關于幾類特殊矩陣特征值的討論.doc

精品文檔 1 歡迎下載 學士學位論文 設計 學士學位論文 設計 BachelorBachelor s s ThesisThesis 論文題目 關于幾類特殊矩陣特征值的討論 作者姓名 學號 2008111010243 所在院系數(shù)學與統(tǒng)計學院 學科專業(yè)名稱數(shù)學與應用數(shù)學 導師及職稱傅朝金 教授 論文答辯時間2012 年 5 月 5 日 編號 2012110243 研究類型理論研究 分類號 O151 21 精品文檔 2 歡迎下載 學士學位論文 設計 誠信承諾書 中文題目 關于幾類特殊矩陣特征值的討論 外文題目 Discussion on some special classes of matrix eigenvalue 學生姓名學生學號 2008111010243 院系專業(yè) 數(shù)學與統(tǒng)計學院 數(shù)學與應用數(shù)學 學生班級0802 班 學學 生生 承承 諾諾 我承諾在學士學位論文 設計 活動中遵守學校有關規(guī)定 恪守學 術規(guī)范 本人學士學位論文 設計 內容除特別注明和引用外 均為本 人觀點 不存在剽竊 抄襲他人學術成果 偽造 篡改實驗數(shù)據的情況 如有違規(guī)行為 我愿承擔一切責任 接受學校的處理 學生 簽名 年 月 日 精品文檔 3 歡迎下載 指導教師承諾指導教師承諾 我承諾在指導學生學士學位論文 設計 活動中遵守學校有關規(guī)定 恪守學術道德規(guī)范 經過本人核查 該生學士學位論文 設計 內容除 特別注明和引用外 均為該生本人觀點 不存在剽竊 抄襲他人學術成 果 偽造 篡改實驗數(shù)據的現(xiàn)象 指導教師 簽名 年 月 日 目錄目錄 1 引言 1 2 矩陣的特征值與特征向量的定義及其性質 1 3 特值與特征征向量的求法 2 3 1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 2 3 2 已知矩陣 求與之相關的矩陣的特征值 2A 4 與矩陣相關矩陣的特征值 2A 5 矩陣與的特征值的關系 5ABBA 6 矩陣的 KRONECKER 積的特征值 7 7 行 列 轉置矩陣的特征值 8 7 1 定義和命題 8 7 2 主要結果 9 精品文檔 4 歡迎下載 8 矩陣的特征值與矩陣的共軛轉置矩陣的特征值之間的關系 10AAA 8 1 當時 矩陣的特征值的特點 10 A Af B A 8 1 1 酉矩陣的特征值 11 8 1 2 正交矩陣的特征值 11 8 2 當時 矩陣的特征值的特點 13 Af A A 關于幾類特殊矩陣特征值的討論 湯 指導教師 傅朝金 教授 湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 中國 黃石 435002 摘要 物理 力學 工程技術中的許多問題在數(shù)學上都歸結為求矩陣的特征值與特征 向量問題 矩陣的特征值概念以及求矩陣的特征值是高等代數(shù)的重要內容之一 這個知識點也是考研的熱點 本文將與幾類特殊矩陣的特征值有關的結論總結 出來并加以證明 使得某些在平時學習中零散的結論綜合在一起 發(fā)現(xiàn)這些結 論的內在規(guī)律 有效地利用這些規(guī)律 就可以方便的求出矩陣的特征值 關鍵詞 矩陣 特征值 特征向量 中圖分類號 O151 21 Discussion on some special classes of matrix eigenvalue TANG Yuting Tutor FU Chaojin College of Mathematics and Statistics Hubei Normal 精品文檔 5 歡迎下載 University Huangshi Hubei 435002 AbstractAbstract Many problems in the physics mechanics engineering mathematics are attributed to the matrix the eigenvalues and eigenvectors The concept of the eigenvalue of