲線右支，其方程為；設(shè)，得，所以，所以存在這樣的直線，且AB：【解析】直接利用條件列出關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的定義，求出圓心P的軌跡方程；利用點(diǎn)差法，就可求出斜率，然后寫出直線方程考查曲線軌跡方程的求法，圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，考查計(jì)算能力本題是中檔題，18.【答案】證明：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，且，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，平面BDEF，平面ABCD，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則0，0，1，0，1，設(shè)平面ABF的法向量y，則，取，得，設(shè)平面BCF的法向量y，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則又為鈍角，二面角的余弦值為【解析】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，推導(dǎo)出，由此能證明平面BDEF以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值19.【答案】解：由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；證明：設(shè)，將直線代入橢圓，可得，即有，由，即有，代入韋達(dá)定理，可得，化簡(jiǎn)可得，則直線的方程為，即，故直線l恒過(guò)定點(diǎn)；由直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項(xiàng)，即有，即為，可得，解得，代入，可得，且由O到直線的距離為，弦長(zhǎng)AB為，則面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值則面積的取值范圍為【解析】由題意可得，由直線和圓相切的條件：，可得，進(jìn)而得到a，即有橢圓方程；設(shè)，將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式，可得，進(jìn)而得到直線恒過(guò)定點(diǎn)；由直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項(xiàng)，即有，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得k，再由點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式可得面積的最大值，即有面積的取值范圍本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線與圓相切的條件：，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查三角形的面積的范圍，注意運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題20.【答案】解：設(shè)，則直線PA：，代入拋物線方程：，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，分同理，有，分所以，分別為方程：的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分，所以，所以點(diǎn)P的軌跡方程為分設(shè)，由，所以拋物線在A，B點(diǎn)