2013年中考攻略專題11幾何三大變換之旋轉(zhuǎn)探討(含答案).doc

快樂學(xué)習(xí)，天天向上 （龍崗） 28961123【2013年中考攻略】專題11：幾何三大變換之旋轉(zhuǎn)探討軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是平面幾何的三大變換。旋轉(zhuǎn)變換是指在同一平面內(nèi)，將一個(gè)圖形（含點(diǎn)、線、面）整體繞一固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，這樣的圖形變換叫做圖形的旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)的方向和角度決定。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀、大小不變，只是位置發(fā)生改變；旋轉(zhuǎn)前、后圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上； 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。把一個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度360/n(n為大于1的正整數(shù))后，與初始的圖形重合，這種圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。 特別地，中心對(duì)稱也是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的一種的特別形式。把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形。在初中數(shù)學(xué)以及日常生活中有著大量的旋轉(zhuǎn)變換的知識(shí)，是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。結(jié)合2011和2012年全國各地中考的實(shí)例，我們從下面九方面探討旋轉(zhuǎn)變換：（1）中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形；（2）構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形；（3）有關(guān)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)；（4）有關(guān)直線（線段）的旋轉(zhuǎn)；（5）有關(guān)等腰（邊）三角形的旋轉(zhuǎn)；（6）有關(guān)直角三角形的旋轉(zhuǎn)；（7）有關(guān)平行四邊形、矩形、菱形的旋轉(zhuǎn)；（8）有關(guān)正方形的旋轉(zhuǎn)；（9）有關(guān)其它圖形的旋轉(zhuǎn)。一、中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形：典型例題：例1. （2012天津市3分）下列標(biāo)志中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】B?！究键c(diǎn)】中心對(duì)稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)中心對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，由此結(jié)合各圖形的特點(diǎn)求解：A、C、D都不符合中心對(duì)稱的定義。故選B。例2. （2012上海市4分）在下列圖形中，為中心對(duì)稱圖形的是【 】A等腰梯形B平行四邊形C正五邊形D等腰三角形【答案】B?！究键c(diǎn)】中心對(duì)稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，等腰梯形、正五邊形、等腰三角形都不符合；是中心對(duì)稱圖形的只有平行四邊形故選B。例3. （2012廣東深圳3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是【 】 【答案】A?！究键c(diǎn)】中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，A既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)正確；B既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選A。例4. （2012福建寧德4分）下列兩個(gè)電子數(shù)字成中心對(duì)稱的是【 】【答案】A?！究键c(diǎn)】中心對(duì)稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，符合條件的只有A。故選A。例5. （2012湖北隨州4分）下列圖形：等腰梯形，菱形，函數(shù)的圖象，函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有【 】 A B. C. D.【答案】D?！究键c(diǎn)】軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形?！痉治觥扛鶕?jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本小題錯(cuò)誤；菱形，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故本小題正確；函數(shù)圖象是雙曲線，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故本小題正確；函數(shù)y=kx+b（k0）圖象是直線，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故本小題正確。綜上所述，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形有。故選D。例6. （2012山東德州4分）在四邊形ABCD中，AB=CD，要使四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形，只需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 （只要填寫一種情況）【答案】AD=BC（答案不唯一）。【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形，平行四邊形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可以針對(duì)平行四邊形的各種判定方法，給出相應(yīng)的條件，得出此四邊形是中心對(duì)稱圖形：AB=CD，當(dāng)AD=BC時(shí)，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。當(dāng)ABCD時(shí)，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 當(dāng)B+C=180或A+D=180時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形。故此時(shí)是中心對(duì)稱圖形。故答案為：AD=BC或ABCD或B+C=180或A+D=180等（答案不唯一）。