matrix and how to calculate the matrix eigenvalue is an important part of Higher Algebra and this knowledge is also the hot spots of Entrance Examination This article summes up and proves the conclusions of some special classes of matrix characteristics making some conclusions that are scattered in the normal learning integrated and finding the inherent law of these conclusions If you can use these laws effectively you can easily calculate the eigenvalues of the matrix Keywords Keywords matrix eigenvalue eigenvectors CLCCLC number number O151 21 精品文檔 1 歡迎下載 關于幾類特殊矩陣的特征值的結論 1 引言 在學習高等代數(shù)的過程中 矩陣與特征值是學習的重點與難點 而這個知識點也 是考研的熱點 所以本文將與幾類特殊矩陣的特征值有關的結論總結出來并加以證明 使得某些在平時學習中零散的結論綜合在一起 發(fā)現(xiàn)這些結論的內在規(guī)律 有效地利 用這些規(guī)律 就可以方便的求出矩陣的特征值 為了方便討論 規(guī)定 表示矩陣的逆矩陣 表示矩陣的轉置矩陣 1 A A A A 表示矩陣的行列式 表示矩陣的共軛轉置矩陣 表示階單位矩陣 AAA AEn 2 矩陣的特征值與特征向量的定義及其性質 定義 1 設是階方陣 如果對于數(shù)域中的一個數(shù) 存在一個維非零向量AnPln 使得 那么稱為的一個特征值 為矩陣的屬于特征值的一個XAXXl lAXAl 特征向量 性質 1 若為矩陣屬于特征值的特征向量 當不全為零時 12 XXAl 12 k k 仍是矩陣的屬于特征值的特征向量 1122 k Xk X Al 性質 2 若是矩陣的互不相同的特征值 其對應的特征向量分別是 12 m lll A 則線性無關 即屬于不同特征值的特征向量線性無關 12 XX m X 12 m XXX 性質 3 若矩陣的個特征值為 則 ij n n Aa n 12 n lll 112212nnn aaalll 12n Al ll 精品文檔 2 歡迎下載 3 特征值與特征向量的求法 3 1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 對于一般的數(shù)字方陣可以按以下步驟求矩陣的特征值與特征向量 1 計算特征多項式 fAEA l l 2 計算特征方程在數(shù)域中的全部根 它們就是矩陣0EAl P 12 m lll 的特征值 A 3 對于每一個特征值 求出齊次方程組的一個基礎解系 i l 0 iE A Xl 則是矩陣的屬于特征值的一組線性無關的特征向量 12 t iiir XXX 12 t iiir XXX A i l 則矩陣的屬于特征值的所有特征向量是 其中A i l 1122 tt iiiiirir k Xk Xk X 是數(shù)域中任意常數(shù) 且不全為零 12 t iiir kkk P 12 t iiir kkk 1 2 im 3 2 已知矩陣 求與之相關的矩陣的特征值A 已知矩陣 求與之相關的矩陣的特征值 可以運用后面要敘述的結論進行方便A 的求解 而特征向量可直接按 3 1 中的 3 求解 4 與矩陣相關矩陣的特征值A 命題 1 設是階方陣的特征值 是屬于特征值的特征向量 則有l(wèi)nAXl 1 是 是常數(shù) 的特征值 且是的屬于的特征向量 klkAkXkAkl 2 是的特征值 且是的屬于的特征向量 2 l 2 AX 2 A 2 l 3 是的特征值 且是的屬于的特征向量 k l k AX k A k l 4 是的特征值 l A 5 當可逆時 