“放縮法”證明不等式論文：例談“放縮法”證明不等式.doc

“放縮法”證明不等式論文：例談“放縮法”證明不等式【摘要】放縮法是證明不等式的重要方法和技巧之一，放縮法的合理運(yùn)用，往往能收到事半功倍的效果.“放縮法”可以和各塊知識內(nèi)容結(jié)合，對應(yīng)變能力有較高的要求，學(xué)生普遍感到很難駕馭，不知道如何放縮才能達(dá)到理想的彼岸.筆者結(jié)合自己的教學(xué)體會，對放縮法的類型及常見的方法進(jìn)行了歸類整理，以期對讀者能有所幫助.【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；放縮法一、兩類基本的放縮類型所謂放縮法，即要證明不等式a證明 aa+b+d+bb+c+a+cc+d+b+dd+a+caa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1，aa+b+d+bb+c+a+cc+d+b+dd+a+c2增大、減小某些項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)不變）例2 證明：12-1n+1123+134+1n(n+1)=12-13+13-14+1n-1n+1=12-1n+1=n-1n+1，12-1n+1-1且x0，nn*，則(1+x)n1+nx.（4）柯西不等式：(a21+a22+a2n)(b21+b22+b2n)(a1b1+a2b2+anbn)2.（5）排序不等式：設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組數(shù)，c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列，那么：a1bn+a2bn-1+anb1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an或b1=b2=bn時(shí)，反序和等于順序和.3運(yùn)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮例5 已知nn*且n1，求證：22(n2，nn*).又（*）式n2(n5)，則（*）式0，|q|1+2n2.證明 原不等式變形為1+131+151+12n-11+2n12.令f(n)=1+131+151+12n-11+2n，(n=2,3,n)，則f(n+1)f(n)=1+12n+11+2n2n+3=2n+2(2n+1)(2n+3)=2n+24(n+1)2-12n+24(n+1)2=1，f(n+1)f(n)，f(n)f(2)=164512.故原不等式成立.點(diǎn)評 在應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)時(shí)要抽象被證式子為函數(shù)的形式.在涉及數(shù)列構(gòu)造為函數(shù)時(shí)，應(yīng)抓住數(shù)列本身的特點(diǎn)說明單調(diào)性，即從第二項(xiàng)起，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)進(jìn)行比較，要么作差，要么作商，進(jìn)行遞推，進(jìn)而說明單調(diào)性.放縮法證明不等式