例7. （2012四川宜賓3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180得到DEF，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 【答案】（1，1）?！究键c(diǎn)】坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變化，中心對(duì)稱的性質(zhì)。【分析】將ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180得到DEF， ABC和DEF關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱。 連接AD，CF，二者交點(diǎn)即為點(diǎn)P。 由圖知，P（1，1）。 或由A（0，1），D（2，3），根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等的性質(zhì)得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），即（1，1）。練習(xí)題：1. （2012重慶市4分）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是【 】ABCD2.（2012廣東珠海3分）下列圖形中不是中心對(duì)稱圖形的是【 】 A.矩形 B.菱形 C.平行四邊形 D.正五邊形3. （2012江蘇鹽城3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是【 】4.（2012四川達(dá)州3分）下列幾何圖形中，對(duì)稱性與其它圖形不同的是【 】5.（2012河南省3分）如下是一種電子記分牌呈現(xiàn)的數(shù)字圖形，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是【 】A B C D6.（2012黑龍江大慶3分）下列哪個(gè)函數(shù)的圖象不是中心對(duì)稱圖形【 】A. B. C D.7.（2011云南曲靖3分）小明、小輝兩家所在位置關(guān)于學(xué)校中心對(duì)稱。如果小明家距學(xué)校2公里，那么他們兩家相距 公里；二、構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形：典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華3分）在方格紙中，選擇標(biāo)有序號(hào)中的一個(gè)小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成中心對(duì)稱圖形該小正方形的序號(hào)是【 】 ABCD【答案】B。【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形。【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，通過觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)涂黑時(shí)，所形成的圖形關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱。故選B。例2. （2012福建三明8分）如圖，已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，1），B（3，3），C（1，3）.畫出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（4分）畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo).（4分）【答案】解：如圖所示，A1（2，1）。如圖所示，A2（2，1）。 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱和中心對(duì)稱作圖?！痉治觥扛鶕?jù)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖，寫出A1、A2的坐標(biāo)。例3.（2012海南省8分）如圖，在正方形網(wǎng)絡(luò)中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，4）、（2，0）、（4，1），結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題：（1）畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的A1B1C1.（2）平移ABC，使點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A2（0，2），畫出平移后的A2B2C2并寫出點(diǎn)B2、C2的坐標(biāo).（3）在ABC、A1B1C1、A2B2C2中，A2B2C2與 成中心對(duì)稱，其對(duì)稱中心的坐標(biāo)為 . 【答案】解：（1）ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的A1B1C1如圖所示：（2）平移后的A2B2C2如圖所示： 點(diǎn)B2、C2的坐標(biāo)分別為（0，2），（2，1）。（3）A1B1C1；（1，1）?！究键c(diǎn)】網(wǎng)格問題，作圖（中心對(duì)稱變換和平移變換），中心對(duì)稱和平移的性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，作出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，連接即可。 （2）根據(jù)平移的性質(zhì)，點(diǎn)A（2，4）A2（0，2），橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)減2，所以將B（2，0）、C（4，1）橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)減2得到B2（0，2）、C2（2，1），連接即可。 （3）如圖所示。例4. （2012江蘇泰州10分）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的頂點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上，將ABC向下平移4個(gè)單位、再向右平移3個(gè)單位得到A1B1C1，然后將A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到A1B2C2（1）在網(wǎng)格中畫出A1B1C1和A1B2C2；（2）計(jì)算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積（重疊部分不重復(fù)計(jì)算）【答案】解：（1）如圖所示：（2）圖中是邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格，。將ABC向下平移4個(gè)單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積：42=8。再向右平移3個(gè)單位AC所掃過的面積是以3為底，以2為高的平行四邊形的面積：42=6。當(dāng)A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到A1B2C2時(shí)，A1C1所掃過的面積是以A1為圓心以以為半徑，圓心角為90的扇形的面積，重疊部分是以A1為圓心，以為半徑，圓心角為45的扇形的面積，去掉重疊部分，面積為： 線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積=86=14+。