第六講中學數(shù)學的邏輯基礎(2).doc

第六講 中學數(shù)學的邏輯基礎（2）本講簡介： 恩格斯指出：“初等數(shù)學，即常數(shù)的數(shù)學，是在形式邏輯的范圍內(nèi)活動的，至少總的說來是這樣?！敝袑W數(shù)學的邏輯基礎，主要指形式邏輯，也部分地涉及到辯證邏輯。本講以唯物辯證法作指導，重點考察數(shù)學推理和數(shù)學證明的邏輯基礎。知識結構：學習建議： 邏輯思維的基本規(guī)律有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，這些規(guī)律是進行正確思維的保證，務必深刻理解并自覺地遵循。演繹推理和完全歸納法是嚴格的推理形式，是數(shù)學證明的重要工具。不完全歸納法和類比法雖然只是似真的推理，但它們在科學和數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明中有重要的作用，在數(shù)學教學中有助于尋找規(guī)律、猜測結論、探究解題思路，應引起足夠的重視。反證法是一種常用的證明方法，它的邏輯基礎是矛盾律和排中律，要理解反證法的實質(zhì)并熟練掌握其步驟。重點與難點： 本講的重點是熟練正確地運用演繹推理、歸納推理、類比推理這三種推理形式以及牢固掌握反證法的證明步驟。第一節(jié) 邏輯思維的基本規(guī)律一、同一律同一律的內(nèi)容是：在同一思維過程中，所有的概念、命題必須確定，必須始終保持一致。根據(jù)同一律的內(nèi)容，它有兩點基本要求：一是思維對象應保持同一。例如，解方程或因式分解時，在什么數(shù)集中討論應該確定，否則結果就可能不同。二是表示同一事物的概念應保持同一。即概念的內(nèi)涵和外延應確定，不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起來用同一個概念表示。例如，用同一個字母或符號表示不同的概念或?qū)ο缶瓦`反了同一律。違反同一律常見的錯誤是思維混亂，前后不一。在推理、證明過程中，具體表現(xiàn)為偷換概念、偷換論題等錯誤。應該指出，同一律要求的“同一”，是指在“同一思維過程”中，在不同的思維過程中，我們并不要求概念和命題永遠保持不變。例如，“角”的概念在平面幾何、立體幾何和三角函數(shù)中就有不同的含義。二、矛盾律矛盾律的內(nèi)容是：在同一思維過程中，兩個互相矛盾（或?qū)αⅲ┑拿}不能同真，必有一假。矛盾律要求思維不能自相矛盾。例如，“ 是無理數(shù)”和“ 是有理數(shù)”是兩個互相矛盾的命題，其中必有一個是假的。又如，“ 是銳角三角形”和“ 是鈍角三角形”是兩個互相對立的命題，其中至少有一個是假的。三、排中律排中律的內(nèi)容是：在同一思維過程中，兩個互相矛盾的命題 和 不能同假，必有一真。排中律要求人們的思維有明確性，避免模棱兩可。例如，如果我們證明了“ 是有理數(shù)”是假的，根據(jù)排中律，就可斷定“ 是無理數(shù)”是真的。根據(jù)矛盾律和排中律，兩個互相矛盾的命題 和 恰有一個真的，一個假的。它們是反證法的邏輯基礎。當直接證明一個命題有困難時，可以證明由這個命題的否定命題（否定式）會推出互相矛盾的結果就行了。四、充足理由律充足理由律的內(nèi)容是任何一個真實的命題，必須有充足的理由。充足理由律要求理由和推斷之間，存在著本質(zhì)上的必然聯(lián)系。理由應是推斷的充分條件，推斷應是理由的必要條件。第二節(jié)數(shù)學推理一、推理的意義和結構推理是從一個或幾個已知命題，得出另一個新命題的思維形式。任何推理都包含前提和結論兩個部分。前提是推理所依據(jù)的部分，它告訴我們已知的事實是什么，推理的前提可以是一個或幾個。結論是根據(jù)前提所推出的命題，它告訴我們推出的結果是什么。數(shù)學推理，是尋求新的結果，由已知進到未知的重要方法，也是解答數(shù)學問題、進行數(shù)學證明的基本工具。