3.2.13.2.2直線的方向向量、平面的法向量以及空間線面關(guān)系的判定.ppt

直線的方向向量與平面的法向量及空間線面關(guān)系的判定 研究 從今天開(kāi)始 我們將進(jìn)一步來(lái)體會(huì)向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用 為了用向量來(lái)研究空間的線面位置關(guān)系 首先我們要用向量來(lái)表示直線和平面的 方向 那么如何用向量來(lái)刻畫(huà)直線和平面的 方向 呢 一 直線的方向向量 直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量 由于垂直于同一平面的直線是互相平行的 所以 可以用垂直于平面的直線的方向向量來(lái)刻畫(huà)平面的 方向 二 平面的法向量 平面的法向量 如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面 則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面 記作 如果 那么向量叫做平面的法向量 l 給定一點(diǎn)a和一個(gè)向量 那么過(guò)點(diǎn)a 以向量為法向量的平面是完全確定的 幾點(diǎn)注意 1 法向量一定是非零向量 2 一個(gè)平面的所有法向量都互相平行 3 向量是平面的法向量 向量是與平面平行或在平面內(nèi) 則有 由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的 為方便起見(jiàn) 取z 1較合理 其實(shí)平面的法向量不是惟一的 平面的法向量不惟一 合理取值即可 例3 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi) 設(shè)平面經(jīng)過(guò)點(diǎn) 平面的法向量為 為平面內(nèi)任意一點(diǎn) 求滿(mǎn)足的關(guān)系式 解 由題意可得 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置 所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線 平面間的平行 垂直 夾角等位置關(guān)系 那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行 垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角呢 如何用平面的法向量表示空間兩平面平行 垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小呢 l1 l2 l1 三 平行關(guān)系 簡(jiǎn)證 因?yàn)榫匦蝍bcd和矩形adef所在平面互相垂直 所以ab ad af互相垂直 以為正交基底 建立如圖所示空間坐標(biāo)系 設(shè)ab ad af長(zhǎng)分別為3a 3b 3c 則可得各點(diǎn)坐標(biāo) 從而有 又平面cde的一個(gè)法向量是 因?yàn)閙n不在平面cde內(nèi)所以mn 平面cde l1 l2 l 四 垂直關(guān)系 證明 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1 為單位正交基底 建立如圖所示坐標(biāo)系d xyz 則可得 所以 鞏固性訓(xùn)練1 1 設(shè)分別是直線l1 l2的方向向量 根據(jù)下列條件 判斷l(xiāng)1 l2的位置關(guān)系 平行 垂直 平行 鞏固性訓(xùn)練2 1 設(shè)分別是平面 的法向量 根據(jù)下列條件 判斷 的位置關(guān)系 垂直 平行 相交 1 設(shè)平面的法向量為 1 2 2 平面的法向量為 2 4 k 若 則k 若則k 2 已知 且的方向向量為 2 m 1 平面的法向量為 1 1 2 2 則m 3 若的方向向量為 2 1 m 平面的法向量為 1 1 2 2 且 則m 鞏固性訓(xùn)練3 1 如圖 正方體中 e為的中點(diǎn) 證明 平面aec 練習(xí) 用空間向量來(lái)解決下列題目 2 在正方體ac 中 e f g