高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)上篇專題整合突破專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性極值最值問題課件文

第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值問題 高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有 1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ) 要求是B級 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 常用導(dǎo)數(shù)公式 一般不單獨(dú)設(shè)置試題 是解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的第一步 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容 要求是B級 對應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值要達(dá)到相等的高度 真題感悟 考點(diǎn)整合 1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 1 函數(shù)單調(diào)性的判定方法 設(shè)函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 如果f x 0 則y f x 在該區(qū)間為增函數(shù) 如果f x 0 則y f x 在該區(qū)間為減函數(shù) 2 函數(shù)單調(diào)性問題包括 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 常常通過求導(dǎo) 轉(zhuǎn)化為解方程或不等式 常用到分類討論思想 利用單調(diào)性證明不等式或比較大小 常用構(gòu)造函數(shù)法 2 極值的判別方法 當(dāng)函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處連續(xù)時 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極大值 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極小值 也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是點(diǎn)x0兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號 而不是f x 0 此外 函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn) 而且極值是一個局部概念 極值的大小關(guān)系是不確定的 即有可能極大值比極小值小 3 閉區(qū)間上函數(shù)的最值 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 一定有最大值和最小值 其最大值是區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者 最小值是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小者 探究提高討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)質(zhì)就是討論不等式的解集的情況 大多數(shù)情況下 這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論 常需依據(jù)以下標(biāo)準(zhǔn)分類討論 1 二次項系數(shù)為0 為正 為負(fù) 目的是討論開口方向 2 判別式的正負(fù) 目的是討論對應(yīng)二次方程是否有解 3 討論兩根差的正負(fù) 目的是比較根的大小 4 討論兩根與定義域的關(guān)系 目的是根是否在定義域內(nèi) 另外 需優(yōu)先判斷能否利用因式分解法求出根 微題型2 已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍 例1 2 已知a R 函數(shù)f x x2 ax ex x R e為自然對數(shù)的底數(shù) 1 當(dāng)a 2時 求函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 2 若函數(shù)f x 在 1 1 上單調(diào)遞增 求a的取值范圍 3 函數(shù)f x 是否為R上的單調(diào)函數(shù) 若是 求出a的取值范圍 若不是 請說明理由 2 因?yàn)楹瘮?shù)f x 在 1 1 上單調(diào)遞增 所以f x 0對x 1 1 都成立 因?yàn)閒 x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex 所以 x2 a 2 x a ex 0對x 1 1 都成立 3 若函數(shù)f x 在R上單調(diào)遞減 則f x 0對x R都成立 即 x2 a 2 x a ex 0對x R都成立 因?yàn)閑x 0 所以x2 a 2 x a 0對x R都成立 所以 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 這是不可能的 故函數(shù)f x 不可能在R上單調(diào)遞減 若函數(shù)f x 在R上單調(diào)遞增 則f x 0對x R都成立 即 x2 a 2 x a ex 0對x R都成立 因?yàn)閑x 0 所以x2 a 2 x a 0對x R都成立 而 a 2 2 4a a2 4 0 故函數(shù)f x 不可能在R上單調(diào)遞增 綜上 可知函數(shù)f x 不可能是R上的單調(diào)函數(shù) 探究提高 1 已知函數(shù)的單調(diào)性 求參數(shù)的取值范圍 應(yīng)用條件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出參數(shù)的取值范圍 一般可用不等式恒成立的理論求解 應(yīng)注意參數(shù)的取值是f x 不恒等于0的參數(shù)的范圍 2 可導(dǎo)函數(shù)f x 在某個區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增 或遞減 轉(zhuǎn)化為恒成立問題時 常忽視等號這一條件 導(dǎo)致與正確的解法擦肩而過 注意 這里 一定不能省略 解 1 當(dāng)a 0時 f x x xlnx f x lnx 所以f e 0 f e 1 所以曲線y f x 在點(diǎn) e f e 處的切線方程為y x e 即x y e 0 熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 例2 2016 蘇 錫 常 鎮(zhèn)調(diào)研 設(shè)函數(shù)f x x 2ex k x 2lnx k為實(shí)常數(shù) e 2 71828 是自然對數(shù)的底數(shù) 1 當(dāng)k 1時 求函數(shù)f x 的最小值 2 若函數(shù)f x 在 0 4 內(nèi)存在三個極值點(diǎn) 求k的取值范圍 探究提高極值點(diǎn)的個數(shù) 一般是使f x 0方程根的個數(shù) 一般情況下導(dǎo)函數(shù)若可以化成二次函數(shù) 我們可以利用判別式研究 若不是 我們可以借助導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)及圖象研究 訓(xùn)練2 設(shè)函數(shù)f x ax3 2x2 x c 1 當(dāng)a 1 且函數(shù)圖象過 0 1 時 求函數(shù)的極小值 2 若f x 在R上無極值點(diǎn) 求a的取值范圍 熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 例3 2015 南京 鹽城模擬 設(shè)函數(shù)f x x3 kx2 x k R 1 當(dāng)k 1時 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 當(dāng)k 0時 求函數(shù)f x 在 k k 上的最小值m和最大值M 解f x 3x2 2kx 1 1 當(dāng)k 1時 f x 3x2 2x 1 4 12 8 0 所以f x 0恒成立 故f x 在R上單調(diào)遞增 故函數(shù)f x 的單調(diào)增區(qū)間為 無單調(diào)減區(qū)間 2 當(dāng)k 0時 對 x k k 都有f x f k x3 kx2 x k3 k3 k x2 1 x k 0 故f x f k f x f k x3 kx2 x k3 k3 k x k x2 2kx 2k2 1 x k x k 2 k2 1 0 故f x f k 而f k k 0 f k 2k3 k 0 所以f x max f k 2k3 k f x min f k k 探究提高含參數(shù)的函數(shù)的極值 最值 問題常在以下情況下需要分類討論 1 導(dǎo)數(shù)為零時自變量的大小不確定需要討論 2 導(dǎo)數(shù)為零的自變量是否在給定的區(qū)間內(nèi)不確定需要討論 3 端點(diǎn)處的函數(shù)值和極值大小不確定需要討論 4 參數(shù)的取值范圍不同導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化不確定需要討論 1 如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個 這些單調(diào)區(qū)間不能用 連接 而只能用逗號或 和 字隔開 2 可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間 a b 上的最值 就是函數(shù)在該區(qū)間上的極值及端點(diǎn)值中的最大值與最小值 3 可導(dǎo)函數(shù)極值的理解 1 函數(shù)在定義域上的極大值與極小值的大小關(guān)系不確定 也有可能極小值大于極大值 2 對于可導(dǎo)函數(shù)f x f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù)f x0 0 是 f x 在x x0處取得極值 的必要不充分條件 3 注意導(dǎo)函數(shù)的圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系 導(dǎo)函數(shù)由正變負(fù)的零點(diǎn)是原函數(shù)的極大值點(diǎn) 導(dǎo)函數(shù)由負(fù)變正的零點(diǎn)是原函數(shù)的極小值點(diǎn) 4 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)中含有帶參數(shù)的有理因式 因式根