【考點(diǎn)】作圖（平移和旋轉(zhuǎn)變換），平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，網(wǎng)格問題，勾股定理，平行四邊形面積和扇形面積的計(jì)算。【分析】（1）根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A1B1C1及A1B2C2即可。 （2）畫出圖形，根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分三部分求取面積。 例5.（2012江蘇常州6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC和DEF的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求畫圖：以點(diǎn)O為位似中心，將ABC向y軸左側(cè)按比例尺2：1放大得ABC的位似圖形A1B1C1，并解決下列問題：（1）頂點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 ，B1的坐標(biāo)為 ，C1的坐標(biāo)為 ；（2）請(qǐng)你利用旋轉(zhuǎn)、平移兩種變換，使A1B1C1通過變換后得到A2B2C2，且A2B2C2恰與DEF拼接成一個(gè)平行四邊形（非正方形）。寫出符合要求的變換過程?！敬鸢浮拷猓鹤鲌D如下： （1）（2，0），（6，0），（4，2）。 （2）符合要求的變換有兩種情況： 情況1：如圖1，變換過程如下： 將A2B2C2向右平移12個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位；再以B1為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900。情況2：如圖2，變換過程如下： 將A2B2C2向右平移8個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位；再以A1為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900。【考點(diǎn)】作圖（位似、平移和旋轉(zhuǎn)）網(wǎng)格問題，位似的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）作位似變換的圖形的依據(jù)是相似的性質(zhì)，基本作法是：先確定圖形的位似中心；利用相似圖形的比例關(guān)系作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按原圖形中的方式順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)要注意有兩種情況，圖形在位似中心的同側(cè)或在位似中心的兩側(cè)。 （2）作平移變換時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)；確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；利用第一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按原圖形順序依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形。作旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度。例6. （2012福建漳州8分）利用對(duì)稱性可設(shè)計(jì)出美麗的圖案在邊長為1的方格紙中,有如圖所示的四邊形(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上) (1)先作出該四邊形關(guān)于直線成軸對(duì)稱的圖形，再作出你所作的圖形連同原四邊形繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o后的圖形；(2)完成上述設(shè)計(jì)后，整個(gè)圖案的面積等于_【答案】解：（1）作圖如圖所示：先作出關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形；再作出所作的圖形連同原四邊形繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后的圖形。（2）20?！究键c(diǎn)】利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案?！痉治觥浚?）根據(jù)圖形對(duì)稱的性質(zhì)先作出關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形，再作出所作的圖形連同原四邊形繞0點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后的圖形即可。（2）先利用割補(bǔ)法求出原圖形的面積，由圖形旋轉(zhuǎn)及對(duì)稱的性質(zhì)可知經(jīng)過旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱所得圖形與原圖形全等即可得出結(jié)論。邊長為1的方格紙中一個(gè)方格的面積是1，原圖形的面積為5。整個(gè)圖案的面積=45=20。例7. （2012福建福州7分）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長為1個(gè)單位長度的正方形 畫出將RtABC向右平移5個(gè)單位長度后的RtA1B1C1； 再將RtA1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，畫出旋轉(zhuǎn)后的RtA2B2C1，并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積(結(jié)果保留)【答案】解： 如圖所示； 如圖所示；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于4?！究键c(diǎn)】平移變換和旋轉(zhuǎn)變換作圖，扇形面積的計(jì)算。【分析】根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的圖形，再根據(jù)在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于以點(diǎn)C1為圓心，以A1C1為半徑，圓心角為90度的扇形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行解答即可。例8. （2012四川南充3分）如圖，四邊形ABCD中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長是 cm. 【答案】4?！究键c(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，將ADC旋轉(zhuǎn)至ABE處，則AEC的面積和四邊形ABCD的面積一樣多為24cm2，,這時(shí)三角形AEC為等腰直角三角形，作邊EC上的高AF，則AF=EC=FC, SAEC= AFEC=AF2=24 。AF2=24。AC2=2AF2=48 AC=4。