[理學]ch8：機械振動.ppt

Chapter8機械振動與波動 8 1 1簡諧振動方程 定義 特點 1 等幅無耗振動 2 固定周期運動 8 1簡諧振動 x是位移量 廣義 實例 1 簡諧振動的力學特征 諧振子 單擺等 投影式 特點 線性恢復(fù)力 指向平衡位置 阻礙位移增加 例 2 動力學方程 動力學方程 圓頻率 說明 間諧振動的圓頻率由振動系統(tǒng)特性決定 固有圓頻率 3 速度和加速度 其中 說明 說明加速度相位超前速度相位 2 超前位移相位 由 1 簡諧振動的速度 加速度廣義上也是簡諧振動 2 簡諧振動的位移 速度 加速度圓頻率相同 但不同步 8 1 2諧振動的振幅 周期 頻率和相位 1 振幅A 反映振動的最大位移及振動的能量大小 2 圓頻率和周期T 3 相位 1 t 是t時刻的相位 2 是t 0時刻的相位 初相 間諧振動時 系統(tǒng)的實際振動周期為其固有周期 圓頻率反映振動相位 振動狀態(tài) 的變化速率 討論 系統(tǒng)的固有振動周期 相位確定了振動的狀態(tài) 相位在2 范圍內(nèi)變化 狀態(tài)不重復(fù) 相位周期 t x O A A 2 相位差 同頻振動時 當 A1 兩振動步調(diào)相同 稱同相 兩振動步調(diào)相反 稱反相 當 4 振幅及初相位的確定 當 2 1 0 則稱x2比x1超前 或x1比x2落后 由初位移和初速度確定初相位 由 利用振動圖求初相位 結(jié)論 當初位移大于零時 初相角取銳角 初位移小于零時 初相角取鈍角 當初速度大于零時 初相角取負值 初速度小于零時 初相角取正值 由 例1一物體沿X軸作簡諧振動 振幅為0 12m 周期為2s 當t 0時 位移為0 06m 且向X軸正方向運動 已知t 0時 A 0 12m x0 0 06m 所以 v0 0 解 1 設(shè)其簡諧振動方程為 1 初相 2 求從x 0 06m處 且向X軸負向方向運動回到平衡點所需的最短時間 求 2 將x 0 06m x 0分別代入已得的簡諧振動方程中有 v 0 v 0 8 1 3簡諧振動的能量 以水平彈簧振子為例 1 動能 2 勢能 3 機械能 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒 說明 動能和勢能周期性變化 其相位周期為 周期為T 2 動能和勢能變化不同步 相位上相差 2 時間上相差T 4 8 1 4諧振動旋轉(zhuǎn)矢量表示法 t o x x t t 0 v a 旋轉(zhuǎn)矢量在x軸上的投影值表示簡諧振動 物理意義 1 使相位的變化更加直觀 2 更能洞察圓頻率意義 旋轉(zhuǎn)矢量 旋轉(zhuǎn)矢量 3 便于振動的合成 例 由圖可知 求 一物體沿X軸作簡諧振動 振幅為0 12m 周期為2s 當t 0時 位移為0 06m 且向x軸正方向運動 2 在x 0 06m處 且向x軸負向方向運動時 物體從這一位置回到平衡位置所需的最短時間 1 初相 由圖可知 1 圖 解 2 圖 8 2諧振動的合成 8 2 1同方向同頻率諧振動的合成 1 分振動 2 合振動 結(jié)論 合振動x仍是同頻率的簡諧振動 旋轉(zhuǎn)矢量法處理兩個同向 同頻諧振動的合成 1 分振動 2 合振動 合成 討論 1 若兩分振動同相 即 2 1 2k k 0 1 2 2 若兩分振動反相 即 2 1 2k 1 k 0 1 2 當A1 A2時 A 0 則A A1 A2 兩分振動相互加強 則A A1 A2 兩分振動相互減弱 當A1 A2時 A 2A1 旋轉(zhuǎn)矢量法處理多個同向同頻 等幅等相差的諧振動的合成 A1 AN R N A A1 AN R N A 1 合振振幅及初相位取決于分振動數(shù)目及彼此間的相位差 討論 2 當 2k k 1 2 A NA1 3 當 2k N K 1 2 3 N 1 N 1 A 0 合振動不是簡諧振動 式中 隨t緩變 隨t快變 合振動可看作振幅緩變的簡諧振動 同方向不同頻率簡諧振動的合成 分振動 