邏輯思維對推理的基本要求是：推理要合乎邏輯，即進行推理時要合乎推理的形式，遵守推理的規(guī)則。數(shù)學中常用的推理有演繹推理、歸納推理、類比推理。二、演繹推理演繹推理，又稱演繹法。它是從一般性較大的前提，推得一般性較小的結論的推理。簡單地說，演繹推理是由一般到個別或特殊的推理。演繹推理的前提和結論之間有著必然的聯(lián)系。只要前提是真的，由演繹推理得出的結論一定是真的。因此，演繹推理可以作為數(shù)學中嚴格證明的工具。演繹推理的常見形式有關系推理、聯(lián)言推理、選言推理和假言推理等。我們先來考察作為演繹推理重要依據(jù)的邏輯公理。1.邏輯公理邏輯公理：如果某一集合 中的所有元素都具有屬性 ，則 中的每一個個別的元素 也具有屬性 。于是有推理規(guī)則： 邏輯公理的推廣：如果某一集合 中的所有元素都具有屬性 ，則集合 的任一非空子集 中的每一元素 也具有屬性 。于是有推理規(guī)則： 規(guī)則 和 都適用于以全稱命題為前提的推理。2.關系推理3.聯(lián)言推理聯(lián)言推理是根據(jù)聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)而進行的推理，它的前提或結論是聯(lián)言命題。（1）聯(lián)言推理的分解式。由聯(lián)言命題 為真，推演出它的合取項 為真的推理，稱為聯(lián)彈推理的分解式。 , 。（2）聯(lián)言推理的組合式。由命題 全為真，推演出它們的聯(lián)言命題 為真的推理，稱為聯(lián)言推理的組合式。 4.選言推理選言推理是根據(jù)選言命題的邏輯性質(zhì)而進行推演的推理，它的前提中有一個是選言命題。即由選言命題 為真， 為真，推演出 為真的推理。其推理規(guī)則為： 。5.假言推理 假言推理是根據(jù)假言命題的邏輯性質(zhì)而進行推演的推理，它的前提中至少有一個是假言命題。 （1）肯定式。肯定式是從肯定假言命題 與前件 為真，從而肯定它的后件 為真的推理。其推理規(guī)則為： （2）否定式。否定式是從假言命題 與后件的否定 為真，從而得出它的前件的否定 為真的推理。其推理規(guī)則為： 三、歸納推理歸納推理，又稱歸納法。它是從一般性較小的前提，推出一般性較大的結論的推理。簡單地說，歸納推理是由個別、特殊到一般的推理。根據(jù)歸納的對象是否完備，歸納法可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。1.完全歸納法完全歸納法，是根據(jù)某類事物中每一個對象的情況或每一個子類的情況，而作出該類事物的一般性結論的推理。完全歸納法的兩種推理形式：具有性質(zhì) ； 和 具有性質(zhì) ；具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 類事物具有性質(zhì) 類事物具有性質(zhì) 例如，圓周角定理（一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）的證明。已知： 中，弧 所對的圓周角是 ，圓心角是 。求證： 。證明時應分圓心 在 的一邊上，在 的內(nèi)部，在 的外部三種情況分別進行證明，然后再用完全歸納法得出結論： 。如果只證明了其中一種情況，就下結論，那就犯了“以偏概全”的錯誤。 完全歸納法考察了某類事物的每一個對象，或每一子類的情況，如果它的前提是真的，那么它的結論也一定是真的。所以，完全歸納法是一種嚴格的推理證明方法。2.不完全歸納法不完全歸納法，是根據(jù)對某類事物中的一部分對象的情況，而作出關于該類事物的一般性結論的推理。其推理形式是： 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 類事物具有性質(zhì) 由不完全歸納法得到的結論，只有或然的性質(zhì)，結論是否正確，還需經(jīng)過理論的證明或?qū)嵺`的檢驗。