是的特征值 且是的屬于的特征向量 A 1 l 1 A X 1 A 1 l 6 當可逆時 是的特征值 且是的屬于的特征向量 A 1 Al AX A 1 Al 7 設 則是的特征值 且是 1 110 mm mm f xa xaxa xa fl f AX 精品文檔 3 歡迎下載 的屬于的特征向量 f A fl 證明 1 因為 所以 故是AXXl kA Xk AXk XkXll kl 是常數(shù) 的特征值 且是的屬于的特征向量 kAkXkAkl 2 因為 所以 故是的特征AXXl 22 A XA AXA XAXXlll 2 l 2 A 值 且是的屬于的特征向量 X 2 A 2 l 3 用第一數(shù)學歸納法證明 對進行歸納證明 方法同 2 k 4 因為 所以與的特征值相同 EAEAEAlll A A 5 因為可逆 所以 而 即A0l 111 XA AXAAXAXl 所以是的特征值 且是的屬于的特征向量 11 A XXl 1 l 1 A X 1 A 1 l 6 因為 所以由 1 可知 是的特征值 且是的屬于 1 AA A 1 Al AX A 的特征向量 1 Al 7 因為 所以 AXXl 1 110 mm mm f A Xa AaAa Aa E X 11 110110 mmmm mmmm f A Xa A XaAXa AXa EXaaaaXlll 故 即是的特征值 且是的屬于的特征 f A XfXl fl f AX f A fl 向量 命題 2 設是階方陣的個特征值 設 12 n lll nAn 1 110 mm mm f xa xaxa xa 則是的所有特征值 12 n ffflll f A 證明 用數(shù)學歸納法對的階數(shù)進行歸納證明 存在可逆矩陣 使得nT 1 21 n TAT l l l 當時 則存在可逆矩陣及 使 1n 1 Al 1E 1 1E 1 1 EAEl 精品文檔 4 歡迎下載 假設當階數(shù)為時 結論成立 1n 那么當階數(shù)為時 取的特征值及的一個特征向量 將擴充為的nA 1 l 1 l 1 X 1 X n P 一組基 令 則可逆 且使得 此 12 n XXX 112 n TXXX 1 T 1 T 11 11 1 0 TAT A l 處 1 A 為階矩陣 11nn 由歸納假設知 存在可逆矩陣 使得 2 T 2 31 21 2 n TAT l l l 其中是的個特征值 23 n lll 1 A1n 令 則 那么 3 2 10 0 T T 1 1 3 2 10 0 T T ll 1111 11 3113 122212 10 10 0000 TTAT T ATTTAT l l l 1 1 211 31131313 n TTA TTTTA TT L L OM 由上可知 與相似 則是的個特征值 記為 l l l 1 2 n L L OM Alll 12 n LAn 12 n lll 令 則 結論得證 13 TTT 1 21 n TAT l l l 由結論可知 對階方陣 存在可逆矩陣 使得nAT 精品文檔 5 歡迎下載 1 21 n ATT l l l 則 且是的所 1 21 n f f f ATT f l l l 12 n ffflll f A 有特征值 5 矩陣與的特征值的關系ABBA 命題 3 設是矩陣 是矩陣 則的特征多項式與的Amn Bnm AB AB flBA 特征多項式有如下關系 BA fl 1 nm ABBA ffllll 證明 先把要證明的 1 式改寫為 2 nm mn EABEBAllll 用構造法 設 令 0l 1 n m EB H AE l 對兩邊取行列式得 11 1 0 0 nnn mmm EBEEB EABAEAE ll l 11 m mm HEABEAB ll l 3 再對兩邊取行列式得 111 0 0 nnn mmm EEBEBAB AEAEE lll 11 n nn HEBAEBA ll l 4 故由 3 4 得 11 mn nm mnmn EABEBAEABEBA ll llllll 精品文檔 6 歡迎下載 5 上述等式是假設了 但 5 式兩邊均為的次多項式 有無窮多個值0l lnm 使它們成立 從而 5 式一定是恒等式 故命題 3 得證 0l 由命題 3 可以得到以下幾個推論 推論 1 當 均為階方陣時 與有相同的特征值 