第十六章量子力學(xué)基礎(chǔ).doc

第十六章 量子力學(xué)基礎(chǔ)一、 基本要求1、 了解波函數(shù)的概念及其統(tǒng)計(jì)意義 ，理解微觀粒子的波動(dòng)性2、了解一維定態(tài)的薛定諤方程及其波函數(shù)解一般必須滿足的條件，以及量子力學(xué)中用薛定諤方程處理一維無(wú)限深勢(shì)阱、一維諧振子等微觀物理問(wèn)題的方法 。3、了解量子力學(xué)對(duì)氫原子問(wèn)題處理的基本方法，理解描述氫原子量子態(tài)的三個(gè)量子數(shù)（）的函義和能級(jí)公式。了解核外電子概率分布的函數(shù)形式和意義。二、 基本內(nèi)容本章重點(diǎn)：建立量子物理的基本概念，了解微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本特征、波函數(shù)的概念及其統(tǒng)計(jì)解釋、一維定態(tài)的薛定諤方程及其應(yīng)用。本章難點(diǎn)：波函數(shù)及其核外電子概率分布的意義。（一）波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)意義：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)，是用波函數(shù) 來(lái)描述的，這個(gè)波函數(shù)所反映的微觀粒子波動(dòng)性，就是德布羅意波。（量子力學(xué)的基本假設(shè)之一） 玻恩指出：德布羅意波或波函數(shù) 不代表實(shí)際物理量的波動(dòng)，而是描述粒子在空間的概率分布的概率波。 量子力學(xué)中描述微觀粒子的波函數(shù)本身是沒(méi)有直接物理意義的, 具有直接物理意義的是波函數(shù)的模的平方，它代表了粒子出現(xiàn)的概率。 微觀粒子的概率波的波函數(shù)是： 概率密度： 波函數(shù)模的平方代表時(shí)刻t，在處附近空間單位體積中粒子出現(xiàn)的幾率。因此也被稱為概率密度。即某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近在體積元中的粒子的概率為：或 波函數(shù)必須滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件：?jiǎn)沃怠⑦B續(xù)、有限。波函數(shù)必須滿足歸一化條件：（二）薛定諤方程：1、含時(shí)薛定諤方程： 量子力學(xué)中微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來(lái)描述，決定粒子狀態(tài)變化的方程是薛定諤方程。一般形式的薛定諤方程，也稱含時(shí)薛定諤方程，即：式中是粒子的質(zhì)量，是否粒子在外力場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)。2、定態(tài)薛定諤方程： 當(dāng)粒子在穩(wěn)定場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即時(shí)，為定態(tài)薛定諤方程：其特解為：概率密度分布為： （三）一維勢(shì)阱和勢(shì)壘問(wèn)題： 1、一維無(wú)限深方勢(shì)阱： 對(duì)于一勢(shì)阱有維無(wú)限深方 U(x)a0定態(tài)薛定諤方程為： 令x 薛定諤方程的解為： 其中都是常量，（為積分常量），其中分別用歸一化條件和邊界條件確定。根據(jù) ，可以確定a = 0或 于是上式改寫為：根據(jù)， 可以確定， 根據(jù)歸一化條件，確定 ， 得能級(jí)公式為：由此式知：一維無(wú)限深方勢(shì)阱的能譜是分立譜, 這個(gè)分立的能譜就是量子化了的能級(jí)。當(dāng)時(shí)，粒子處于最低能量狀態(tài)，稱為基態(tài)，其基態(tài)能量（零點(diǎn)能）為：激發(fā)態(tài)能量：一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的 。波動(dòng)方程：波函數(shù)：概率密度：能量： 量子數(shù)：勢(shì)阱中相鄰能級(jí)之差：能級(jí)相對(duì)間隔：當(dāng) 能量視為連續(xù)變化。與能量本征值 相對(duì)應(yīng)的本征函數(shù) 為： 歸一化波函數(shù)為： 2、勢(shì)壘穿透和隧道效應(yīng)： 有限高的勢(shì)壘： 在P區(qū)和S的形式區(qū)薛定諤方程為： 在Q區(qū)粒子應(yīng)滿足下面的方程式： 用分離變量法求解，得： (P區(qū)) (Q區(qū)) （S區(qū)）在P區(qū)，勢(shì)壘反 射系數(shù)： 在Q區(qū)，勢(shì)壘透射系數(shù)： 粒子能夠穿透比其動(dòng)能高的勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。經(jīng)典理論：（1）E 的粒子， 越過(guò)勢(shì)壘。 （2）E 的粒子，也存在被彈回的概率 反射波。 （2）E 的粒子，也可能越過(guò)勢(shì)壘到達(dá)S區(qū) 隧道效應(yīng)。（四）一維諧振子問(wèn)題 1、一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程 ：為系統(tǒng)的勢(shì)能：簡(jiǎn)諧振子的能量為： 將勢(shì)能形式代入定態(tài)薛定諤方程，得： 2、一維諧振子的能量本征值： 為使波函數(shù)量滿足單值、連續(xù)、有限的條件，能量本征值只能取： 基態(tài)能量（零點(diǎn)能）為： （五）氫原子 1、角動(dòng)量的本征函數(shù)和相應(yīng)的量子數(shù)： 動(dòng)量的本征值為：L稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù)，表示電子相對(duì)于原子核的角動(dòng)量的大小。