高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6_2 等差數(shù)列及其前n項和課件 理 蘇教版

6 2等差數(shù)列及其前n項和 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 等差數(shù)列的定義一般地 如果一個數(shù)列 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 通常用字母表示 2 等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d 那么它的通項公式是 3 等差中項由三個數(shù)a A b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列 這時 A叫做a與b的 知識梳理 從第二項起 每一項減去它的前一項所得的差都 等于同一個常數(shù) 公差 d an a1 n 1 d 等差中項 4 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等差數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則 a2n 也是等差數(shù)列 公差為 4 若 an bn 是等差數(shù)列 則 pan qbn 也是等差數(shù)列 5 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則ak ak m ak 2m k m N 是公差為的等差數(shù)列 6 數(shù)列Sm S2m Sm S3m S2m 構(gòu)成等差數(shù)列 n m d ak al am an 2d md 5 等差數(shù)列的前n項和公式設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 其前n項和Sn 或Sn 6 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn An2 Bn A B為常數(shù) 7 等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列 an 中 a1 0 d0 則Sn存在最值 大 小 等差數(shù)列的四種判斷方法 1 定義法 an 1 an d d是常數(shù) an 是等差數(shù)列 2 等差中項法 2an 1 an an 2 n N an 是等差數(shù)列 3 通項公式 an pn q p q為常數(shù) an 是等差數(shù)列 4 前n項和公式 Sn An2 Bn A B為常數(shù) an 是等差數(shù)列 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù) 則這個數(shù)列是等差數(shù)列 2 等差數(shù)列 an 的單調(diào)性是由公差d決定的 3 等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù) 4 已知等差數(shù)列 an 的通項公式an 3 2n 則它的公差為 2 考點(diǎn)自測 1 教材改編 設(shè)Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 若a3 3 S9 S6 27 則該數(shù)列的首項a1 答案 解析 2 教材改編 已知五個數(shù)成等差數(shù)列 它們的和為5 平方和為 則這五個數(shù)的積為 設(shè)第三個數(shù)為a 公差為d 則這五個數(shù)分別為a 2d a d a a d a 2d 由已知條件得 答案 解析 3 2016 全國乙卷 已知等差數(shù)列 an 前9項的和為27 a10 8 則a100 得a5 3 而a10 8 因此公差d 1 a100 a10 90d 98 答案 解析 98 4 設(shè)數(shù)列 an 是等差數(shù)列 若a3 a4 a5 12 則a1 a2 a7 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 答案 解析 28 5 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 則當(dāng)n 時 an 的前n項和最大 因為數(shù)列 an 是等差數(shù)列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 故當(dāng)n 8時 其前n項和最大 答案 解析 8 題型分類深度剖析 題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1 1 2016 北京 已知 an 為等差數(shù)列 Sn為其前n項和 若a1 6 a3 a5 0 則S6 a3 a5 2a4 0 a4 0 又a1 6 a4 a1 3d 0 d 2 答案 解析 6 2 2016 徐州 宿遷模擬 已知公差為d的等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若 3 則的值為 答案 解析 等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法 1 等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d 然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程 組 求解 2 等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式 共涉及五個量a1 an d n Sn 知其中三個就能求另外兩個 體現(xiàn)了用方程的思想解決問題 思維升華 跟蹤訓(xùn)練1 2016 江蘇 已知 an 是等差數(shù)列 Sn是其前n項和 若a1 3 S5 10 則a9的值是 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 答案 解析 20 題型二等差數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列 an 中 a1 an 2 n 2 n N 數(shù)列 bn 滿足bn n N 1 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 因為an 2 n 2 n N bn n N 證明 所以數(shù)列 bn 是以 為首項 