經(jīng)典講義——二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.doc

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、 知識(shí)要點(diǎn)：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題，核心是函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論。一般分為：對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。分析：將配方，得頂點(diǎn)為、對(duì)稱(chēng)軸為 當(dāng)時(shí)，它的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在m，n上的最值：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當(dāng)時(shí)若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值是 當(dāng)時(shí)，可類(lèi)比得結(jié)論。二、例題分析歸類(lèi)：（一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱(chēng)軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。此類(lèi)問(wèn)題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1. 軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱(chēng)這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1. 函數(shù)在區(qū)間0，3上的最大值是_，最小值是_。練習(xí). 已知，求函數(shù)的最值。2、軸定區(qū)間變二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱(chēng)這種情況是“定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例2. 如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。例3. 已知，當(dāng)時(shí)，求的最大值觀察前兩題的解法，為什么最值有時(shí)候分兩種情況討論，而有時(shí)候又分三種情況討論呢？這些問(wèn)題其實(shí)仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)取到。第一個(gè)例題中，這個(gè)二次函數(shù)是開(kāi)口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只可能是閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)就在哪個(gè)端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個(gè)理解，不難解釋第二個(gè)例題為什么這樣討論。對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下： 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 3、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱(chēng)這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例4. 已知，且，求函數(shù)的最值。例5. (1) 求在區(qū)間-1,2上的最大值。(2) 求函數(shù)在上的最大值。4. 軸變區(qū)間變二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱(chēng)這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例6. 已知，求的最小值。（二）、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例7. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。 例8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3最大值是3，求，的值。例9. 已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值。三、鞏固訓(xùn)練1函數(shù)在上的最小值和最大值分別是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函數(shù)在區(qū)間 上的最小值是 （） 23函數(shù)的最值為 （）最大值為8，最小值為0不存在最小值，最大值為8 （C）最小值為0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函數(shù)的取值范圍是_5已知函數(shù)上的最大值是1，則實(shí)數(shù)a的值為 6如果實(shí)數(shù)滿足，那么有 （ ） (A)最大值為 1 , 最小值為 (B)無(wú)最大值，最小值為 （C）)最大值為 1, 無(wú)最小值 (D)最大值為1，最小值為7已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8若，那么的最小值為_(kāi)9設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值_10設(shè)求函數(shù)的最小值的解析式。11 已知，在區(qū)間上的最大值為，求的最小值。12.（2009江蘇卷）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式的解集.2010二次函數(shù)一 .選擇題1.(2010蘭州)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( ) A（-1，8） B（1，8） C（-1，2） D（1，-4）2.(2010蘭州) 拋物線圖像向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖像的解析式為，則b、c的值為( )A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=23.(2010河北)如圖，已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )A（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3）4.(2010陜西)將拋物線C：y=x+3x-10，將拋物線C平移到C/。若兩條拋物線C,C/關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則下列平移方法中正確的是（ ）A將拋物線C向右平移個(gè)單位 B將拋物線C向右平移3個(gè)單位C將拋物線C向右平移5個(gè)單位 D將拋物線C向右平移6個(gè)單位5.（2010遵義）如圖，兩條拋物線、與分別經(jīng)過(guò)點(diǎn),且平行于軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（ ）8 6 10 4xyO6.(2010萊蕪)二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7.（2010麗水）如圖，四邊形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是( )AB CD8.（2010麗水）下列四個(gè)函數(shù)圖象中，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大的是( )9.(2010成都)把拋物線向右平移1個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（ ）（A） （B）（C） （D）10.(2010蘭州) 拋物線圖像如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致為( )xxxxx11.（2010濟(jì)南）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值y0時(shí)x的取值范圍是（ ）Ax1 Bx2 C1x2 Dx1或x212.（2010杭州）定義為函數(shù)的特征數(shù), 下面給出特征數(shù)為 2m，1 m , 1 m 的函數(shù)的一些結(jié)論： 當(dāng)m = 3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(，)； 當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于； 當(dāng)m 時(shí)，y隨x的增大而減??； 當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn). 其中正確的結(jié)論有（ ） A. B. C. D. 13.(2010舟山)已知二次函數(shù)，則函數(shù)值y的最小值是（ ）A. 3B. 2C. 1D. -114.(2010咸寧)已知拋物線（0）過(guò)A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是( )A B C D不能確定15.(2010桂林)將拋物線繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，所得拋物線的解析式是（ ） A BC D二填空題1.(2010成都)如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)重合），動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)重合）如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)_秒，四邊形的面積最小2.（2010浙江金華）若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解，另一個(gè)解 ； 3.（2010郴州）將拋物線y=x2 +1向下平移2個(gè)單位，則此時(shí)拋物線的解析式是_4（2010天津）已知二次函數(shù)()中自變量和函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：010則該二次函數(shù)的解析式為 5.(1)(2010義烏)將拋物線y12x2向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y2的圖象，則y2= ；（2）如圖，P是拋物線y2對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線xt平行于y軸，分別與直線yx、拋物線y2交于點(diǎn)A、B若ABP是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三形，求滿足條件的t的值，則t 6.(2010玉溪)如圖是二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，根據(jù)圖形判斷 0； +0； 2-0； 2+84中正確的是（填寫(xiě)序號(hào)） 三解答題1.（2010寧波）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、B（0，6）兩點(diǎn)。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式（2）設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BA、BC，求ABC的面積。yxCAOB2.（2010浙江金華）已知二次函數(shù)y=ax2bx3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），B（1，0） （1）求二次函數(shù)的解析式；（2）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)把圖象沿y軸向上平移 個(gè)單位 3.（2010紹興）如圖,設(shè)拋物線C1:, C2:,C1與C2的交點(diǎn)為A, B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2. （1）求的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)D在線段AB上,過(guò)D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG. 記過(guò)C2頂點(diǎn)的直線為,且與x軸交于點(diǎn)N. 若過(guò)DHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 2)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)； 若與DHG的邊DG相交,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.4.(2010玉溪)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，） ，AOB的面積是.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使AOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （4）在（2）中，軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，線段OD把AOB分成兩個(gè)三角形.使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3 ？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.（2010宜賓）將直角邊長(zhǎng)為6的等腰RtAOC放在如圖所示的