第六講中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)(2).doc

第六講 中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)（2）本講簡(jiǎn)介： 恩格斯指出：“初等數(shù)學(xué)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)，是在形式邏輯的范圍內(nèi)活動(dòng)的，至少總的說(shuō)來(lái)是這樣?！敝袑W(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，主要指形式邏輯，也部分地涉及到辯證邏輯。本講以唯物辯證法作指導(dǎo)，重點(diǎn)考察數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)證明的邏輯基礎(chǔ)。知識(shí)結(jié)構(gòu)：學(xué)習(xí)建議： 邏輯思維的基本規(guī)律有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，這些規(guī)律是進(jìn)行正確思維的保證，務(wù)必深刻理解并自覺(jué)地遵循。演繹推理和完全歸納法是嚴(yán)格的推理形式，是數(shù)學(xué)證明的重要工具。不完全歸納法和類比法雖然只是似真的推理，但它們?cè)诳茖W(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明中有重要的作用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有助于尋找規(guī)律、猜測(cè)結(jié)論、探究解題思路，應(yīng)引起足夠的重視。反證法是一種常用的證明方法，它的邏輯基礎(chǔ)是矛盾律和排中律，要理解反證法的實(shí)質(zhì)并熟練掌握其步驟。重點(diǎn)與難點(diǎn)： 本講的重點(diǎn)是熟練正確地運(yùn)用演繹推理、歸納推理、類比推理這三種推理形式以及牢固掌握反證法的證明步驟。第一節(jié) 邏輯思維的基本規(guī)律一、同一律同一律的內(nèi)容是：在同一思維過(guò)程中，所有的概念、命題必須確定，必須始終保持一致。根據(jù)同一律的內(nèi)容，它有兩點(diǎn)基本要求：一是思維對(duì)象應(yīng)保持同一。例如，解方程或因式分解時(shí)，在什么數(shù)集中討論應(yīng)該確定，否則結(jié)果就可能不同。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。即概念的內(nèi)涵和外延應(yīng)確定，不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起來(lái)用同一個(gè)概念表示。例如，用同一個(gè)字母或符號(hào)表示不同的概念或?qū)ο缶瓦`反了同一律。違反同一律常見(jiàn)的錯(cuò)誤是思維混亂，前后不一。在推理、證明過(guò)程中，具體表現(xiàn)為偷換概念、偷換論題等錯(cuò)誤。應(yīng)該指出，同一律要求的“同一”，是指在“同一思維過(guò)程”中，在不同的思維過(guò)程中，我們并不要求概念和命題永遠(yuǎn)保持不變。例如，“角”的概念在平面幾何、立體幾何和三角函數(shù)中就有不同的含義。二、矛盾律矛盾律的內(nèi)容是：在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾（或?qū)αⅲ┑拿}不能同真，必有一假。矛盾律要求思維不能自相矛盾。例如，“ 是無(wú)理數(shù)”和“ 是有理數(shù)”是兩個(gè)互相矛盾的命題，其中必有一個(gè)是假的。又如，“ 是銳角三角形”和“ 是鈍角三角形”是兩個(gè)互相對(duì)立的命題，其中至少有一個(gè)是假的。三、排中律排中律的內(nèi)容是：在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的命題 和 不能同假，必有一真。排中律要求人們的思維有明確性，避免模棱兩可。例如，如果我們證明了“ 是有理數(shù)”是假的，根據(jù)排中律，就可斷定“ 是無(wú)理數(shù)”是真的。根據(jù)矛盾律和排中律，兩個(gè)互相矛盾的命題 和 恰有一個(gè)真的，一個(gè)假的。它們是反證法的邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)直接證明一個(gè)命題有困難時(shí)，可以證明由這個(gè)命題的否定命題（否定式）會(huì)推出互相矛盾的結(jié)果就行了。四、充足理由律充足理由律的內(nèi)容是任何一個(gè)真實(shí)的命題，必須有充足的理由。充足理由律要求理由和推斷之間，存在著本質(zhì)上的必然聯(lián)系。理由應(yīng)是推斷的充分條件，推斷應(yīng)是理由的必要條件。第二節(jié)數(shù)學(xué)推理一、推理的意義和結(jié)構(gòu)推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知命題，得出另一個(gè)新命題的思維形式。