遼寧省大連市2019屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題理（含解析）.docx

遼寧省大連市2019屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題 理（含解析）第卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題各有四個(gè)選項(xiàng)，僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題得B=(-1,2)，再求AB.【詳解】由題得B=(-1,2)，所以 .故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2.若的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)已知得，所以，解之即得a的值.【詳解】由題得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和實(shí)部虛部的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.3.下列各點(diǎn)中，可以作為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，利用對(duì)稱性的特點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，故A適合題意，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入N=4，則輸出p為（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】直接模擬程序框圖運(yùn)行.【詳解】由題得p=1,14，k=2,p=2,24,k=3,p=6,34，k=4,p=24,4=4,p=24.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）A. 0B. 10C. 15D. 30【答案】C【解析】【分析】由題得再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求.【詳解】由題得故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知m，n為兩條不重合直線，為兩個(gè)不重合平面，下列條件中，一定能推出的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行可知正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，可得又，可知本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題.7.科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元，我們將研發(fā)投入與經(jīng)營(yíng)收入的比值記為研發(fā)投入占營(yíng)收比.這12年間的研發(fā)投入（單位：十億元）用下圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營(yíng)收比用下圖中的折線圖表示.根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A. 2012年至2013年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量相比2017年至2018年增量大B. 2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016年增量小C. 該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入逐年增加D. 該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入占營(yíng)收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】結(jié)合折線圖對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A, 2012年至2013年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量為2%，2017年至2018年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量為0.3%,所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B, 2013年至2014年研發(fā)投入增量為2,2015年至2016年研發(fā)投入增量為19，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C, 該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入逐年增加,所以該選項(xiàng)是正確的；對(duì)于選項(xiàng)D, 該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入占營(yíng)收比不是逐年增加，如2009年就比2008的研發(fā)投入占營(yíng)收比下降了.所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查折線圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知，是兩個(gè)單位向量，且?jiàn)A角為，則與的數(shù)量積的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題得與的數(shù)量積為，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求其最小值.【詳解】由題得與的數(shù)量積為，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)量積最小為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和二次函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)商功中闡述：“斜解立方，得兩壍堵。斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”若稱為“陽(yáng)馬”的某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)該幾何體描述：四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為；四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形；外接球的表面積為.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征作出正確判斷.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=2，PD平面ABCD，PD=2，對(duì)于易證AB平面PAD，BC平面PCD，故四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；對(duì)于，故正確；對(duì)于四個(gè)側(cè)面中沒(méi)有全等的三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于外接球的直徑為PB，故外接球的表面積為，正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查線面關(guān)系以及外接球問(wèn)題，考查空間想象能力，屬于中檔題。10.函數(shù)f（x）=的部分圖象大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值確定函數(shù)圖像即可.【詳解】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，-）（-，）（，+）f（-x）=f（x），f（x）為偶函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故排除D，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=0，故排除C，綜上所述，只有B符合，本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，的中點(diǎn)在軸上的射影分別為，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)AF,FB的中點(diǎn)分別為D,E, 求出|AB|=16，再利用直線和拋物線的方程利用韋達(dá)定理求出p的值，即得拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】設(shè)AF,FB的中點(diǎn)分別為D,E,則|AB|=2|DE|,由題得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，設(shè)，則，聯(lián)立直線和拋物線的方程得，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-3.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義和準(zhǔn)線方程，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12.已如函數(shù)f（x）=，若x1x2，且f（x1）+f（x2）=2，則x1+x2的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】經(jīng)過(guò)討論可知，利用可得，從而將化為；通過(guò)求解函數(shù)的值域求得的取值范圍.【詳解】設(shè)若，則，不成立；若，則，不成立若，則 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)討論得到的范圍，從而構(gòu)造出新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第1321題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，且2是，的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】通過(guò)等比中項(xiàng)得到，再利用基本不等式求得最小值.【詳解】由題意得：又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14.已知矩形，以，為焦點(diǎn)，且過(guò)，兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為_(kāi)【答案】【解析】【分析】利用雙曲線定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，明確a與c，即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意易知：即，由雙曲線定義可得，雙曲線的離心率為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是合理利用雙曲線的定義解題15.