專題3 數(shù) 列 專題質(zhì)量檢測(cè)(三).doc

(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2011天津南開(kāi)中學(xué))下列可作為數(shù)列an：1,2,1,2,1,2，的通項(xiàng)公式的是()Aan1BanCan2|sin| Dan解析：由an2|sin|可得a11，a22，a31，a42，.答案：C2(2011杭州模擬)設(shè)數(shù)列(1)n的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意正整數(shù)n，Sn()A. B.C. D.解析：數(shù)列(1)n是首項(xiàng)與公比均為1的等比數(shù)列，故Sn.答案：D3(2011江西高考)設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和若S10S11，則a1()A18 B20C22 D24解析：由S10S11得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.答案：B4(2011銀川聯(lián)考)已知等比數(shù)列an中，a12，且a4a64a，則a3()A. B1C2 D.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知條件可得a4aq4，q4，q2.a3a1q221.答案：B5(2011天津高考)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為()A110 B90C90 D110解析：因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以aa3a9，又因?yàn)楣顬?，所以(a112)2(a14)(a116)解得a120，通項(xiàng)公式為an20(n1)(2)222n，所以S105(202)110.答案：D6在等比數(shù)列an中，a5a115，a4a26，則公比q等于()A. B2C.或2 D2解析：a5a1a1q4a115a4a2a1q3a1q6，(q210)2q225q.q或2.又a5a1150，q1，q2.答案：B7在等比數(shù)列an中，已知an0，那么“a2a4”是“a6a8”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：由a2a4得a2a2q2，所以0q2a8得a6a6q2，所以0q2a4”是“a6a8”的充要條件答案：C8等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a，公差為d；等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為b，公差為e，如果cnanbn(n1)，且c14，c28，數(shù)列cn的通項(xiàng)公式為cn()A2n1 B3n2C4n D4n3解析：cna(n1)db(n1)e(ab)(n1)(de)c1ab4，c2abde8ab4，de4，cn4n.答案：C9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snqn1(q0，且q為常數(shù))，某同學(xué)得出如下三個(gè)結(jié)論：an的通項(xiàng)是an(q1)qn1；an是等比數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，SnSn2S.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：anSnSn1qn1(qn11)(n2)，即an(q1)qn1(n2)，而a1S1q1，得an(q1)qn1(n1)，正確；當(dāng)q1時(shí)，an不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；當(dāng)q1時(shí)，令tSnSn2S(qn1)(qn21)(qn11)2，則tqn(q1)2，顯然t0，即SnSn2S，正確答案：C10某學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一都有A，B兩種菜可供選擇調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%的人改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%的人改選A種菜用an，bn分別表示在第n個(gè)星期一選A種菜的人數(shù)和選B種菜的人數(shù)，如果a1300，則a10為()A300 B350C400 D450解析：依題意得消去bn得：an1an150.由a1300得a2300，從而得a10300.答案：A二、填空題(本大題共7小題，每小題4分，共28分請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)11. (2011寧波模擬)在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a10，公差d0，若aka1a2a3a7，則k .解析：aka1a2a77a1d7a121d，而a10，所以ak7a121da121da22，k22.答案：2212已知等差數(shù)列an滿足a23，a59，若數(shù)列bn滿足b13，bn1abn，則bn的通項(xiàng)公式為bn()解析：據(jù)已知易得an2n1，故由bn1abn可得bn12bn1，變形為bn112(bn1)，即數(shù)列bn1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故bn12n，解得bn2n1.答案：2n113數(shù)列an滿足：log2an11log2an，若a310，則a8_.解析：由log2an11log2an，得an12an，故a825a3320.答案：32014(2011湖南湘西聯(lián)考)設(shè)關(guān)于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.解析：由x2x2nx(nN*)得0x0，則Sn一定有最大值其中真命題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))解析：對(duì)于，注意到()an1an()d是一個(gè)非零常數(shù)，因此數(shù)列() an 是等比數(shù)列，因此正確；對(duì)于，S1313，因此正確；對(duì)于，注意到Snna1dnan(n1)ddnand，因此正確；對(duì)于，當(dāng)d0時(shí)，Sn不存在最大值，因此不正確綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是.答案：三、解答題(本大題共5小題，共72分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)18(本小題滿分14分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的nN*有anSnn.(1)設(shè)bnan1，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)設(shè)c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通項(xiàng)公式解：(1)證明：由a1S11及a1S1得a1.又由anSnn及an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.數(shù)列bn是以b1a11為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)法一：由(1)知2an1an1.2anan11(n2)2an12ananan1.2cn1cn(n2)又c1a1，a2a1a22，a2.c2，c2c1.數(shù)列cn是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列cn()n1()n.法二：由(1)bn()n1()n，an()()n1()n11()n1()n()n1(1)()n(n2)又c1a1也適合上式，cn()n.19(本小題滿分14分)已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a16，且an1an1；數(shù)列bn中，點(diǎn)Bn(n，bn)在過(guò)點(diǎn)(0,1)且以(1,2)為方向向量的直線l上(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若f(n)問(wèn)是否存在kN*，使f(k27)4f(k)成立，若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)an1an1，an1an1.數(shù)列an是首項(xiàng)為6，公差為1的等差數(shù)列ana1(n1)1n5.又直線l的方程為y2x1，bn2n1.(2)假設(shè)滿足條件的k存在由(1)得：f(n)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k27為奇數(shù)，f(k27)4f(k)，k2754(2k1)，解得k4.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k27為偶數(shù)，2(k27)14(k5)，k(舍去)綜上，存在k4符合條件20(本小題滿分14分)設(shè)同時(shí)滿足條件bn1(nN*)；bnM(nN*，M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列bn叫“特界”數(shù)列(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a34，S318，求Sn；(2)判斷(1)中的數(shù)列Sn是否為“特界”數(shù)列，并說(shuō)明理由解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a12d4,3a13d18，解得a18，d2.Snna1dn29n.(2)Sn110，Sn1，數(shù)列Sn適合條件.又Snn29n(n)2(nN*)，當(dāng)n4或5時(shí)，Sn取最大值20.即S220，Sn適合條件.綜上，數(shù)列Sn是“特界”數(shù)列. 21(本小題滿分15分)已知二次函數(shù)yf(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖像上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.解：(1)依題意，設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)，由于當(dāng)x時(shí)，f(x)有最小值，解得a2，b1，f(x)2x2x.又點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖像上，Sn2n2n.當(dāng)n1時(shí)，a1S121211；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n3；a11也適合上式，an4n3(nN*)(2)由(1)得bn()，Tn(1)()()(1)因此，要使(1)(nN*)成立，m必須且只需滿足，即m10，故滿足要求的最小正