2002-2018考研數(shù)學一試題及答案解析

2002年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)=.(2)已知函數(shù)由方程確定,則=.(3)微分方程滿足初始條件的特解是.(4)已知實二次型經(jīng)正交變換可化成標準型,則=.(5)設隨機變量服從正態(tài)分布,且二次方程無實根的概率為,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì):在點處連續(xù);在點處的兩個偏導數(shù)連續(xù);在點處可微;在點處的兩個偏導數(shù)存在若用“”表示可由性質(zhì)推出性質(zhì),則有(A).(B).(C).(D).(2)設,且,則級數(shù)(A)發(fā)散.(B)絕對收斂.(C)條件收斂.(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.(3)設函數(shù)在內(nèi)有界且可導,則(A)當時,必有.(B)當存在時,必有.(C)當時,必有.(D)當存在時,必有.(4)設有三張不同平面的方程,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為,則這三張平面可能的位置關系為(5)設和是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量,它們的概率密度分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(A)必為某一隨機變量的概率密度.(B)必為某一隨機變量的概率密度.(C)必為某一隨機變量的分布函數(shù).(D)必為某一隨機變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù),且,若在時是比高階的無窮小,試確定的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù),是上半平面(0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點為(),終點為().記(1)證明曲線積分與路徑無關;(2)當時,求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗證函數(shù)滿足微分方程;(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設有一小山,取它的底面所在的平面為坐標面,其底部所占的區(qū)域為,小山的高度函數(shù)為.(1)設為區(qū)域上一點,問在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為,試寫出的表達式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點作為攀登的起點.也就是說,要在的邊界線上找出使(1)中達到最大值的點.試確定攀登起點的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣,均為維列向量,其中線性無關,如果,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項式相等.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當均為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設維隨機變量的概率密度為對獨立地重復觀察次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學期望.十二、(本題滿分7分)設總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值求的矩估計值和最大似然估計值.2002年考研數(shù)學一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】原式(2)【分析】方程兩邊對兩次求導得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對應);由時得于是積分得.又由得所求特解為(4)【分析】因為二次型經(jīng)正交變換化為標準型時,標準形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】設事件表示“二次方程無實根”,則依題意,有而即二、選擇題(1)【分析】這是討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導性,可微性及偏導數(shù)的連續(xù)性之間的關系.我們知道,的兩個偏導數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,若可微則必連續(xù),故選(A).(2)【分析】由充分大時即時,且不妨認為因而所考慮級數(shù)是交錯級數(shù),但不能保證的單調(diào)性.按定義考察部分和原級數(shù)收斂.再考察取絕對值后的級數(shù).注意發(fā)散發(fā)散.因此選(C).(3)【分析】證明(B)對:反證法.假設,則由拉格朗日中值定理,(當時,因為);但這與矛盾(4)【分析】因為,說明方程組有無窮多解,所以三個平面有公共交點且不唯一,因此應選(B).(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是(C)中三個平面沒有公共交點,即方程組無解,又因三個平面中任兩個都不行,故和,且中任兩個平行向量都線性無關.類似地,(D)中有兩個平面平行,故,且中有兩個平行向量共線.(5)【分析】首先可以否定選項(A)與(C),因?qū)τ谶x項(B),若則對任何,因此也應否定(C),綜上分析,用排除法應選(D).進一步分析可知,若令,而則的分布函數(shù)恰是三、【解】用洛必達法則.由題設條件知由于,故必有又由洛必達法則及,則有.綜上,得四、【解】由已知條件得故所求切線方程為.由導數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關系可得五、【分析與求解】是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:(關于對稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】(1)易知原函數(shù),在上原函數(shù),即.積分在與路徑無關.(2)因找到了原函數(shù),立即可得七、【證明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因為冪級數(shù)的收斂域是,因而可在上逐項求導數(shù),得,所以.(2)與相應的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當時,有于是冪級數(shù)的和函數(shù)為八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)在點處沿該點的梯度方向方向?qū)?shù)取最大值即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點在條件下的最大值點.這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)則有解此方程組:將式與式相加得或若,則由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的條件極值點現(xiàn)比較在這些點的函數(shù)值:因為實際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點.九、【解】由線性無關及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎解系中只包含一個向量.那么由知,的基礎解系是再由知,是的一個特解.故的通解是其中為任意常數(shù).十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故(2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知與不相似.(3)由均為實對稱矩陣知,均相似于對角陣,若的特征多項式相等,記特征多項式的根為則有相似于也相似于即存在可逆矩陣,使于是由為可逆矩陣知,與相似.十一、【解】由于依題意,服從二項分布,則有十二、【解】的矩估計量為根據(jù)給定的樣本觀察值計算因此的矩估計值對于給定的樣本值似然函數(shù)為令,得方程,解得(不合題意).于是的最大似然估計值為2003年碩士研究生入學考試（數(shù)學一）試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） =_ .（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是_.（3） 設，則= .（4）從的基到基的過渡矩陣為 _ .（5）設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 則 _ .