高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7_4基本不等式及其應(yīng)用課件文北師大版

7 4基本不等式及其應(yīng)用 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 基本不等式成立的條件 2 等號成立的條件 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 知識梳理 a 0 b 0 a b 2 幾個重要的不等式 1 a2 b2 a b R 2ab 2 3 ab a b R 以上不等式等號成立的條件均為a b 1 設(shè)a 0 b 0 則a b的算術(shù)平均數(shù)為 幾何平均數(shù)為 3 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 2 基本不等式可敘述為兩個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)它們的幾何平均數(shù) 也可以敘述為兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項 不小于 2 如果和x y是定值p 那么當(dāng)且僅當(dāng)時 xy有最值 簡記 和定積最大 x y 大 4 利用基本不等式求最值問題 已知x 0 y 0 則 1 如果積xy是定值p 那么當(dāng)且僅當(dāng)時 x y有最值 簡記 積定和最小 x y 小 不等式的恒成立 能成立 恰成立問題 1 恒成立問題 若f x 在區(qū)間D上存在最小值 則不等式f x A在區(qū)間D上恒成立 若f x 在區(qū)間D上存在最大值 則不等式f x A成立 f x min A x D f x max B x D f x max A x D 若f x 在區(qū)間D上存在最小值 則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f x A恰在區(qū)間D上成立 f x A的解集為D 不等式f x B恰在區(qū)間D上成立 f x B的解集為D f x min B x D 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 教材改編 設(shè)x 0 y 0 且x y 18 則xy的最大值為A 80B 77C 81D 82 考點(diǎn)自測 答案 解析 x 0 y 0 當(dāng)且僅當(dāng)x y 9時 xy max 81 答案 解析 答案 解析 A q rpD p r q f x lnx在 0 上是增加的 4 若實(shí)數(shù)x y滿足xy 1 則x2 2y2的最小值為 答案 解析 5 教材改編 若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地 則矩形場地的最大面積是 m2 答案 解析 25 設(shè)矩形的一邊為xm 則另一邊為 20 2x 10 x m 當(dāng)且僅當(dāng)x 10 x 即x 5時 ymax 25 題型分類深度剖析 當(dāng)且僅當(dāng)3x 4 3x 即x 時 取等號 題型一利用基本不等式求最值 命題點(diǎn)1通過配湊法利用基本不等式 答案 解析 1 答案 解析 因為x0 答案 解析 例2已知a 0 b 0 a b 1 則的最小值為 命題點(diǎn)2通過常數(shù)代換法利用基本不等式 答案 解析 4 a 0 b 0 a b 1 引申探究 解答 當(dāng)且僅當(dāng)a b 時 取等號 解答 解答 a 2b 3 思維升華 1 應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提 一正 二定 三相等 所謂 一正 是指正數(shù) 二定 是指應(yīng)用基本不等式求最值時 和或積為定值 三相等 是指滿足等號成立的條件 2 在利用基本不等式求最值時 要根據(jù)式子的特征靈活變形 配湊出積 和為常數(shù)的形式 然后再利用基本不等式 3 條件最值的求解通常有兩種方法 一是消元法 即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系 然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解 二是將條件靈活變形 利用常數(shù) 1 代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子 然后利用基本不等式求解最值 跟蹤訓(xùn)練1 1 2016 西藏民族學(xué)院附中期末 若正數(shù)x y滿足x 3y 5xy 則3x 4y的最小值是 答案 解析 3x 4y的最小值是5 當(dāng)且僅當(dāng)y 時等號成立 3x 4y min 5 2 已知x y 0 2x 3 y 若 m 0 的最小值為3 則m 答案 解析 4 由2x 3 y 得x y 3 解得m 4 題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3某廠家擬在2016年舉行促銷活動 經(jīng)調(diào)查測算 該產(chǎn)品的年銷量 即該廠的年產(chǎn)量 x萬件與年促銷費(fèi)用m m 0 萬元滿足x 3 k為常數(shù) 如果不搞促銷活動 那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件 已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元 每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元 廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1 5倍 產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金 1 將2016年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù) 解答 由題意知 當(dāng)m 0時 x 1 萬件 1 3 k k 2 2 該廠家2016年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時 廠家利潤最大 y 8 29 21 解答 故該廠家2016年的促銷費(fèi)用投入3萬元時 廠家的利潤最大為21萬元 思維升華 1 設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù) 2 根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后 只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值 3 在求函數(shù)的最值時 一定要在定義域 使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍 內(nèi)求解 跟蹤訓(xùn)練2 1 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品 每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元 若每批生產(chǎn)x件 則平均倉儲時間為天 且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元 