ABnABBA 證明一 由命題 3 可知 nn EABEBAllll 當時 0l EABEBAll 當時 0l 11 nn EABABA BB ABAEBAll 故與有相同的特征值 ABBA 證明二 當有零特征值 即 AB0l 因為 01100 nn EBABAB AA BEAB 所以 也是的特征值 0l BA 當有非零的特征值 設是任意非零的特征值 則存在特征向量 使ABlAB 0X X 得 0ABXX Xl 用同時左乘上式兩邊得 令 則可得 B 0BA BXBXXl YBX BAYYl 其中 否則由假設得 這與矛盾 所以是0Y 0XABXAYl 0 0Xl Y 屬于特征值的特征向量 而是的任意非零特征值 所以的任意非零特征BAllABAB 值都是的特征值 BA 綜上所述的任意特征值都是的特征值 ABBA 同理可證的任意特征值都是的特征值 BAAB 所以與有相同的特征值 ABBA 推論 2 設是矩陣 是矩陣 且 則與有相同的非零Amn Bnm mn ABBA 特征值 證明 不妨設 由命題 3 的證明的 5 式知mn nmn m mnmn EABEBAEABEBAlllllll 上述等式是假設了 但上式兩邊均為的次多項式 有無窮多個值使它成0l ln 立 從而上式一定是恒等式 0l 精品文檔 7 歡迎下載 所以與有相同的非零特征值 且階數(shù)較高的還有個零特征值 ABBABAnm 6 矩陣的 Kronecker 積的特征值 命題 4 設 分別為的特征值 則為的特征 m mn n ACBC l m A Bl mAB 值 證明 設 故 0 0 mn XCXYCY 0XY ABXYAXBYXYXYlml m 所以為的特征值 l mAB 由命題 4 可得以下推論 推論 1 設 及分別為矩陣的特征值 m mn n ACBC 12 m lll 12 n m mm A B 則為的特征值 其中 st l mAB 1 2 sm 1 2 tn 推論 2 設 及分 m mn ns s ACBCPC 12 m lll 12 n m mm 12 s rrr 別為矩陣的特征值 則為的特征值 其中 A B P ijk l mrABP 1 2 im 1 2 jn 1 2 ks 命題 5 設 分別為的特征值 設 m mn n ACBC rs lm A B 為復數(shù)形式 則個數(shù)是 0 l ij ij i j f x yc x y 0 l ij ij i j f A Bc AB mn rs flm 的特征值 其中 f A B1 2 rm 1 2 sn 證明 設為的特征值的特征向量 為的特征值的特征向量 則有 r XA r l s YA s m 其中 則 ii rrrrrr AXXA XXll jj ssssss BYYB YYmm 0 r X 0 s Y 0 l ij rsijrs i j f A BXYcABXY 0 l ij ijrs i j cABXY 0 l ij ijrs i j cA XB Y 精品文檔 8 歡迎下載 0 l ij ijrsrs i j cXYl m rsrs fXYlm 即是的特征值 其中 rs flm f A B1 2 rm 1 2 sn 由命題 5 可以得以下推論 推論 設 分別為的特征值 則是矩陣的 m mn n ACBC rs lm A B rs lm A B Kronecker 積的特征值 其中 nm AEBE 1 2 rm 1 2 sn 7 行 列 轉置矩陣的特征值 在本節(jié)中 為了方便討論 規(guī)定表示矩陣的轉置 表示次對角線上的 T AA n JJ 元素全為 1 其余元素全為 0 的階方陣 即n 001 010 100 J 7 1 定義和命題 行 列 轉置矩陣是一種特殊的矩陣 在整個矩陣理論體系中具有十分重要的作 用 高等代數(shù)主要討論了矩陣的轉置 對矩陣的行 列 轉置很少涉及 所以下面給 出矩陣行 列 轉置的定義以及一些相關的結論 定義 2 設 則矩陣的行轉置矩陣與列轉置矩陣分別記為 m n ij AaR A RC AA 即 12 1 12 21 21222 11121 mmmn mmmn R n n aaa aaa A aaa aaa 11 111 22 121 1 1 11 1 11 nn nn C mnmnm mnm nm aaa