若8件產(chǎn)品中包含6件一等品，在這8件產(chǎn)品中任取2件，則在已知取出的2件中有1件不是一等品的條件下，另1件是一等品的概率為_(kāi)【答案】【解析】【分析】設(shè)“所取2件產(chǎn)品中有1件不是一等品”為事件A，“取出的2件中另1件是一等品”為事件B，分別求得P（AB）和P（A）的值，再利用條件概率的計(jì)算公式運(yùn)算求得結(jié)果【詳解】解：設(shè)“所取2件產(chǎn)品中有1件不是一等品”為事件A，“取出的2件中另1件是一等品”為事件B，則P（A），P（AB），在第一次摸出次品的條件下，第二次也摸到次品的概率為：P（B|A），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了條件概率的求法，屬于基礎(chǔ)題，解答此題的關(guān)鍵是條件概率公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題16.已知數(shù)列an中，a1=2，則=_【答案】【解析】【分析】由遞推關(guān)系可得，易知為常數(shù)列，求出，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)果.【詳解】，即記，顯然為常數(shù)列，且，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和問(wèn)題，涉及利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)，等差數(shù)列求和公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.在中，.（）若，求的面積；（）若，求的長(zhǎng).【答案】（）；（） .【解析】【分析】（）利用正弦定理求得，可得，求出后可得面積；（）根據(jù)，利用余弦定理建立方程，求得結(jié)果.【詳解】（）由正弦定理得： （）設(shè)，則根據(jù)可得：解得：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠通過(guò)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)的關(guān)系建立起方程，從而求得結(jié)果.18.某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，第一車間有工人200人，第二車間有工人400人，為比較兩個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，并對(duì)他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時(shí)間（單位：min）分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到下列統(tǒng)計(jì)圖表（按照55，65），65，75），75，85），85，95分組）分組頻數(shù)55，65）265，75）475，85）1085，954合計(jì)20第一車間樣本頻數(shù)分布表（）分別估計(jì)兩個(gè)車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間小于75min的人數(shù)；（）分別估計(jì)兩車間工人生產(chǎn)時(shí)間的平均值，并推測(cè)哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高？（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）（）從第一車間被統(tǒng)計(jì)的生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人中，隨機(jī)抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時(shí)間小于65min的工人人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（I）60,300;（II）第二車間工人生產(chǎn)效率更高.（III）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（I）估計(jì)第一車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）.估計(jì)第二車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）；（II）分別計(jì)算兩車間工人生產(chǎn)時(shí)間的平均值，再推測(cè)哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高；（III）由題得X可取值為0，1，2，再分別求出概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（I）估計(jì)第一車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）.估計(jì)第二車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）.（II）第一車間生產(chǎn)時(shí)間平均值約為（min）.第二車間生產(chǎn)時(shí)間平均值約為（min）.第二車間工人生產(chǎn)效率更高.（III）由題意得，第一車間被統(tǒng)計(jì)的生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人有6人，其中生產(chǎn)時(shí)間小于65min的有2人，從中抽取3人，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X可取值為0，1，2，,.X的分布列為：X012P所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列,考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.如圖，等腰梯形中，為中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（平面）.（）證明：；（）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】（I）見(jiàn)解析；（II）.【解析】【分析】（I）先證明，再證明；（II）在平面POB內(nèi)作PQOB,垂足為Q，證明OP平面ABCE，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（I）證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點(diǎn)O，AB|CE,AB=CE，四邊形ABCE為平行四邊形，AE=BC=AD=DE，ADE為等邊三角形，在等腰梯形ABCD中，,在等腰中，,即BDBC，BDAE，翻折后可得：OPAE,OBAE，又， ；（II）解：在平面POB內(nèi)作PQOB,垂足為Q，因?yàn)锳E平面POB，AEPQ，因?yàn)镺B平面ABCE, AE平面ABCE,AEOB=OPQ平面ABCE，直線PB與平面ABCE夾角為，又因?yàn)镺P=OB，OPOB，O、Q兩點(diǎn)重合，即OP平面ABCE，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為，則設(shè)，則y=-1,z=1，由題意得平面PAE的一個(gè)法向量，設(shè)二面角A-EP-C為，.易知二面角A-EP-C為鈍角，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理能力.20.已知橢圓：的短軸端點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不與，重合，點(diǎn)滿足，.（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（）求四邊形面積的最大值.【答案】 ； .【解析】【分析】（）設(shè)，結(jié)合垂直關(guān)系設(shè)出兩直線的方程，相乘即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示四邊形面積，轉(zhuǎn)求函數(shù)最值即可.【詳解】法一：設(shè)， 直線 直線 得又，整理得點(diǎn)的軌跡方程為法二：設(shè)， 直線 直線 由,解得：，又，故，代入得.點(diǎn)的軌跡方程為法三：設(shè)直線，則直線 直線與橢圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.則直線的斜率為.直線 由 解得:點(diǎn)的軌跡方程為：法一：設(shè)，由法二得：四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，的最大值為.法二：由法三得：四邊形的面積 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍21.已知，函數(shù)，.（）討論的單調(diào)性；（）若是的極值點(diǎn)，且曲線在兩點(diǎn)， 處的切線互相平行，這兩條切線在軸上的截距分別為，求的取值范圍.【答案】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增； .【解析】【分析】（）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類討論，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（）由是的極值點(diǎn)可知a=1，利用切線平行可得，同理，構(gòu)建新函數(shù)即可得到的取值范圍.【詳解】 . 當(dāng)時(shí)，在上恒成立. 在上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)，且，即時(shí)，在上恒成立. 在上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)，且，即時(shí)，在上，在上， 在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增. 是的極值點(diǎn)，由可知設(shè)在處的切線方程為在處的切線方程為若這兩條切線互相平行，則，令，則，同理，【解法一】 設(shè)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即的取值范圍是【解法二】 令，其中 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，. 的取值范圍是【解法三】 設(shè)，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題請(qǐng)考生在第2223題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)標(biāo)清題號(hào).22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線：，