為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小 每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 件 答案 解析 80 設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元 由題意得 2 某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn) 據(jù)市場分析 每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y 單位 萬元 與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x 單位 年 的關(guān)系為y x2 18x 25 x N 則每臺機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是 萬元 8 答案 解析 題型三基本不等式的綜合應(yīng)用 命題點(diǎn)1基本不等式與其他知識交匯的最值問題 例4 1 2016 菏澤一模 已知直線ax by c 1 0 b c 0 經(jīng)過圓x2 y2 2y 5 0的圓心 則的最小值是A 9B 8C 4D 2 答案 解析 圓x2 y2 2y 5 0化成標(biāo)準(zhǔn)方程 得x2 y 1 2 6 所以圓心為C 0 1 因為直線ax by c 1 0經(jīng)過圓心C 所以a 0 b 1 c 1 0 即b c 1 因為b c 0 2 2016 山西忻州一中第一次聯(lián)考 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差是d 其前n項和是Sn 若a1 d 1 則的最小值是 答案 解析 當(dāng)且僅當(dāng)n 4時取等號 命題點(diǎn)2求參數(shù)值或取值范圍 答案 解析 m 12 m的最大值為12 答案 解析 設(shè)g x x x N 則g 2 6 g 3 對任意x N f x 3恒成立 即 3恒成立 即知a x 3 思維升華 1 應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立 對所給不等式 或式子 變形 然后利用基本不等式求解 2 條件不等式的最值問題 通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解 3 求參數(shù)的值或范圍 觀察題目特點(diǎn) 利用基本不等式確定相關(guān)成立條件 從而得參數(shù)的值或范圍 跟蹤訓(xùn)練3 1 2016 福建四地六校聯(lián)考 已知函數(shù)f x x 2的值域為 0 4 則a的值是 答案 解析 由題意可得a 0 幾何畫板展示 答案 解析 由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 滿足a7 a6 2a5 可得a1q6 a1q5 2a1q4 所以q2 q 2 0 解得q 2或q 1 舍去 因為 4a1 所以qm n 2 16 所以2m n 2 24 所以m n 6 又m n 6 解得m 2 n 4 符合題意 利用基本不等式求最值 現(xiàn)場糾錯系列8 利用基本不等式求最值時要注意條件 一正二定三相等 多次使用基本不等式要驗證等號成立的條件 錯解展示 現(xiàn)場糾錯 糾錯心得 返回 解析 1 x 0 y 0 返回 課時作業(yè) 1 已知a b R 且ab 0 則下列結(jié)論恒成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 答案 解析 因為a b R時 都有a2 b2 2ab a b 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 因為lg2x lg8y lg2 所以x 3y 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 若2x 2y 1 則x y的取值范圍是A 0 2 B 2 0 C 2 D 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知x 0 y 0 且4xy x 2y 4 則xy的最小值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 當(dāng)且僅當(dāng)a 5c 0 ab 1 a a b 1時 等號成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2016 唐山一模 已知x y R且滿足x2 2xy 4y2 6 則z x2 4y2的取值范圍為 答案 解析 4 12 x2 4y2 4 當(dāng)且僅當(dāng)x 2y時取等號 又 x 2y 2 6 2xy 0 即2xy 6 z x2 4y2 6 2xy 12 當(dāng)且僅當(dāng)x 2y時取等號 綜上可知4 x2 4y2 12 9 2016 濰坊模擬 已知a b為正實(shí)數(shù) 直線x y a 0與圓 x b 2 y 1 2 2相切 則的取值范圍是 答案 解析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 直線x y a 0與圓 x b 2 y 1 2 2相切 a b 1 2 即a b 1 又 a b為正實(shí)數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 答案 解析 由題意知3a 3b 3 即3a b 3 a b 1 a 0 b 0 11 2016 東莞模擬 函數(shù)y loga x 3 1 a 0 且a 1 的圖像恒過定點(diǎn)A 若點(diǎn)A在直線mx ny 1 0上 其中m n均大于0 則的最小值為 答案 解析 8 y loga x 3 1的圖像恒過定點(diǎn)A 2 1 由A在直線mx ny 1 0上 得 2m n 1 0 即2m n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 已知x 0 y 0 且2x 5y 20 1 求u lgx lgy的最大值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 0 y 0 由基本不等式 得2x 5y 2 2x 5y 20 2 20 xy 10 當(dāng)且僅當(dāng)2x 5y時 等號成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此時xy有最大值10 u lgx lgy lg xy lg10 1 當(dāng)x 5 y 2時 u lgx lgy有最大值1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 0 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 經(jīng)市場調(diào)查 某旅游城市在過去的一個月內(nèi) 以30天計 第t天 1 t 30 t N 的旅游人數(shù)f t 萬人 近似地滿足f t 4 而人均消費(fèi)g t 元 近似地滿足g t 120 t 20 1 求該城市的旅游日收益W t 萬元 與時間t 1 t 30 t N 的函數(shù)關(guān)系式 解答 W t f t g t 4 120 t 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8