合振動 當 2 1時 拍 合振動忽強忽弱的現(xiàn)象 拍頻 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù) 2 1 8 2 2兩個相互垂直諧振動的合成利薩如圖 1 分振動 2 合運動 當 2 1 k k為整數(shù) 時 橢圓運動退化為直線運動 x y 該運動仍然是簡諧振動 由 當 2k 1 2 2k 3 2 k為整數(shù) 2k 1 2 2k 3 2 說明 運動軌跡相同 諧振子旋轉(zhuǎn)方向不同 2 3 2 t 1 0時 t 1 0 時 2 3 2 0 第一象限 2 3 2 第二象限 第三象限 第四象限 合成 TheoremandexperimentshowthatthesuperpositionresultformsLisajou sfigure 李莎茹圖形 8 3振動相圖 1 相平面與相空間 速度是時間的函數(shù) 某一時刻的速度 速度是位置的函數(shù) 某一點的速度 例 簡諧振動 時間函數(shù) 坐標函數(shù) 定義 由時間和速度為坐標軸構(gòu)成的空間稱狀態(tài)空間 狀態(tài)空間的曲線為運動狀態(tài)曲線 由位置和速度為坐標軸構(gòu)成的空間稱相空間 相空間的曲線為相圖 1 簡諧振動相圖 由 2 相圖 諧振相圖的信息 A 橢園面積越大 振動系統(tǒng)能量越大 橢園的封閉性表明了振動的周期性 交點說明有兩個最大位移和兩個最大速度 A V 坐標原點對應(yīng)與平衡位置 曲線不經(jīng)過原點說明諧振動能量不會為零 中心 X 混沌現(xiàn)象 當有人問你 宇宙誕生之初 世界是什么樣子 你可能給出的答案是 混沌 二字 混亂而說不清 也許那時的世界就是一個混沌世界 在學習了牛頓力學后 往往會使我們產(chǎn)生這樣一種信念 宏觀物體的機械運動規(guī)律總是受到牛頓力學的支配 當初始條件給定后 物體以后的運動情況就完全決定了 并且可以預(yù)測出確定的結(jié)果 而不可預(yù)測的混沌現(xiàn)象是不可能出現(xiàn)的 地確 許多事例使我們對運動現(xiàn)象中決定論的可預(yù)測性深信不疑 1957年哈雷彗星在預(yù)定的時間回歸 1864年海王星在在預(yù)言的方位上被發(fā)現(xiàn) 當今日日食和月食的準確預(yù)測 宇宙探測器的成功發(fā)射與軌道設(shè)計 都驚人的證明了這一點 難怪當初法國偉大的數(shù)學家拉普拉斯曾經(jīng) 夸下?？?給定宇宙的初始條件 我們就能預(yù)測宇宙的未來 但是 這種傳統(tǒng)的思想觀念在20世紀60年代遇到了嚴重的挑戰(zhàn) 人們發(fā)現(xiàn) 牛頓力學顯示出的決定論的可預(yù)測性只適應(yīng)線性系統(tǒng) 對于受力較為復(fù)雜的非線性系統(tǒng) 情況就不同了 結(jié)果難以預(yù)測 運動處于混沌 19世紀末 法國偉大的數(shù)學家龐加萊研究了三個星體在相互引力作用下運動 他列出了一組非線性常微分方程 研究的結(jié)論是這種方程沒有解析解 此系統(tǒng)的軌道非常雜亂 下面的一個實驗 更能幫助你了解混沌現(xiàn)象 如圖所示 首先讓彈簧振子在框架的作用下做受迫振動 這是一個線性振動系統(tǒng) 經(jīng)過一段時間 振動的周期及振幅處于穩(wěn)定 下來在把振動條件改變一下 用剛砧撞擊彈簧振子使其發(fā)生非線性振動 如圖 這時振動情況變的十分復(fù)雜起來 用記錄筆記錄的結(jié)果顯示振動軌跡十分混亂 而且初始條件稍有變化 結(jié)果混亂暫且不說 而且結(jié)果差異很大 上述實驗說明 在非線性系統(tǒng)中 結(jié)果和可預(yù)測性之間的聯(lián)系被切斷了 結(jié)果是必然的 但同時又不可預(yù)測的 混沌就是決定論的混亂 在非線性系統(tǒng)中 對初始值的極端敏感是混沌運動的普遍特征 