練習(xí)題：1. （2012湖南張家界6分）如圖，在方格紙中，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫格點(diǎn)三角形，請(qǐng)按要求完成下列操作：先將格點(diǎn)ABC向右平移4個(gè)單位得到A1B1C1，再將A1B1C1繞點(diǎn)C1點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180得到A2B2C22.（2012貴州六盤水10分）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形RtABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1）（1）先將RtABC向右平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到RtA1B1C1試在圖中畫出圖形RtA1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)；（2）將RtA1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到RtA2B2C2，試在圖中畫出圖形RtA2B2C2并計(jì)算RtA1B1C1在上述旋轉(zhuǎn)過程中C1所經(jīng)過的路程3.（吉林省6分）如圖所示，在76的正方形網(wǎng)格中，選取14個(gè)格點(diǎn)，以其中三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)一畫出ABC,請(qǐng)你以選取的格點(diǎn)為頂點(diǎn)再畫出一個(gè)三角形，且分別滿足下列條件：（1） 圖中所畫的三角形與ABC組成的圖形是軸對(duì)稱圖形。（2） 圖中所畫的三角形與ABC組成的圖形是中心對(duì)稱圖形。（3） 圖中所畫的三角形與ABC的面積相等，但不全等。 圖 圖 圖4.（2011浙江紹興8分）分別按下列要求解答：（1）在圖1中作出O關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的圖形；（2）在圖2中作出ABC關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的圖形5.（2011遼寧撫順10分）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC與DEF關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，ABC與DEF的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題(1)在圖中畫出點(diǎn)O的位置(2)將ABC先向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，得到A1B1C1，請(qǐng)畫出A1B1C1；(3)在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)M，使A1M平分B1A1C1.6.（2011遼寧阜新10分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，直角梯形ABEF的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：（1）請(qǐng)?jiān)趫D中拼上一個(gè)直角梯形，使它與梯形ABEF構(gòu)成一個(gè)等腰梯形ABCD；（2）將等腰梯形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，畫出相應(yīng)的圖形A1B1CD1；（3）求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A1時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留）7. （2011黑龍江省綏化、齊齊哈爾、黑河、大興安嶺、雞西6分）如圖，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的小正方形（1）將ABC向右平移3個(gè)單位長度，畫出平移后的A1B1C1（2）將ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180，畫出旋轉(zhuǎn)后的A2B2C2（3）畫出一條直線將AC1A2的面積分成相等的兩部分8.（2011廣東臺(tái)山10分）如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形。（1） 從點(diǎn)A出發(fā)的一條線段AB，使它的另一個(gè)端點(diǎn)落在格點(diǎn)（即小方形的頂點(diǎn)）上，且長度為； （2）以（1）中的AB為邊的一個(gè)等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長都是無理數(shù)； （3）以（1）中的AB為邊的兩個(gè)凸多邊形，使它們都是中心對(duì)稱圖形且不全等，其頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，各邊長都是無理數(shù)。9.（2011湖北孝感8分）如圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，請(qǐng)你認(rèn)真觀察圖（1）中的三個(gè)網(wǎng)格中陰影部分構(gòu)成的圖案，解答下列問題： 圖（1） 圖（2）（1）這三個(gè)圖案都具有以下共同特征：都是_對(duì)稱圖形，都不是_對(duì)稱圖形. （4分）（2）請(qǐng)?jiān)趫D（2）中設(shè)計(jì)出一個(gè)面積為4，且具備上述特征的圖案，要求所畫圖案不能與圖（1）中所給出的圖案相同. （4分）10. （2011四川巴中8分） 在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都是l，ABC與成中心對(duì)稱。(1)畫出對(duì)稱中心O；(2)畫出將沿直線MN向上平移5格得到的：(3)要使與重合，則繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，至少旋轉(zhuǎn)多少度?(直接寫出答案)11.（2011山東煙臺(tái)4分）如圖，三個(gè)邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是 .三、有關(guān)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)：典型例題：例1. （2012廣東梅州7分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2）、B（1，3）AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得到A1OB1（直接填寫答案）（1）點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；（2）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 ；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BB1，那么弧BB1的長為 【答案】解：（1）（3，2）。 （2） （2，3）。 （3）。【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變化，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，弧長的計(jì)算?！痉治觥浚?）