（6）已知一批零件的長度X (單位：cm)服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是_ .(注：標準正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點. (B) 兩個極小值點和一個極大值點. (C) 兩個極小值點和兩個極大值點. (D) 三個極小值點和一個極大值點. y O x （2）設均為非負數(shù)列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. （3）已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點. (B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點. (C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點. (D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點. （4）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當時，向量組II必線性相關. (B) 當時，向量組II必線性相關. (C) 當時，向量組I必線性相關. (D) 當時，向量組I必線性相關. （5）設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現(xiàn)有4個命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是 (A) . (B) .(C) . (D) . （6）設隨機變量，則 (A) . (B) . (C) . (D) . 三 、（本題滿分10分）過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.四 、（本題滿分12分）將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和.五 、（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功. 設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下a m. 根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0r0時，九 、（本題滿分10分）設矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二 、（本題滿分8分）設總體X的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體X中抽取簡單隨機樣本，記(1) 求總體X的分布函數(shù)F(x);(2) 求統(tǒng)計量的分布函數(shù)；(3) 如果用作為的估計量，討論它是否具有無偏性.2003年碩士研究生入學考試（數(shù)學一）試題答案一、1、2、3、 14、5、6、二、CDADBC三、【詳解】 (1) 設切點的橫坐標為，則曲線y=lnx在點處的切線方程是 由該切線過原點知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 y 1 D O 1 e x四、【詳解】 因為又f(0)=, 所以 =因為級數(shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以 令，得 ,再由，得 五、【詳解】 方法一：(1) 左邊= =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因為D 具有輪換對稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用輪換對稱性） =六、【詳解】 (1) 設第n次擊打后，樁被打進地下，第n次擊打時，汽錘所作的功為. 由題設，當樁被打進地下的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得 ，從而 ，即汽錘擊打3次后，可將樁打進地下.（2） 由歸納法，設，則 =由于，故得 ,從而 于是 ，即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下 m.七、【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對應的齊次方程的通解為 設方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問題的解為 八、【詳解】 (1) 因為 ， ，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t0時，只需證明t0時，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因為g(t)在t=0處連續(xù)，所以當t0時，有g(t)g(0).又g(0)=0, 故當t0時，g(t)0,因此，當t0時，九、【詳解】 方法一：經(jīng)計算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當時，解，得線性無關的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當時，解，得線性無關的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設A的特征值為，對應特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對應的特征向量為由于 ，故A的特征值為當時，對應的線性無關特征向量可取為， 當時，對應的一個特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個特征值分別為9，9，3.對應于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對應于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).十、【詳解】 方法一：必要性設三條直線交于一點，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設 ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點.方法二：必要性設三直線交于一點，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據(jù)題設 ，故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價于方程組 (* *)因為 =-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點.十一、【詳解】 (1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布為 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P 因此 (2) 設A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =【評注】本題對數(shù)學期望的計算也可用分解法： 設 則的概率分布為 0 1 P 因為，所以 十二、【詳解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度為 因為 =，所以作為的估計量不具有無偏性.2004年數(shù)學一試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 _.（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= _ .（3）設為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 _ .（4）歐拉方程的通解為 _.（5）設矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 _ . （6）設隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= _ .