不完全歸納法雖然不是嚴謹?shù)耐评?，但在科學研究、數(shù)學教學或數(shù)學解題中有著積極的作用。首先，通過不完全歸納法，可以幫助人們提出問題、作出猜想、發(fā)現(xiàn)真理，數(shù)學中的許多重大的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，如多面體的“歐拉定理”、地圖著色的“四色定理”都是先用不完全歸納法得出，然后再進行嚴格證明的。其次，中學數(shù)學中的有些定理、公式、法則（特別是初中階段），由于嚴格證明比較困難，考慮到學生的可接受性，可以用不完全歸納法給出；或者先用不完全歸納法給出，再進行證明或驗證。第三，在解數(shù)學題時，常?？梢韵瓤疾靻栴}的一些特殊情形，用不完全歸納法探求解題的思路或猜測問題的答案、結論，然后再進行嚴格的推理和解答。四、類比推理類比推理又稱類比法。它是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同（或相似），從而推出它們的其他屬性也相同（或相似）的推理。簡單地說，類比推理是由特殊到特殊的推理。類比推理的推理形式是： 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) ； 具有性質(zhì) 用類比法得到的結論，雖然不一定都真實，但在人們的認識活動中仍有它的積極意義?？茖W上有不少重要的假說，是通過類比法提出來的；數(shù)學中有不少重要的發(fā)現(xiàn)是由類比法先提供線索的；生產(chǎn)實踐和科學實驗中許多創(chuàng)造發(fā)明，也是先受到類比法的啟發(fā)。因此，類比法仍不失為一種獲取新知識的重要工具。第三節(jié)數(shù)學證明一、證明的意義和結構證明是引用一些真實性的命題來確定某一命題真實性的思維形式。任何證明都由論題、論據(jù)和論證三部分組成。論題，是指需要確定其真實性的那個命題。論據(jù)，是指被用來作為證明的理由。論證，就是證明的過程。二、證明的規(guī)則 規(guī)則1 論題要明確。論題是證明的基本目標，只有把論題清楚、明確地表述出來，才能使證明有的放矢。 規(guī)則2 論題應當始終如一。根據(jù)同一律的，在證明過程中，論題應當始終同一，不得中途變更。違反這條規(guī)則的常見錯誤是偷換論題。 規(guī)則3 論據(jù)要真實。論據(jù)是確定論題真實性的理由。如果論據(jù)是假的，那就不能確定論題的真實性。違反這條規(guī)則的邏輯錯誤，叫做虛假論據(jù)。 規(guī)則4 論據(jù)不能靠論題來證明。論題的真實性是靠論據(jù)來證明的，如果論據(jù)的真實性又要靠論題來證明，那么結果什么也沒有證明。違反這條規(guī)則的邏輯錯誤，叫做循環(huán)論證。 規(guī)則5 論據(jù)必須能推出論題。證明是特殊的推理，因而論據(jù)必須是推出論題的充足理由。否則，從論據(jù)就推不出論題。違反這條規(guī)則的邏輯錯誤，叫做不能推出。 三、演繹證法與歸納證法 四、分析法與綜合法（參見第三講）五、直接證法與間接證法1.直接證法直接證法是從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。數(shù)學中的證明多數(shù)采用直接證法。直接證法的一般形式是本題條件結論已知定義已知公理已知定理2.間接證法間接證法不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或該證它的等價命題為真，以間接地證明論題的真實性。間接證法有反證法和同一法兩種。（1）反證法。反證法不直接證明命題“ ”，而是先肯定命題的條件 ，并否定命題的結論 ，即從原命題的否定式“ ”入手，由 與 合乎邏輯地推出一個矛盾的結果；根據(jù)矛盾律，兩個互相矛盾的命題，不能同真，必有一假，斷定原命題的否定式“ ”為假；從而，根據(jù)排中律，兩個互相矛盾的命題，不能同假，必有一真，由此肯定命題“ ”為真。