初始值的微小差別會隨著時間推移指數(shù)式的放大而導致結(jié)果巨大的差別 而初始值在在任一實驗中是不可能完全精確的給定 因而進程就更加不能預(yù)測了 60年代初 美國氣象學家洛倫茨借助計算機來研究大氣對流對天氣的影響 他在某一初值的設(shè)定下算出了一系列氣候演變 氣候演變的數(shù)據(jù) 當他再次考察一系列更長期氣候演變時 將機內(nèi)存儲的16位小數(shù)0 506127 按3位小數(shù)0 506輸入 計算的結(jié)果大大的出乎所料 他很快意識到這是不到千分之一的初始值誤差帶來的結(jié)果 他斷言 由于非線性系統(tǒng)對初始值非線性的指數(shù)式放大 長期的天氣預(yù)報是不可能 在自然界中 線性系統(tǒng)只占很小一部分 因而牛頓力學所處理的問題對整個自然界來說并不典型 我們面對的自然界是決定與混亂并存 1994年7月蘇梅克 列維9號彗星撞上木星這種罕見的太空奇觀可能就是混沌運動的結(jié)果 有人曾提出 在6500萬年前 有一顆小行星在混沌運動中脫離了原有的軌道撞上地球 引起了氣候的巨變 植物的死亡 恐龍的滅絕 混沌 往往使人想到災(zāi)難 然而 自然界正是利用混沌來對抗不可預(yù)測的環(huán)境 利用無序的突變產(chǎn)生出各種各樣的生命形式來適應(yīng)自然選擇的需要 可以說 生物進化就是具有反饋性質(zhì)的混沌 當今 對混沌的研究具有十分重要的意義 2 橫波與縱波 體變 介質(zhì)體積的變化 D d F F 橫波 縱波 8 4機械波的產(chǎn)生與傳播 條件 振源 波源 彈性介質(zhì) 1 波的產(chǎn)生 橫波與縱波與介質(zhì)產(chǎn)生的應(yīng)變形式有關(guān) 介質(zhì)應(yīng)變 切變 垂直于傳播方向橫截面形狀的變化 線變 沿波傳播方向長度的變化 變化是指彈性變化 介質(zhì)能夠產(chǎn)生的切變 固體 傳播橫波 介質(zhì)能夠產(chǎn)生的線變 傳播縱波 介質(zhì)能夠產(chǎn)生的體變 傳播縱波 固體 固 液 氣 波速由介質(zhì)性質(zhì) 密度 溫度 應(yīng)變系數(shù)等 決定 3描述波動的物理量 1 波速 波動傳播的速度 例 均勻細棒中 縱波的波速為 F S 線應(yīng)力 l l 線應(yīng)變 F 例 拉緊的繩子或弦線中橫波的波速為 T T 波速 相速 相位傳播速度振動狀態(tài)傳播速度 波速反映能量傳播的速度 兩個相位差為2 的質(zhì)點之間的距離 即波源作一次完全振動 波前進的距離 波前進一個波長距離所需的時間 2 波長 3 周期T 波的周期等于波源的振動周期 波長與波速成正比 隨介質(zhì)變化 波的的周期由波源決定 與介質(zhì)無關(guān) 單位時間內(nèi) 波前進距離中完整波的數(shù)目 4 頻率 在波傳播過程中 任一時刻媒質(zhì)中振動相位相同的點聯(lián)結(jié)成的面 5 波面 平面波 球面波 波面 球面波 柱面波 波面 頻率與周期的關(guān)系為 沿波的傳播方向作的有方向的線 波線 波線 規(guī)定相鄰兩波面的距離為 或相位差2 6 波線 7 波前 在某一時刻 波傳播到的最前面的波面 x y z 在各向同性均勻媒質(zhì)中 波線 波面 波振面 波前 波面為平面 4 平面簡諧波的波動方程 簡諧波不考慮能量吸收問題 1 平面簡諧波 平面簡諧波 2 特點 簡諧波是一種最簡單 最基本的 理想化的波動傳播形式 各質(zhì)點作同頻率 等振幅的簡諧振動 研究簡諧波是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ) 3 平面簡諧波的波函數(shù) 波函數(shù) 表達波形的數(shù)學函數(shù) 波動 y x x P 原點 t時刻的振動狀態(tài) O x點 注意 波函數(shù)應(yīng)是坐標與時間兩個變量函數(shù) 在t x