根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)的性質(zhì)即可得。（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出即可。（3）先利用勾股定理求出OB的長度，然后根據(jù)弧長公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解：根據(jù)勾股定理，得，弧BB1的長=。例2. （2012黑龍江大慶9分）在直角坐標(biāo)系中，C(2，3)，C(4，3)， C(2,1)，D(4，1)，A(0，)，B(，O)( 0). （1）結(jié)合坐標(biāo)系用坐標(biāo)填空 點(diǎn)C與C關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱; 點(diǎn)C與C關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱; 點(diǎn)C與D關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱 （2）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)(4，2)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P，若PAB的面積等于5，求值例3. （2012黑龍江牡丹江3分）如圖，A(，1)，B(1，)將AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)l500得到AOB，則此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為【 】A(，l) B(2，0) C(l，)或（2，0) D(，1)或(2，0)【答案】C。【考點(diǎn)】坐標(biāo)和圖形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)A作AC軸于點(diǎn)C, 過點(diǎn)B作BD軸于點(diǎn)D。 由銳角三角函數(shù)定義，,。 同理，。 若將AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)l500，則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱， A(l，)。 若將AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)l500，則點(diǎn)A在軸反方向上， A(2，0)。 綜上所述，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(l，)或(2，0)。故選C。練習(xí)題：1. （2011河南省3分）如圖，將一朵小花放置在平面直角坐標(biāo)系中第三象限內(nèi)的甲位置，先將它繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180到乙位置，再將它向下平移2個(gè)單位長到丙位置，則小花頂點(diǎn)A在丙位置中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 【 】A、（3，1）B、（1，3） C、（3，1）D、（1，1）2.（2011山東泰安3分）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，將OA繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到OA，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是【 】A、（3，6）B、（3，6） C、（3，6）D、（3，6）3. （2011遼寧盤錦10分）如圖，風(fēng)車的支桿OE垂直于桌面，風(fēng)車中心O到桌面的距離OE為25cm，小小風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心O不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，葉片端點(diǎn)A、B、C、D在同一圓O上，已知O的半徑為10cm.(1)風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)AOE45時(shí)，求點(diǎn)A到桌面的距離(結(jié)果保留根號(hào))(2)在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過20cm所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留)備用圖1備用圖24.（2011四川眉山11分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說明d2=d11；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，PAC的周長有最小值，并求出PAC的周長的最小值5.（2011遼寧葫蘆島10分）如圖，有一直徑MN4的半圓形紙片，其圓心為點(diǎn)P，從初始位置開始，在無滑動(dòng)的情況下沿?cái)?shù)軸向右翻滾至位置，其中，位置中的MN平行于數(shù)軸，且半P與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O；位置和位置中的MN垂直于數(shù)軸；位置中的MN在數(shù)軸上；位置中的點(diǎn)N到數(shù)軸的距離為3，且半P與數(shù)軸相切于點(diǎn)A.解答下列問題：(1)位置中的MN與數(shù)軸之間的距離為_；位置中的半P與數(shù)軸的位置關(guān)系是_；(2)求位置中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)；(3)紙片半P從位置翻滾到位置時(shí)，求點(diǎn)N所經(jīng)過路徑長及該紙片所掃過圖形的面積；(4)求OA的長(2)，(3)，(4)中的結(jié)果保留四、有關(guān)直線（線段）的旋轉(zhuǎn)：典型例題：例1. （2012安徽省8分）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）和點(diǎn)A1.（1）畫出一個(gè)格點(diǎn)A1B1C1，并使它與ABC全等且A與A1是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（2）畫出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D，并指出AD可以看作由AB繞A點(diǎn)經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)而得到的.【答案】解：（1）答案不唯一，如圖，平移即可：(2)作圖如上，AB=，AD=，BD=，AB2+AD2=BD2。ABD是直角三角形。AD可以看作由AB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的?！究键c(diǎn)】作圖（平移變換、軸對(duì)稱變換），全等圖形，旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理和逆定理?！痉治觥浚?）利用ABC三邊長度，畫出以A1為頂點(diǎn)的三角形三邊長度即可，利用圖象平移，可得出A1B1C1。（2）利用點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理和逆定理可得出AD與AB的位置關(guān)系。