aaa A aaa aaa 若 則稱為行 列 對稱矩陣 RC AA AA A 若 則稱為行 列 反對稱矩陣 RC AA AA A 精品文檔 9 歡迎下載 若 則稱為行列對稱矩陣 RC AA A 由定義 2 可以得到以下命題 命題 6 1T JJJ 2RC JJJE 命題 7 設 則有以下結論 m nn k ARBR 1 RC mn AJ A AAJ 2 RC RC AA AA 3 RC RC kAkAkAkAkR 4 TCTR RTCT AAAA 5 RC RC ABA BABAB 7 2 主要結果 命題 8 設為階方陣 則與相似 則與有相同的特征值 n n AR n R A C A R A C A 證明 由命題 6 與命題 7 知 又因為為階可逆矩陣 RC AJAJAJJJA J Jn 且 從而 所以與相似 則與有相同的特 1 JJ 1RCC AJA JJA J R A C A R A C A 征值 推論 設為階方陣 則有以下結論 n n AR n 1 當是行對稱矩陣時 則與有相同的特征值 A C AA A C A 2 當是列對稱矩陣時 則與有相同的特征值 A R AA A C A 命題 9 設為階方陣 則與有相同的特征多項式和特征值 n n AR n R A C A 證明 設是的任意特征值 則l R A R EAEJAEEJAElll 222 J JJAJJJJAJ Jll 2 C JJJAJEAll 即 RC EAEAll 所以與有相同的特征多項式 從而有相同的特征值 R A C A 精品文檔 10歡迎下載 推論 設為階方陣 則有以下結論 n n AR n 1 當是行對稱矩陣時 則與有相同的特征多項式和特征值 AA R A 2 當是列對稱矩陣時 則與有相同的特征多項式和特征值 AA C A 命題 10 設為階方陣 則有相同的可逆性 n n AR n RC A AA 證明 由命題 6 與命題 7 知 即 RC AJAJ AA JAJA RC AAJ A 所以當可逆時 又因 從而 均A0A 0J 0 RC AAJ A RC A AA 可逆 當不可逆時 從而 則均不逆 A0A 0 RC AAJ A RC A AA 綜上所述有相同的可逆性 RC A AA 命題 11 設為階方陣 且可逆 則與相似 從而有相同 n n AR nA 1 R A 1 C A 的特征值 證明 由命題 10 知 當可逆時 均可逆 根據命題 6 和命題 7 可得A RC AA 1 11 R AJAJAE 1 1 C JAJJJA J 11 111CC JAJJAJ 所以與相似 從而有相同的特征值 1 R A 1 C A 8 矩陣的特征值與矩陣的共軛轉置矩陣的特征值之間的關系AAA 8 1 當時 矩陣的特征值的特點 A Af B A 命題 12 設 當 為矩陣的 1 110 mm mm f xa xaxa xa A Af B lA 特征值 為矩陣的特征值 且至少存在一個非零向量 是屬于特征值的特hBXXl 征向量 也是屬于特征值的 特征向量 則即 h fl lh flh 精品文檔 11歡迎下載 證明 等式兩邊同時取共軛轉置得AXXl AXXl AXXl X AXl 將與等式兩邊相乘得 即X AXl AXXl X AAXXXll 因為矩陣滿足 故由命題 1 中 7 可知X A AXXXll A A Af B X f B XX fXfX XXXhhll 又因為 則 故 1 2 0 n x x X x 12n Xx xx 1 122 0 nn X Xx xx xx x 將兩邊同時消去得 即 fX XX Xhl l X X fl lh flh 推論 當 時 為矩陣的特征值 則有 即 A AkE kR lAkl l kl 證明 設為矩陣的特征值 為屬矩陣的特征值的特征向量 且為屬lAXAlX 矩陣的特征值 1 的特征向量 令 由命題 12 知 E f xk 1fkl l 即 kl 8 1 1 酉矩陣的特征值 定義 3 對階復矩陣 如果滿足 則稱為酉矩陣 nAAA AAAE A 命題 13 酉矩陣的特征值的模為 1 A 證明 令命題 12 的推論中的 有 所以 1k A AE 1l 8 1 2 正交矩陣的特征值 定義 4 如果階實數(shù)矩陣滿足 則稱為正交矩陣 nAA AAAE A 命題 14 正交矩陣的特征值的模為 1 A 