u時刻的振動狀態(tài) 在t時刻的振動狀態(tài) t x u時刻的振動狀態(tài) 當波沿X方向傳播時 y x點t時刻的位移 當波沿X正方向傳播時 同理 若波沿軸負向傳播時 其它形式 所以 若波沿軸正向傳播時 式中負號對應(yīng)于正向傳播 加號對應(yīng)于負向傳播 由波函數(shù)可知波的傳播過程中任意兩質(zhì)點x1和x2振動的相位差為 說明沿傳播方向振動相位逐點滯后 討論 5波函數(shù)的物理意義 1 振動狀態(tài)的空間周期性 說明波線上振動狀態(tài)的空間周期性 2 波形傳播的時間周期性 說明波形傳播的時間周期性 t1時刻的波形 O y x 4 t給定 y y x 表示t時刻的波形圖 5 X和t都在變化 表明波形傳播和時空周期性 3 x給定 y y t 是x處振動方程 t1 t時刻的波形 波形 一平面簡諧波沿x軸正方向傳播 已知其波函數(shù)為 比較法 與標準形式比較 標準形式 波函數(shù)為 比較可得 例 解 1 波的振幅 波長 周期及波速 2 質(zhì)點振動的最大速度 同學課堂練習 求 a 振幅 波長 周期 波速 2 b 分析法 由各量物理意義 分析相位關(guān)系 如圖 試求 3 若u沿x軸負向 以上兩種情況又如何 例 1 波動方程 2 原點的振動方程 o A u 40m s A點的振動方程為 在x軸上任取一點P 坐標為x 解 5 在不同給定條件下波動方程的建立 1 由某點的簡諧振動建立波函數(shù) 波動方程 A點的振動態(tài)經(jīng) 即A點t t振動同于P點t時刻的振動 傳到P點 3 負向傳播時 原點振動方程 波函數(shù)為 2 由振動圖建立波函數(shù) 例 一平面簡諧波 波長為12m 沿X軸負方向運動 圖示為x 1 0m質(zhì)點振動曲線 求該平面波的波動方程 解 此波的波動方程可表示為 2 令x 0得到原點的振動方程 由圖可得 所以有 因V0 0 所以有 3 由波形圖建立波函數(shù) 例 圖示表示平面簡諧波在t 0時的波形圖 設(shè)此簡諧波的頻率為250HZ 求波動方程 解 由波形圖P點的運動方向可知此波沿X軸負方向傳播 所以 波動方程可表示為 6 平面波的波動微分方程 由 知 2 不僅適用于機械波 也廣泛地適用于電磁波等 1 上式是一切平面波所滿足的微分方程 正 反傳播 3 波在三維空間中以波的形式傳播 波動方程為 說明 8 5波動的特征 1 波傳播的獨立性 2 疊加原理 當幾列波在傳播過程中在某一區(qū)域相遇后再行分開時 仍保持它們各自原有的頻率 波長 振動方向等特性繼續(xù)沿原來的傳播方向前進 在波相遇區(qū)域內(nèi) 任一質(zhì)點的振動 為各波單獨存在時所引起的振動的合振動 v1 v2 注意 波的疊加原理僅適用于線性波的問題 獨立性 疊加 3 干涉現(xiàn)象 相干波 相干條件 頻率相同 振動方向相同 相位差恒定 在兩波交疊的區(qū)域 由疊加產(chǎn)生波強在空間上強弱相間呈現(xiàn)出具有周期性的穩(wěn)定分布 干涉 S1 S2 P P 根據(jù)疊加原理可知 P點處振動方程為 其中 非相干波源 振源間的相位差 由幾何路程引入的相位差 說明 非相干疊加在疊加區(qū)波強不隨位置變化 當 干涉相長 當 干涉相消 相干疊加在疊加區(qū)波強隨空間位置而變化 介于強弱之間 1 知某一時刻波前 可用幾何方法決定下一時刻波前 說明 R1 R2 S1 S2 O 4 衍射現(xiàn)象 惠更斯提出 1 行進中的波面上任意一點都可看作是新的子波源 3 各個子波所形成的包絡(luò)面 就是的新波面 2 所有子波源不斷的向外發(fā)出子波 波通過障礙物到達幾何陰影區(qū)繼續(xù)傳播的現(xiàn)象 衍射 A B為兩相干波源 距離為30m 振幅相同 相同 B A波源的初相差為 u 400m s f 100Hz 例 A B連線上因干涉而靜止的各點位置 求 解 B A 30m P在A左側(cè) P在B右側(cè) r1 r2