例2.（2012湖北武漢7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1，3)、(4，1)，先將線段AB沿一確定方向平移得到線段A1B1，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(0，2)，在將線段A1B1繞遠(yuǎn)點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段A2B2，點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A2(1)畫出線段A1B1、A2B2；(2)直接寫出在這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過A1到達(dá)A2的路徑長【答案】解：（1）畫出線段A1B1、A2B2如圖： （2）在這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過A1到達(dá)A2的路徑長為?！究键c(diǎn)】網(wǎng)格問題，圖形的平移和旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，扇形弧長公式?！痉治觥浚?）根據(jù)圖形的平移和旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)作出圖形。 （2）如圖，點(diǎn)A到點(diǎn)A1的平移變換中， ， 點(diǎn)A2到點(diǎn)A3的平移變換中， ，。在這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過A1到達(dá)A2的路徑長為。例3. （2012四川瀘州2分）將如圖所示的直角梯形繞直線l 旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是【 】【答案】D?！究键c(diǎn)】點(diǎn)、線、面的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥繉⑷鐖D所示的直角梯形繞直線l 旋轉(zhuǎn)一周得到圓臺(tái)。故選D?！咀ⅲ罕绢}已不是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，是空間內(nèi)的旋轉(zhuǎn)】例4. （2012黑龍江大慶3分）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，將OA繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30得OB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【 】 A.(1，) B.( 1，) C.(0，2) D.(2，0)【答案】 A?！究键c(diǎn)】坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，作ACx軸于C點(diǎn)，BDy軸于D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1），AC=1，OC=。OA=。AOC=30。OA繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30得OB，AOB=30，OA=OB。BOD=30。RtOACRtOBD（AAS）。DB=AC=1，OD=OC=。B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）。故選A。例5. （2012陜西省3分）請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按所選的第一題計(jì)分A在平面內(nèi)，將長度為4的線段AB繞它的中點(diǎn)M，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30，則線段AB掃過的面積為 B用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算： （精確到0.01）【答案】；2.47?！究键c(diǎn)】扇形面積的計(jì)算，計(jì)算器的應(yīng)用?！痉治觥緼、畫出示意圖，根據(jù)扇形的面積公式求解即可： 由題意可得，AM=MB=AB=2。線段AB掃過的面積為扇形MCB和扇形MAB的面積和，線段AB掃過的面積=。B、用計(jì)算器計(jì)算即可：。例6. （2012江蘇鎮(zhèn)江6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），直線OP經(jīng)過原點(diǎn)，且位于一、三象限，AOP=450（如圖1）。設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)為B。（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo) ；（2）過原點(diǎn)O的直線l從直線OP的位置開始，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。當(dāng)直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)100到直線l1的位置時(shí)（如圖1），點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)為C，則BOC的度數(shù)是 ，線段OC的長為 ；當(dāng)直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)550到直線l2的位置時(shí)（如圖2），點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)為D，則BOD的度數(shù)是 ； 直線l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n0（0n900），在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為 （用含n的代數(shù)式表示）?！敬鸢浮拷猓海?）（2，0）。 （2）200，2；1100；。例7. （2012四川瀘州7分）“五一”節(jié)期間，小明和同學(xué)一起到游樂場(chǎng)游玩。如圖為某游樂場(chǎng)大型摩天輪的示意圖，其半徑是20m，它勻速旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，最底部點(diǎn)B離地面1m。小明乘坐的車廂經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)開始計(jì)時(shí)。(1)計(jì)時(shí)4分鐘后小明離地面的高度是多少？(2)的旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有多長時(shí)間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中？【答案】解：（1）設(shè)4分鐘后小明到達(dá)點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CDOB于點(diǎn)D，DA即為小明離地的高度，COD=，OD=OC=20=10。DA=20101=11（m）。答：計(jì)時(shí)4分鐘后小明離地面的高度是11m。