用反證法證明命題“ ”的全過程和邏輯依據(jù)可以用下圖表示：（2）同一法。對于符合同一原理的命題，當證明有困難時，可以改證明和它等價的逆命題，只要它的逆命題正確，這個命題就成立。這種證明方法叫做同一法。同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。應用同一法證明時，一般可分以下幾個步驟： 第一步：作出符合命題結論的圖形。 第二步：證明所作圖形符合已知條件。 第三步：根據(jù)唯一性，確定所作圖形與已知圖形相同或重合。 第四步：斷定原命題的真實性。 同一法和反證法的適用范圍是不同的。 同一法只適用于符合同一原理的命題；而反證法則普遍適用，對于能夠用同一法證明的命題，一般都能用反證法證明。相關知識 6.1關系推理關系推理是根據(jù)對象間關系的邏輯性質(zhì)進行推演的推理，它的前提和結論都是關系命題。（1）對稱關系推理。根據(jù)對稱關系進行推演的推理，稱為對稱關系推理。其推理規(guī)則是： （關系 是對稱的）（2）傳遞關系推理。根據(jù)傳遞關系進行推演的推理，稱為傳遞關系推理。其推理規(guī)則是： （關系 是傳遞的） 6.2演繹證法與歸納證法1.演繹證法演繹證法是用演繹推理來證明論題的方法。也就是從包含在論據(jù)中的一般原理推出包含在論題中的個別、特殊事實。2.歸納證法,歸納證法是用歸納推理來證明論題的方法。也就是從包含在論據(jù)中的個別、特殊事實，推出包含在論題中的一般原理。 6.3反證法的步驟用反證法證明數(shù)學命題，一般包括下面三個步驟： 第一步：反設。假設命題結論不成立，即假定原結論的反面為真。 第二步：歸謬。由反設與已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯思維，得出矛盾結果。這里所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理、定義、定理、公式矛盾，與臨時假設矛盾，以及自相矛盾等各種情形。 第三步：存真。由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立。 6.4同一性命題（參見中學數(shù)學教材教法總論P9697）如果一個命題的條件所確定的對象與結論所斷定的對象是相同的，則此命題稱為同一性命題。同一性命題與它的逆命題是等價的。例如“等腰三角形頂角平分線是底邊上的中線，也是底邊上的高”。 條件中的“頂角平分線”與“底邊上的中線”或“底邊上的高”是同一事物。因此，這是一個同一性命題。 6.5同一法例題第六講 中學數(shù)學的邏輯基礎（2）一、填空題1.反證法的邏輯基礎是_和_ 。 2._ 是從一個或幾個已知命題，得出另一個新命題的思維形式。3.任何推理都包含_ 和_ 兩個部分。4._ 是引用一些真實性的命題來確定某一命題真實性的思維形式。5.間接證法有_ 和_ 兩種。6.證明的規(guī)則有_ 、_ 、_ 、_ 、_。 二、簡釋題1.矛盾律。2.排中律。3.演繹推理。4.歸納推理。5.邏輯公理及其推理規(guī)則。6.假言推理的肯定式。思考題1.舉例說明類比法在中學數(shù)學教學中的應用。用類比法得到的結論，雖然不一定都真實，但在人們的認識活動中仍有它的積極意義?？茖W上有不少重要的假說，是通過類比法提出來的；數(shù)學中有不少重要的發(fā)現(xiàn)是由類比法先提供線索的；生產(chǎn)實踐和科學實驗中許多創(chuàng)造發(fā)明，也是先受到類比法的啟發(fā)。因此，類比法仍不失為一種獲取新知識的重要工具。（請學員自己舉例說明）。 2.什么是同一法？用同一法證明勾股定理的逆命題。 如果一個命題的條件所確定的對象與結論所斷定的對象是相同的，則此命題稱為同一性命題。對于符合同一原理的命