任何推理都包含前提和結(jié)論兩個(gè)部分。前提是推理所依據(jù)的部分，它告訴我們已知的事實(shí)是什么，推理的前提可以是一個(gè)或幾個(gè)。結(jié)論是根據(jù)前提所推出的命題，它告訴我們推出的結(jié)果是什么。數(shù)學(xué)推理，是尋求新的結(jié)果，由已知進(jìn)到未知的重要方法，也是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題、進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的基本工具。邏輯思維對(duì)推理的基本要求是：推理要合乎邏輯，即進(jìn)行推理時(shí)要合乎推理的形式，遵守推理的規(guī)則。數(shù)學(xué)中常用的推理有演繹推理、歸納推理、類比推理。二、演繹推理演繹推理，又稱演繹法。它是從一般性較大的前提，推得一般性較小的結(jié)論的推理。簡(jiǎn)單地說(shuō)，演繹推理是由一般到個(gè)別或特殊的推理。演繹推理的前提和結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系。只要前提是真的，由演繹推理得出的結(jié)論一定是真的。因此，演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具。演繹推理的常見(jiàn)形式有關(guān)系推理、聯(lián)言推理、選言推理和假言推理等。我們先來(lái)考察作為演繹推理重要依據(jù)的邏輯公理。1.邏輯公理邏輯公理：如果某一集合 中的所有元素都具有屬性 ，則 中的每一個(gè)個(gè)別的元素 也具有屬性 。于是有推理規(guī)則： 邏輯公理的推廣：如果某一集合 中的所有元素都具有屬性 ，則集合 的任一非空子集 中的每一元素 也具有屬性 。于是有推理規(guī)則： 規(guī)則 和 都適用于以全稱命題為前提的推理。2.關(guān)系推理3.聯(lián)言推理聯(lián)言推理是根據(jù)聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)而進(jìn)行的推理，它的前提或結(jié)論是聯(lián)言命題。（1）聯(lián)言推理的分解式。由聯(lián)言命題 為真，推演出它的合取項(xiàng) 為真的推理，稱為聯(lián)彈推理的分解式。 , 。（2）聯(lián)言推理的組合式。由命題 全為真，推演出它們的聯(lián)言命題 為真的推理，稱為聯(lián)言推理的組合式。 4.選言推理選言推理是根據(jù)選言命題的邏輯性質(zhì)而進(jìn)行推演的推理，它的前提中有一個(gè)是選言命題。即由選言命題 為真， 為真，推演出 為真的推理。其推理規(guī)則為： 。5.假言推理 假言推理是根據(jù)假言命題的邏輯性質(zhì)而進(jìn)行推演的推理，它的前提中至少有一個(gè)是假言命題。 （1）肯定式?？隙ㄊ绞菑目隙傺悦} 與前件 為真，從而肯定它的后件 為真的推理。其推理規(guī)則為： （2）否定式。否定式是從假言命題 與后件的否定 為真，從而得出它的前件的否定 為真的推理。其推理規(guī)則為： 三、歸納推理歸納推理，又稱歸納法。它是從一般性較小的前提，推出一般性較大的結(jié)論的推理。簡(jiǎn)單地說(shuō)，歸納推理是由個(gè)別、特殊到一般的推理。根據(jù)歸納的對(duì)象是否完備，歸納法可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。1.完全歸納法完全歸納法，是根據(jù)某類事物中每一個(gè)對(duì)象的情況或每一個(gè)子類的情況，而作出該類事物的一般性結(jié)論的推理。完全歸納法的兩種推理形式：具有性質(zhì) ； 和 具有性質(zhì) ；具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 類事物具有性質(zhì) 類事物具有性質(zhì) 例如，圓周角定理（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）的證明。已知： 中，弧 所對(duì)的圓周角是 ，圓心角是 。求證： 。證明時(shí)應(yīng)分圓心 在 的一邊上，在 的內(nèi)部，在 的外部三種情況分別進(jìn)行證明，然后再用完全歸納法得出結(jié)論： 。如果只證明了其中一種情況，就下結(jié)論，那就犯了“以偏概全”的錯(cuò)誤。 完全歸納法考察了某類事物的每一個(gè)對(duì)象，或每一子類的情況，如果它的前提是真的，那么它的結(jié)論也一定是真的。所以，完全歸納法是一種嚴(yán)格的推理證明方法。2.不完全歸納法不完全歸納法，是根據(jù)對(duì)某類事物中的一部分對(duì)象的情況，而作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理。其推理形式是： 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 類事物具有性質(zhì) 由不完全歸納法得到的結(jié)論，只有或然的性質(zhì)，結(jié)論是否正確，還需經(jīng)過(guò)理論的證明或?qū)嵺`的檢驗(yàn)。