（2）設(shè)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E處時(shí)，小明離地面高度為31m。作弦EFAO交AO的延長線于點(diǎn)H，連接OE，OF，此時(shí)EF離地面高度為HA。HA=31，OH=31120=10。OH=OE。HOE=60。FOE=120。每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為：，由點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到F所用的時(shí)間為：（分鐘）。答：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有8分鐘的時(shí)間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中?！究键c(diǎn)】圓的綜合題，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）設(shè)4分鐘后小明到達(dá)點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CDOB于點(diǎn)D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間可以求得旋轉(zhuǎn)角COD，利用三角函數(shù)即可求得OD的長，從而求解。（2）設(shè)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E處時(shí)，小明離地面高度為31m。作弦EFAO交AO的延長線于點(diǎn)H，連接OE，OF，此時(shí)EF離地面高度為HA，在直角OEH中，利用三角函數(shù)求得HOE的度數(shù)，則EOF的度數(shù)即可求得，則旋轉(zhuǎn)的時(shí)間即可求得。例8. （2012遼寧營口14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，0)、B(0，3)、C（1，0）三點(diǎn)(1) 求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 如圖1，將拋物線的對(duì)稱軸繞拋物線的頂點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn),與直線交于點(diǎn)N在直線DN上是否存在點(diǎn)M，使得MON=若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3) 點(diǎn)P、Q分別是拋物線和直線上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形OBPQ是直角梯形時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)【答案】解：（1）由題意把A(3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入得，解得 。拋物線的解析式是。，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）。（2）存在。理由如下： 由旋轉(zhuǎn)得EDF=60。在RtDEF中，EDF=60，DE=4， EF=DEtan60=4。OF=OE+EF=1+4。F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）。設(shè)過點(diǎn)D、F的直線解析式是，把D（1，4），F(xiàn)（，0）代入求得 。分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在射線ND上時(shí)，MON=75，BON=45，MOB=MONBON=30。MOC=60。直線OM的解析式為。點(diǎn)M的坐標(biāo)為方程組的解，解方程組得，。點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）。 當(dāng)點(diǎn)M在射線NF上時(shí)，不存在點(diǎn)M使得MON=75。MON=75，F(xiàn)ON=45， FOM=MONFON=30。DFE=30。FOM=DFE。OMFN。不存在點(diǎn)M使得MON=75。綜上所述，存在點(diǎn)M ，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）。（3）有兩種情況：如圖，直角梯形OBPQ中，PQOB，OBP=90。OBP=AOB=90，PBOA。點(diǎn)P、B的縱坐標(biāo)相同都是3。點(diǎn)P在拋物線上，把3代入拋物線的解析式，解得2，0（舍去）。由PQOB得到點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)相同，都等于2，把2代入得2。所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）。如圖，在直角梯形OBPQ中，PBOQ，BPQ=90。D(1，4)，B(0，3) ，DBOQ。PBOQ，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P、D重合。EDF=EFD=45。EF=ED=4。OF=OE+EF=5。作QH軸于H，QOF=QFO=45，OQ=FQ。OH=OF=。Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)。Q點(diǎn)在上，把代入得。Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè),坐標(biāo)分別為：（2，2），（，）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，直角梯形的判定?！痉治觥浚?）用待定系數(shù)法，將A、B、C的坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式，化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)。 （2）分點(diǎn)M在射線ND上和點(diǎn)M在射線NF上兩種情況討論即可。 （3）分PQOB，OBP=90和PBOQ，BPQ=90兩種情況討論即可。例9. （2012遼寧阜新10分）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上（1）將ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到A1B1C1在網(wǎng)格中畫出A1B1C1；（2）求線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積；（結(jié)果保留）（3）求BCC1的正切值【答案】解：（1）畫圖如下：（2）由勾股定理得， 線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形為以O(shè)A為半徑，為圓心角的扇形， 。 答：線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積為 （3）在Rt中，。 答：BCC1的正切值是。【考點(diǎn)】網(wǎng)格問題，旋轉(zhuǎn)變換作圖，勾股定理，扇形面積，銳角三角函數(shù)的定義?！痉治觥浚?）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形即可。