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）把時的無窮小量，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . （8）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對任意的有f(x)f(0) . (D) 對任意的有f(x)f(0) . （9）設為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A) 若=0，則級數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(C) 若級數(shù)收斂，則. (D) 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. （10）設f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. （11）設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . （12）設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (B) A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關. (C) A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (D) A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關. （13）設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B) . (C) . (D) . （14）設隨機變量獨立同分布，且其方差為 令，則(A) Cov( (B) . (C) . (D) . 三解答題（15）（本題滿分12分）設, 證明.（16）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).（18）（本題滿分11分）設有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當時，級數(shù)收斂.（19）（本題滿分12分）設z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.（20）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.（21）（本題滿分9分） 設矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化.(22)（本題滿分9分）設A,B為隨機事件，且，令 求：（I）二維隨機變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關系數(shù)（23）（本題滿分9分）設總體X的分布函數(shù)為 其中未知參數(shù)為來自總體X的簡單隨機樣本，求：（I） 的矩估計量；（II） 的最大似然估計量.2004年數(shù)學一試題答案一、1. y=x-12.3.4.5.6.二、7.B 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A 13.C 14.A 三、15.【證法1】 對函數(shù)在a,b上應用拉格朗日中值定理，得 設，則， 當te時， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設，則 ， ,所以當xe時， 故單調(diào)減少，從而當時， ，即當時，單調(diào)增加.因此當時，即 ，故 .16.【詳解1】 由題設，飛機的質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度. 從飛機接觸跑道開始記時，設t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當時， 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機滑行的最長距離為 或由，知，故最長距離為當時，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當時，所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.17.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 18.【證】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實數(shù)根當x0時，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實數(shù)根由與知 ，故當時，.而正項級數(shù)收斂，所以當時，級數(shù)收斂.19.【詳解】 因為 ，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(9,3)是z(x,y)的極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(-9, -3)是z(x,y)的極大值點，極大值為z(-9, -3)= -3.20.【詳解1】 對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當a=0時， r(A)=10內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達式. （20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（I） 求a的值；（II） 求正交變換，把化成標準形；（III） 求方程=0的解.（21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.（22）（本題滿分9分）設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II）的概率密度（23）（本題滿分9分）設為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差2005年碩士研究生入學考試（數(shù)學一）答案一、1、2、3、4、5、 26、二、714C ABDBCBD三、15、【詳解】 令 ， .則 = 16、【詳解】 因為，所以當時，原級數(shù)絕對收斂，當時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而17、【詳解】 由題設圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =18、【詳解】 （I）令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上對f(x)分別應用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點，使得，于是 19、Y【詳解】 （I） l2 C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點且與C相接，則 .（II） 設，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關，故當時，總有. 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而20、【詳解】 （I） 二次型對應矩陣為 ，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標準形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).21、【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見此時Ax=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關，可作為其基礎解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設,則其通解為 為任意常數(shù).22、【詳解】 （I） 關于X的邊緣概率密度= =關于Y的邊緣概率密度= = （II） 令，1） 當時，；2） 當時， =; 3) 當時，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：23、【詳解】 由題設，知相互獨立，且，（I） = =（II） = = = = =2006年碩士研究生入學考試數(shù)學一試題一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） _. （2） 微分方程的通解是_（3）設是錐面的下側(cè)，則_.（4）點到平面的距離_（5）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 _（6）設隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 _.二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設函數(shù)具有二階導數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . （8）設為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . （9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. （10）設均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （11）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是(A) 若線性相關，則線性相關. (B) 若線性