不完全歸納法雖然不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，但在科學(xué)研究、數(shù)學(xué)教學(xué)或數(shù)學(xué)解題中有著積極的作用。首先，通過(guò)不完全歸納法，可以幫助人們提出問(wèn)題、作出猜想、發(fā)現(xiàn)真理，數(shù)學(xué)中的許多重大的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，如多面體的“歐拉定理”、地圖著色的“四色定理”都是先用不完全歸納法得出，然后再進(jìn)行嚴(yán)格證明的。其次，中學(xué)數(shù)學(xué)中的有些定理、公式、法則（特別是初中階段），由于嚴(yán)格證明比較困難，考慮到學(xué)生的可接受性，可以用不完全歸納法給出；或者先用不完全歸納法給出，再進(jìn)行證明或驗(yàn)證。第三，在解數(shù)學(xué)題時(shí)，常?？梢韵瓤疾靻?wèn)題的一些特殊情形，用不完全歸納法探求解題的思路或猜測(cè)問(wèn)題的答案、結(jié)論，然后再進(jìn)行嚴(yán)格的推理和解答。四、類比推理類比推理又稱類比法。它是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同（或相似），從而推出它們的其他屬性也相同（或相似）的推理。簡(jiǎn)單地說(shuō)，類比推理是由特殊到特殊的推理。類比推理的推理形式是： 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) 用類比法得到的結(jié)論，雖然不一定都真實(shí)，但在人們的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中仍有它的積極意義。科學(xué)上有不少重要的假說(shuō)，是通過(guò)類比法提出來(lái)的；數(shù)學(xué)中有不少重要的發(fā)現(xiàn)是由類比法先提供線索的；生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中許多創(chuàng)造發(fā)明，也是先受到類比法的啟發(fā)。因此，類比法仍不失為一種獲取新知識(shí)的重要工具。第三節(jié)數(shù)學(xué)證明一、證明的意義和結(jié)構(gòu)證明是引用一些真實(shí)性的命題來(lái)確定某一命題真實(shí)性的思維形式。任何證明都由論題、論據(jù)和論證三部分組成。論題，是指需要確定其真實(shí)性的那個(gè)命題。論據(jù)，是指被用來(lái)作為證明的理由。論證，就是證明的過(guò)程。二、證明的規(guī)則 規(guī)則1 論題要明確。論題是證明的基本目標(biāo)，只有把論題清楚、明確地表述出來(lái)，才能使證明有的放矢。 規(guī)則2 論題應(yīng)當(dāng)始終如一。根據(jù)同一律的，在證明過(guò)程中，論題應(yīng)當(dāng)始終同一，不得中途變更。違反這條規(guī)則的常見(jiàn)錯(cuò)誤是偷換論題。 規(guī)則3 論據(jù)要真實(shí)。論據(jù)是確定論題真實(shí)性的理由。如果論據(jù)是假的，那就不能確定論題的真實(shí)性。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做虛假論據(jù)。 規(guī)則4 論據(jù)不能靠論題來(lái)證明。論題的真實(shí)性是靠論據(jù)來(lái)證明的，如果論據(jù)的真實(shí)性又要靠論題來(lái)證明，那么結(jié)果什么也沒(méi)有證明。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做循環(huán)論證。 規(guī)則5 論據(jù)必須能推出論題。證明是特殊的推理，因而論據(jù)必須是推出論題的充足理由。否則，從論據(jù)就推不出論題。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做不能推出。 三、演繹證法與歸納證法 四、分析法與綜合法（參見(jiàn)第三講）五、直接證法與間接證法1.直接證法直接證法是從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。數(shù)學(xué)中的證明多數(shù)采用直接證法。直接證法的一般形式是本題條件結(jié)論已知定義已知公理已知定理2.間接證法間接證法不是從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或該證它的等價(jià)命題為真，以間接地證明論題的真實(shí)性。間接證法有反證法和同一法兩種。（1）反證法。反證法不直接證明命題“ ”，而是先肯定命題的條件 ，并否定命題的結(jié)論 ，即從原命題的否定式“ ”入手，由 與 合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾的結(jié)果；根據(jù)矛盾律，兩個(gè)互相矛盾的命題，不能同真，必有一假，斷定原命題的否定式“ ”為假；從而，根據(jù)排中律，兩個(gè)互相矛盾的命題，不能同假，必有一真，由此肯定命題“ ”為真。