1為公差的等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 中的最大項和最小項 并說明理由 由 1 知bn n 所以當(dāng)n 3時 an取得最小值 1 當(dāng)n 4時 an取得最大值3 解答 引申探究例2中 若條件變?yōu)閍1 nan 1 n 1 an n n 1 試求數(shù)列 an 的通項公式 解答 等差數(shù)列的四個判定方法 1 定義法 證明對任意正整數(shù)n都有an 1 an等于同一個常數(shù) 2 等差中項法 證明對任意正整數(shù)n都有2an 1 an an 2后 可遞推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根據(jù)定義得出數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 通項公式法 得出an pn q后 得an 1 an p對任意正整數(shù)n恒成立 根據(jù)定義判定數(shù)列 an 為等差數(shù)列 4 前n項和公式法 得出Sn An2 Bn后 根據(jù)Sn an的關(guān)系 得出an 再使用定義法證明數(shù)列 an 為等差數(shù)列 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2 1 在數(shù)列 an 中 若a1 1 a2 n N 則該數(shù)列的通項為 答案 解析 2 已知等差數(shù)列 an 中 a4 a6 10 若前5項的和S5 5 則其公差為 因為a4 a6 10 所以2a5 10 則a5 5 又S5 5a3 5 故a3 1 從而2d a5 a3 4 故d 2 答案 解析 2 由an 2 2an 1 an 2 得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首項為1 公差為2的等差數(shù)列 3 數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 設(shè)bn an 1 an 證明 bn 是等差數(shù)列 證明 由 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 于是 1 ak 1 ak 1 2k 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通項公式為an n2 2n 2 求 an 的通項公式 解答 題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點(diǎn)1等差數(shù)列項的性質(zhì)例3 1 2015 廣東 在等差數(shù)列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 則a2 a8 因為 an 是等差數(shù)列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 所以a5 5 故a2 a8 2a5 10 答案 解析 10 2 已知 an bn 都是等差數(shù)列 若a1 b10 9 a3 b8 15 則a5 b6 因為 an bn 都是等差數(shù)列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 答案 解析 21 命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例4 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且S3 12 S9 45 則S12 因為 an 是等差數(shù)列 所以S3 S6 S3 S9 S6 S12 S9成等差數(shù)列 所以2 S6 S3 S3 S9 S6 即2 S6 12 12 45 S6 解得S6 3 又2 S9 S6 S6 S3 S12 S9 即2 45 3 3 12 S12 45 解得S12 114 答案 解析 114 2 在等差數(shù)列 an 中 a1 2018 其前n項和為Sn 若 2 則S2018的值為 由題意知 數(shù)列 為等差數(shù)列 其公差為1 2018 2017 1 S2018 2018 答案 解析 2018 等差數(shù)列的性質(zhì) 1 項的性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 am an m n d d m n 其幾何意義是點(diǎn) n an m am 所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差 2 和的性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 Sn為其前n項和 則 S2n n a1 a2n n an an 1 S2n 1 2n 1 an 思維升華 跟蹤訓(xùn)練3 1 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 則該數(shù)列前11項和S11 答案 解析 88 2 等差數(shù)列 an 與 bn 的前n項和分別為Sn和Tn 若 則 答案 解析 考點(diǎn)分析公差不為0的等差數(shù)列 求其前n項和與最值在高考中時常出現(xiàn) 題型有小題 也有大題 難度不大 典例1 1 在等差數(shù)列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 則此數(shù)列前10項的和S10 答案 解析 等差數(shù)列的前n項和及其最值 高頻小考點(diǎn)6 45 由題意得a3 a8 9 2 在等差數(shù)列 an 中 S10 100 S100 10 則S110 答案 解析 110 方法一設(shè)數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d 所以a11 a100 2 典例2在等差數(shù)列 an 中 已知a1 20 前n項和為Sn 且S10 S15 求當(dāng)n取何值時 Sn取得最大值 并求出它的最大值 規(guī)范解答 解 a1 20 S10 S15 即當(dāng)n 12時 an 0 當(dāng)n 14時 an 0 當(dāng)n 12或n 13時 Sn取得最大值 得a13 0 n N 當(dāng)n 12或n 13時 Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 方法三由S10 S15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 