核外電子相對(duì)于核的角動(dòng)量，稱為軌道角動(dòng)量。電子軌道角動(dòng)量的z分量的大?。?0, 1, 2, , 稱為磁量子數(shù)。軌道角動(dòng)量在空間不能任意取向，而只能取某些特定方向的性質(zhì)，稱為角動(dòng)量的空間量子化。2、氫原子的能級(jí)： 氫原子的能級(jí)公式：從能級(jí)公式可以看到，E = 0，這就是電離。 當(dāng)n = 1，即氫原子處于基態(tài)時(shí)，能量為： 3、能量的本征函數(shù)和能級(jí)的簡(jiǎn)并度： 對(duì)于任何一個(gè)主量子數(shù)n，共有： 個(gè)量子態(tài)都對(duì)應(yīng)于相同的能量本征值 ，這種情形就稱為能級(jí) 是簡(jiǎn)并的，或者更具體地說(shuō)，定態(tài)能級(jí)的簡(jiǎn)并度是。 三、 類氫離子能級(jí)公式 ： （六）氫原子中電子的概率分布 1、電子概率的徑向分布： 在半徑為r到r+dr的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率為： 式中是電子出現(xiàn)在相應(yīng)球殼內(nèi)的概率密度，稱為電子概率的徑向分布函數(shù)。 可以證明，對(duì)于n-l-1 = 0的所有量子態(tài)的最概然半徑可以表示為： 2、電子概率的角度分布函數(shù)：立體角dW = sinq dq dj內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率為 ：式中(q, j)是電子出現(xiàn)在相應(yīng)立體角內(nèi)的概率密度，稱為電子概率的角度分布函數(shù)。 電子概率的角度分布函數(shù)(q, j)與j無(wú)關(guān),所以角度分布函數(shù)(q, j)是以z軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的。 三、問(wèn)題討論1、數(shù)歸一化波函是什么意思？答：波函數(shù)絕對(duì)值的平方是在處的概率密度，即在此處附近空間單位體積中粒子發(fā)現(xiàn)的概率的大小。數(shù)歸一化波函是指概率密度在全空間中的積分為1，即：上式在物理上，是指在整個(gè)空間發(fā)現(xiàn)粒子的概率為1。因?yàn)橹灰诳臻g有一個(gè)粒子，遍及整個(gè)空間總能找到這個(gè)粒子。2、勢(shì)阱中的粒子（包括諧振子）處于激發(fā)態(tài)時(shí)的能量都是完全確定的沒(méi)有不確定能量。這意味著粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命將為多長(zhǎng)？它們自己能從一個(gè)態(tài)躍遷到另一個(gè)態(tài)嗎？答：粒子所處的狀態(tài)的是完全確定的，就是說(shuō)在這樣的確態(tài)上能量E的不確定度為零，即：，能量E的不確定度和壽命的不確定度之間的不確定度關(guān)系為： 現(xiàn)已知，就要求，也就是說(shuō)，粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命是無(wú)限長(zhǎng)，如果沒(méi)有外界擾亂動(dòng)，它們自己不能能從一個(gè)態(tài)躍遷到另一個(gè)態(tài)。四、典型例題 1、粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)（勢(shì)阱寬為），若其狀態(tài)對(duì)應(yīng)于波函數(shù)，求粒子出現(xiàn)的概率最大有哪些位置？解：出現(xiàn)粒子的概率密度為： 對(duì)上海式求極值：則 ， ， ， 其中：時(shí)， 時(shí)， 由邊界條件知：時(shí)， 已出勢(shì)阱。故：處，粒子出現(xiàn)的概率最大。2、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)試求：粒子在此和之間被找到的概率，當(dāng)：（1） 粒子處于基態(tài)時(shí)；（2） 粒子處于n=2的狀態(tài)時(shí)。解：（1）當(dāng)n1時(shí)，概率為： （2）當(dāng)n=2時(shí)，概率為： 3、一個(gè)細(xì)胞的線度為，其中一粒子質(zhì)量為，按一維無(wú)限深方勢(shì)阱計(jì)算，這個(gè)粒子的和的能級(jí)和它們的差各是多少？ 解： 五、自我檢測(cè) 1、一維無(wú)限深方勢(shì)阱寬為，粒子的波函數(shù)為 ，則粒子出現(xiàn)的概率最大位置是 。 2、若氫原子處在的狀態(tài)上，則有此時(shí)氫原子的能量是 ，角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向上的分量的可能值是 。 3、當(dāng)主量子數(shù) 時(shí)，角量子數(shù)可能有的值是 ；當(dāng)角量子數(shù)時(shí)，磁量子數(shù)可能有的值是。4、描述粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)，則表示；需要滿足的條件為：；其歸一化條件為：。5、已知粒子在一維矩形方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為，那么粒子在出現(xiàn)的概率密度為：（）A、 B、 C、 D、6、在一維矩形方勢(shì)阱中，求粒子處在第一激發(fā)態(tài)（n2）時(shí)的能量以及在勢(shì)阱中何處出現(xiàn)的的概率最大？7、氫原子中的電子處于、的狀態(tài)，問(wèn)：（1）該電子角動(dòng)量L的值為多少？（2）這角動(dòng)量L在z軸的分量為多少？8、設(shè)有一電子在寬度為的一維無(wú)限深方勢(shì)阱中，求：（1）電子在最低能量級(jí)的能量；（2）當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)（n2）時(shí)，在勢(shì)阱中何處出現(xiàn)