勾股定理中的數(shù)學(xué)思想方法.doc

Http:/勾股定理中的數(shù)學(xué)思想方法勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著重要的作用它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，把數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么；逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形 勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)；它的逆定理則是從三角形三邊關(guān)系判定三角形是否是直角三角形的一個(gè)方法 學(xué)習(xí)勾股定理這一章，除了掌握上述兩個(gè)定理之外，還應(yīng)了解：這一章中蘊(yùn)含著哪些重要的數(shù)學(xué)思想方法？在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，若能正確地把握數(shù)學(xué)思想，則可思路開(kāi)闊，方法簡(jiǎn)便快捷，下面舉例說(shuō)明，供同學(xué)們參考一、數(shù)形結(jié)合思想勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的定理，它的驗(yàn)證和應(yīng)用，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想圖1例1如圖1是一種“羊頭”形圖案，其做法是：從正方形開(kāi)始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形和，然后依次類(lèi)推，若正方形1的邊長(zhǎng)為64cm，則正方形的邊長(zhǎng)為 cm析解：這是一類(lèi)關(guān)于“勾股樹(shù)”（國(guó)外叫做“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”）的探討題，主要考查靈活運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題的能力，這里只要由勾股定理的規(guī)律通過(guò)一系列的探索就可以得到答案是8例2有一直立標(biāo)桿，它的上部被風(fēng)吹折，桿頂著地，離桿腳20cm，修好后又被風(fēng)吹桿，因新斷處比前次低了5cm，且標(biāo)桿頂著地處比前次遠(yuǎn)10cm，求標(biāo)桿的高析解：依題意作圖如2，數(shù)形結(jié)合求解，設(shè)第一次吹折后下段AB的長(zhǎng)為xcm，上段BC的長(zhǎng)為ycm，第二次折后下段AD的長(zhǎng)為（x-5）cm，上段DE的長(zhǎng)為（y+5）cm，依題意得只要求出x+y的值即求出標(biāo)桿的高而不必單獨(dú)求x與y的值-得10（x+y）=500x+y=50故標(biāo)桿的高為50cm 評(píng)析：利用三邊的平方關(guān)系或輔助線或生活常識(shí)可獲得直角三角形，進(jìn)而可求邊長(zhǎng)或面積數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，它可以使抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象的圖形，從而處理起來(lái)，更直觀、容易，應(yīng)引起同學(xué)們的重視二、方程思想例3在印度數(shù)學(xué)家拜斯加羅的著作中，記載了一個(gè)有趣的“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺聲紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)； 能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問(wèn)題析解：此詩(shī)的大意是：在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一陣狂風(fēng)把荷花吹在水中淹沒(méi)了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，漁翁發(fā)現(xiàn)，落到湖底的荷花離根部有2尺遠(yuǎn)，如圖，你知道這個(gè)湖的水深是多少尺嗎？解答過(guò)程應(yīng)該是這個(gè)樣子的：設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理，可得，所以x=3.75，故這個(gè)湖的水深是3.75尺三、轉(zhuǎn)化思想例4如圖3所示，有一根高為的木柱，它的底面周長(zhǎng)為，為了營(yíng)造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞圈，一直纏到起點(diǎn)的正上方為止，問(wèn)：小明至少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的一根彩帶？分析與解：（1）將一張直角三角形的紙片在鉛筆上纏繞七圈，將紙片展開(kāi)，發(fā)現(xiàn)彩帶的長(zhǎng)相當(dāng)于直角三角形的斜邊長(zhǎng)（如圖4），可以利用勾股定理求出彩帶的長(zhǎng)為木柱的高，. 又木柱的底面周長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為在中，由勾股定理，得，因此彩帶的長(zhǎng)為（2）在木柱上均勻地纏繞圈，相當(dāng)于將木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方纏繞一根彩帶，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，對(duì)角線的長(zhǎng)為每段彩帶的長(zhǎng)（如圖5）為木柱的，.又為木柱展開(kāi)后的底面周長(zhǎng)，.在中，由勾股定理，得，因此，彩帶的長(zhǎng)為評(píng)析：遇到一些空間問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手實(shí)際操作一下，建立實(shí)物模型，這是建立空間概念的良好訓(xùn)練方法；而對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題中常用的思路四、分類(lèi)討論思想例5如圖6是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為6厘米、4厘米、3厘米的長(zhǎng)方題木塊一只螞蟻要從木塊的一定點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（ ）A.厘米 B.厘米 C. 厘米 D.9厘米分析：這個(gè)問(wèn)題是個(gè)空間問(wèn)題，應(yīng)該把他平面化所以將長(zhǎng)方體展開(kāi)是解決本題的關(guān)鍵分類(lèi)一：我將長(zhǎng)方體相鄰兩側(cè)面展開(kāi)可得圖7，由圖7，可得=109分類(lèi)二：我展開(kāi)的圖形和小敏的不一樣，我的展開(kāi)圖如圖8，根據(jù)圖8可得=85分類(lèi)三：我還有一種展開(kāi)的方法，請(qǐng)大家看圖9，這個(gè)時(shí)候我可得=97評(píng)析：同學(xué)們思考的都非常有道理，通過(guò)比較我們可以發(fā)現(xiàn)沿圖8的爬行路徑路程最短，所以厘米故選C五、整體思想例6：（課本題）已知a、b、c分別是RtABC的兩條直角邊和斜邊，且a+b=14，c=10，則SABC= 分析：一般的想法，要求直角三角形的面積，先求出其兩條直角邊a、b，則SABC即可求出，但這樣求a、b非常繁雜，甚至在現(xiàn)階段不可能，如果注意到：SABC=，那么只要求出ab這一整體就可以了解、由a+b=14，兩邊平方得：a2+2ab+b2=196，所以ab=根據(jù)勾股定理，a2+b2=c2所以，ab=48因此SABC=48例7：如圖10，長(zhǎng)為3厘米，長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為13厘米求正方形的面積分析：一般的想法，要求出正方形的面積，先求出其邊長(zhǎng)；要求出，先要求出好，現(xiàn)在我們就順著這個(gè)思路來(lái)求在中，所以，在中，為多少？數(shù)不夠用了！我們?cè)偃タ匆幌骂}目，是讓求正方形的面積，正方形的面積為，何必去求，只要求出這個(gè)“整體”就可以，原來(lái)正方形的面積為194，我們已經(jīng)求出來(lái)了！（解答過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們完成）評(píng)析：