當(dāng)n 12或n 13時 Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 課時作業(yè) 1 教材改編 在等差數(shù)列 an 中 a3 7 a5 a2 6 則a6 an 是等差數(shù)列 設(shè)公差為d 3d a5 a2 6 則a6 a3 3d 7 6 13 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 教材改編 設(shè)Sn是等差數(shù)列 an 的前n項和 已知a2 3 a6 11 則S7 答案 解析 49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 數(shù)列 an 的首項為3 bn 為等差數(shù)列 且bn an 1 an n N 若b3 2 b10 12 則a8 設(shè) bn 的公差為d b10 b3 7d 12 2 14 d 2 b3 2 b1 b3 2d 2 4 6 b1 b2 b7 7b1 7 6 21 2 0 又b1 b2 b7 a2 a1 a3 a2 a8 a7 a8 a1 a8 3 0 a8 3 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 在等差數(shù)列 an 中 a9 a12 6 則數(shù)列 an 的前11項和S11 答案 解析 方法一由a1 8d a1 11d 6 得a1 5d 12 a1 12 5d 又S11 11a1 11a1 55d 11 12 5d 55d 132 方法二由a9 a12 6 得2a9 a12 12 由等差數(shù)列的性質(zhì)得 a6 a12 a12 12 a6 12 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 已知數(shù)列 an 滿足an 1 an 且a1 5 設(shè) an 的前n項和為Sn 則使得Sn取得最大值的序號n的值為 答案 解析 由題意可知數(shù)列 an 是首項為5 公差為 的等差數(shù)列 該數(shù)列前7項是正數(shù)項 第8項是0 從第9項開始是負(fù)數(shù)項 所以Sn取得最大值時 n 7或n 8 7或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2016 南通模擬 已知等差數(shù)列 an 滿足a2 3 Sn Sn 3 51 n 3 Sn 100 則n的值為 答案 解析 由Sn Sn 3 51 得an 2 an 1 an 51 所以an 1 17 又a2 3 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2015 安徽 已知數(shù)列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 則數(shù)列 an 的前9項和等于 答案 解析 由題意知數(shù)列 an 是以1為首項 以為公差的等差數(shù)列 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 設(shè)數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 10 n N 則 a1 a2 a15 由an 2n 10 n N 知 an 是以 8為首項 2為公差的等差數(shù)列 又由an 2n 10 0 得n 5 當(dāng)n 5時 an 0 當(dāng)n 5時 an 0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a15 20 110 130 答案 解析 130 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 設(shè)等差數(shù)列 an bn 的前n項和分別為Sn Tn 若對任意自然數(shù)n都有的值為 答案 解析 an bn 為等差數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 2016 蘇州暑假測試 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 且an an 1 an 1 2an 1an 1 n 2 則a2016 答案 解析 又a1 1 a2 所以數(shù)列 是以1為首項 1為公差的等差數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 若數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且滿足an 2SnSn 1 0 n 2 a1 1 求證 數(shù)列是等差數(shù)列 證明 當(dāng)n 2時 由an 2SnSn 1 0 得Sn Sn 1 2SnSn 1 故是首項為2 公差為2的等差數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 求數(shù)列 an 的通項公式 解答 當(dāng)n 2時 當(dāng)n 1時 a1 不適合上式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 已知數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) 前n項和為Sn 且滿足2Sn a n 4 n N 1 求證 數(shù)列 an 為等差數(shù)列 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 當(dāng)n 1時 有2a1 1 4 即 2a1 3 0 當(dāng)n 2時 有2Sn 1 n 5 又2Sn n 4 因此an 1 an 1或an 1 an 1 若an 1 an 1 則an an 1 1 而a1 3 所以a2 2 這與數(shù)列 an 的各項均為正數(shù)相矛盾 所以an 1 an 1 即an an 1 1 因此數(shù)列 an 是首項為3 公差為1的等差數(shù)列 解得a1 3 a1 1舍去 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 求數(shù)列 an 的通項公式 解答 由 1 知a1 3 d 1 所以數(shù)列 an 的通項公式an 3 n 1 1 n 2 即an n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1