（2）先根據(jù)勾股定理求出OA的長，再根據(jù)線段OA在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形為以O(shè)A為半徑，AOA1為圓心角的扇形，利用扇形的面積公式得出結(jié)論即可。（3）直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論。例10. （2012山東臨沂13分）如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn)AO、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】解：（1）如圖，過B點(diǎn)作BCx軸，垂足為C，則BCO=90。AOB=120，BOC=60。又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=。點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，）。（2）拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)AB， 可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（2，）代入，得，解得。此拋物線的解析式為。（3）存在。如圖，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y）。若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=，當(dāng)y=時(shí)，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上。y=不符合題意，舍去。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）。若OB=PB，則42+|y+|2=42，解得y=。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）。若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+|2，解得y=。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）。綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論?！痉治觥浚?）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）已知O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先表示出OPB三邊的邊長表達(dá)式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)。練習(xí)題：1. （2011浙江寧波3分）如圖，RtABC中，ACB=90，AC=BC=，若把Rt繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為【 】(A) (B) (C) (D)2.（2011廣西北海3分）如圖，直線l：2與軸交于點(diǎn)A，將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90后，所得直線的解析式為【 】A2 B2 C2 D213.(2011四川德陽3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(，0)，B(0，)，如果將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至CB，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)是【 】 A B C D4.（2011廣西百色8分）直線與反比例函數(shù)y=的圖像交于、兩點(diǎn)，且與軸交于C、D兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）.（1）求反比例函數(shù)的解析式（2）把直線AB繞著點(diǎn)M（1，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到MN，使直線MN軸，且與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)N，求旋轉(zhuǎn)角大小及線段MN的長。5. （2011廣東臺(tái)山12分）如圖，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線L交線段AB于點(diǎn)C，過C作OC的垂線，與直線=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為，分析此圖后，對(duì)下列問題作出探究：（1）當(dāng)AOC和BCP全等時(shí)，求出t的值。（2）通過動(dòng)手測(cè)量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, ）,試寫出b關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式和變量的取值范圍。求出當(dāng)PBC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。五、有關(guān)等腰（邊）三角形的旋轉(zhuǎn)：典型例題：例1. （2012湖北十堰3分）如圖，O是正ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BO，下列結(jié)論：BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到；點(diǎn)O與O的距離為4；AOB=150；其中正確的結(jié)論是【 】A B C D 【答案】A?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理。【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到。故結(jié)論正確。 連接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等邊三角形。OO=OB=4。故結(jié)論正確。在AOO中，三邊長為OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一組勾股數(shù)，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150。故結(jié)論正確。故結(jié)論錯(cuò)誤。如圖所示，將AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O點(diǎn)易知AOO是邊長為3的等邊三角形，COO是邊長為3、4、5的直角三角形。則。故結(jié)論正確。綜上所述，正確的結(jié)論為：。故選A。例2. （2012廣東廣州3分）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，D是BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到ACE，則CE的長度為 【答案】2。【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥坑稍诘冗吶切蜛BC中，AB=6，D是BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，根據(jù)等邊三角形三邊相等的性質(zhì)，即可求得