用反證法證明命題“ ”的全過(guò)程和邏輯依據(jù)可以用下圖表示：（2）同一法。對(duì)于符合同一原理的命題，當(dāng)證明有困難時(shí)，可以改證明和它等價(jià)的逆命題，只要它的逆命題正確，這個(gè)命題就成立。這種證明方法叫做同一法。同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。應(yīng)用同一法證明時(shí)，一般可分以下幾個(gè)步驟： 第一步：作出符合命題結(jié)論的圖形。 第二步：證明所作圖形符合已知條件。 第三步：根據(jù)唯一性，確定所作圖形與已知圖形相同或重合。 第四步：斷定原命題的真實(shí)性。 同一法和反證法的適用范圍是不同的。 同一法只適用于符合同一原理的命題；而反證法則普遍適用，對(duì)于能夠用同一法證明的命題，一般都能用反證法證明。相關(guān)知識(shí) 6.1關(guān)系推理關(guān)系推理是根據(jù)對(duì)象間關(guān)系的邏輯性質(zhì)進(jìn)行推演的推理，它的前提和結(jié)論都是關(guān)系命題。（1）對(duì)稱關(guān)系推理。根據(jù)對(duì)稱關(guān)系進(jìn)行推演的推理，稱為對(duì)稱關(guān)系推理。其推理規(guī)則是： （關(guān)系 是對(duì)稱的）（2）傳遞關(guān)系推理。根據(jù)傳遞關(guān)系進(jìn)行推演的推理，稱為傳遞關(guān)系推理。其推理規(guī)則是： （關(guān)系 是傳遞的） 6.2演繹證法與歸納證法1.演繹證法演繹證法是用演繹推理來(lái)證明論題的方法。也就是從包含在論據(jù)中的一般原理推出包含在論題中的個(gè)別、特殊事實(shí)。2.歸納證法,歸納證法是用歸納推理來(lái)證明論題的方法。也就是從包含在論據(jù)中的個(gè)別、特殊事實(shí)，推出包含在論題中的一般原理。 6.3反證法的步驟用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般包括下面三個(gè)步驟： 第一步：反設(shè)。假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真。 第二步：歸謬。由反設(shè)與已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯思維，得出矛盾結(jié)果。這里所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理、公式矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形。 第三步：存真。由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。 6.4同一性命題（參見(jiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論P(yáng)9697）如果一個(gè)命題的條件所確定的對(duì)象與結(jié)論所斷定的對(duì)象是相同的，則此命題稱為同一性命題。同一性命題與它的逆命題是等價(jià)的。例如“等腰三角形頂角平分線是底邊上的中線，也是底邊上的高”。 條件中的“頂角平分線”與“底邊上的中線”或“底邊上的高”是同一事物。因此，這是一個(gè)同一性命題。 6.5同一法例題第六講 中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)（2）一、填空題1.反證法的邏輯基礎(chǔ)是_和_ 。 2._ 是從一個(gè)或幾個(gè)已知命題，得出另一個(gè)新命題的思維形式。3.任何推理都包含_ 和_ 兩個(gè)部分。4._ 是引用一些真實(shí)性的命題來(lái)確定某一命題真實(shí)性的思維形式。5.間接證法有_ 和_ 兩種。6.證明的規(guī)則有_ 、_ 、_ 、_ 、_。 二、簡(jiǎn)釋題1.矛盾律。2.排中律。3.演繹推理。4.歸納推理。5.邏輯公理及其推理規(guī)則。6.假言推理的肯定式。思考題1.舉例說(shuō)明類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。用類比法得到的結(jié)論，雖然不一定都真實(shí)，但在人們的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中仍有它的積極意義?？茖W(xué)上有不少重要的假說(shuō)，是通過(guò)類比法提出來(lái)的；數(shù)學(xué)中有不少重要的發(fā)現(xiàn)是由類比法先提供線索的；生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中許多創(chuàng)造發(fā)明，也是先受到類比法的啟發(fā)。因此，類比法仍不失為一種獲取新知識(shí)的重要工具。（請(qǐng)學(xué)員自己舉例說(shuō)明）。 2.什么是同一法？用同一法證明勾股定理的逆命題。 如果一個(gè)命題的條件所確定的對(duì)象與結(jié)論所斷定的對(duì)象是相同的，則此命題稱為同一性命題。對(duì)于符合同一原理的命