【步步高】高三數(shù)學(xué)一輪 13.4 數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)檢測(cè) 理 （含解析）北師大版.doc

13.4 數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()a假設(shè)nk(kn)，證明nk1命題成立b假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk1命題成立c假設(shè)n2k1(kn)，證明nk1命題成立d假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk2命題成立解析a、b、c中，k1不一定表示奇數(shù)，只有d中k為奇數(shù)，k2為奇數(shù)答案d2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21 對(duì)于nn0 的正整數(shù) n 都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值 n0 應(yīng)取() a2 b3 c5 d6解析 分別令 n02,3,5, 依次驗(yàn)證即可答案 c3對(duì)于不等式n1(nn*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn*且k1)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()a過程全部正確bn1驗(yàn)得不正確c歸納假設(shè)不正確d從nk到nk1的推理不正確解析在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法答案d4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an1(a1，nn*)”時(shí)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是()a 1 b 1ac 1aa2 d 1aa2a3解析當(dāng)n1時(shí)，左邊1aa2，故選c.答案 c5用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()ak21b(k1)2c. d(k21)(k22)(k23)(k1)2解析當(dāng)nk時(shí)，左側(cè)123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左側(cè)123k2(k21)(k1)2，當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案d6下列代數(shù)式(其中kn*)能被9整除的是()a667k b27k1c2(27k1) d3(27k)解析 (1)當(dāng)k1時(shí)，顯然只有3(27k)能被9整除(2)假設(shè)當(dāng)kn(nn*)時(shí)，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.這就是說，kn1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知，命題對(duì)任何kn*都成立答案 d7用數(shù)學(xué)歸納法證明1，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()a. bc. d.解析當(dāng)nk時(shí)，左側(cè)1，當(dāng)nk1時(shí)，左側(cè)1.答案c二、填空題8對(duì)大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根據(jù)上述分解規(guī)律，若n213519, m3(mn*)的分解中最小的數(shù)是21，則mn的值為_解析 依題意得 n2100, n10. 易知 m321m2, 整理得(m5)(m4)0, 又 mn*, 所以 m5, 所以mn15.答案 159.用數(shù)學(xué)歸納法證明：；當(dāng)推證當(dāng)nk1等式也成立時(shí)，用上歸納假設(shè)后需要證明的等式是.解析 當(dāng)nk1時(shí)，故只需證明即可.答案 10如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n(nn*)行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是_111121133114641解析所有數(shù)字之和sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.答案2n2n11在數(shù)列an中，a1且snn(2n1)an，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是_解析當(dāng)n2時(shí)，a1a26a2，即a2a1；當(dāng)n3時(shí)，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.答案an12用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kn*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真解析 n為正奇數(shù)，假設(shè)n2k1成立后，需證明的應(yīng)為n2k1時(shí)成立答案 2k1三、解答題13用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.證明 (1)當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊(1)01，原等式成立(2)假設(shè)nk(kn*，k1)時(shí)，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，當(dāng)nk1時(shí)，則有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，nk1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)得對(duì)任意nn*有12223242(1)n1n2(1)n1.14已知數(shù)列an中，a1a(a2)，對(duì)一切nn*，an0，an1.求證：an2且an1an.證明法一an10，an1，an220，an2.若存在ak2，則ak12，由此可推出ak22，a12，與a1a2矛盾，故an2.an1an0，an1an.法二(用數(shù)學(xué)歸納法證明an2)當(dāng)n1時(shí)，a1a2，故命題an2成立；假設(shè)nk(k1且kn*)時(shí)命題成立，即ak2，那么，ak1220.所以ak12，即nk1時(shí)命題也成立綜上所述，命題an2對(duì)一切正整數(shù)成立an1an的證明同上15已知數(shù)列an中，a11，an1c.(1)設(shè)c，bn，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范圍解析(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c2時(shí)，anan1.()當(dāng)n1時(shí)，a2ca1，命題成立；()設(shè)當(dāng)nk(k1且kn*)時(shí)，akak1，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2ccak1.故由()()知當(dāng)c2時(shí)，anan1.當(dāng)c2時(shí)，因?yàn)閏an1an，所以acan10有解，所以an，令，當(dāng)2c時(shí)，an3.當(dāng)c時(shí)，3，且1an，于是an1(an)(an)(an1)(1)當(dāng)nlog3時(shí)，an13，an13，與已知矛盾因此c不符合要求所以c的取值范圍是.16是否存在常數(shù)a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對(duì)于一切nn*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由解析假設(shè)存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)對(duì)于一切nn*都成立當(dāng)n1時(shí)，a(bc)1；當(dāng)n2時(shí)，2a(4bc)6；當(dāng)n3時(shí)，3a(9bc)19.解方程組解得證明如下：當(dāng)n1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立假設(shè)nk(kn*)時(shí)等式成立，即122232k2(k1)22212k(2