證明 由定義知正交矩陣是酉矩陣 由命題 13 可得正交矩陣的特征值的模為A 1 推論 1 正交矩陣的實特征值只能為 1 或A1 精品文檔 12歡迎下載 證明 為正交矩陣的特征值 由命題 14 知 由于為實數(shù) 故只能lA1l ll 為 1 或 1 由上可知 由于正交矩陣的特征值的模為 1 且 故正交矩陣的特征A1A A 值可能為 3 種 1 或 且復特征值是成對出現(xiàn)的 即同時1 cossin i ei q qq l l 為矩陣 的特征值 A 推論 2 階正交矩陣的行列式與其特征值之間的關系如下nA 1 若 則一定有特征值 1A A1 2 若 且為奇數(shù) 則一定有特征值 1 1A nA 證明一 運用命題 12 及其推論進行證明 設階正交矩陣在復數(shù)范圍內的個特征值分別為 由于nAn 12 n lll 則的特征值由兩類構成 一類是模為 1 的共軛虛數(shù) 另一類是 1 或 12 n Al ll A 1 1 由 可知的特征值中除了成對出現(xiàn)共軛虛數(shù)外 一定有實特征值1A A 否則特征值會出現(xiàn)如下結構 此時1 1122 1 1 1 kk llllll 1122 11 kk Al l l ll l 則矛盾 所以一定有特征值 A1 2 由 且為奇數(shù) 可知的特征值中除了成對出現(xiàn)的共軛虛根外 還1A nA 應存在奇數(shù)個實特征根 為了保證 這奇數(shù)個實特征根不能全為 至少有一1A 1 個 1 所以一定有特征值 1 A 證明二 從正交矩陣的定義出發(fā) 可以證明如下 1 用特征值的定義證明 AEAA AEAAEA A EAAEA AEA 故 則一定有特征值 20EA 0EA A1 精品文檔 13歡迎下載 2 用同樣的方法可以證明 EAA AAAE AAE A 1 n AEAAE AEA 因為為奇數(shù) 故 則一定有特征值 1 n20EA 0EA A 8 2 當時 矩陣的特征值的特點 Af A A 命題 15 設 為矩陣的特征值 且 1 110 mm mm f xa xaxa xa lA 則有 Af A fll 證明 為矩陣的屬于特征值的特征向量 則有 等式兩邊同時取XAlAXXl 共軛轉置得 AXXl AXXl X AXl 因為為矩陣的特征值 由命題 1 中 7 可知是的特征值 且是lA fl f AX 的屬于的特征向量 則有 等式兩邊同時左乘得 f A fl f A XfXl X X f A XX fXX A XfX Xll 因為 所以 X AXl X XfX Xll 又因為 則 故 1 2 0 n x x X x 12n Xx xx 1 122 0 nn X Xx xx xx x 將兩邊同時消去得 X XfX Xll X X fll 定義 5 對階復矩陣 若 則稱為埃爾米特 Hermite 稱陣 nAAA A 推論 1 為埃爾米特 Hermite 稱陣 則的特征值全為實數(shù) AA 證明 因為為階埃爾米特 Hermite 稱陣 則 AnAA 令 則 設為矩陣的特征值 由命題 15 知 f xx Af A lA 精品文檔 14歡迎下載 故為實數(shù) 即的特征值全為實數(shù) flll lA 定義 6 對階實數(shù)矩陣 若 則稱為實對稱陣 nAAA A 推論 2 為實對稱陣 則的特征值全為實數(shù) AA 證明 由定義知 實對稱陣是埃爾米特矩陣 由命題 15 的推論 1 知 的特征值A 為全實數(shù) 定義 7 對階實數(shù)矩陣 若 則稱為實反對稱陣 nAAA A 推論 3 為實反對稱陣 則的特征值為 0 或純虛數(shù) AA 證明 因為為階實反對稱矩陣 則 AnAA 令 則 設為矩陣的特征值 由命題 15 知 f xx Af A lA flll 因為 所以為 0 或純虛數(shù) ll l 精品文檔 15歡迎下載 參考文獻 1 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 高等代數(shù) M 第 3 版 北京 高等教育出版 社 2003 290 293 296 297 377 378 2 郭竹梅 關于幾類特殊矩陣特征值的結論及應用 J 宜春學院學報 2011 33 4 31 32 3