第2章1-3時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析.ppt

第二章時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 TheFrequency domainAnalysisoftheDiscreteTimeSignal System 內(nèi)容提要 時(shí)域離散信號的傅里葉變換周期序列的傅里葉級數(shù)序列的Z變換討論Z變換的定義和收斂域逆Z變換Z變換的定理和性質(zhì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及特點(diǎn) 信號和系統(tǒng)的分析方法 時(shí)域分析和頻域分析模擬信號 連續(xù)時(shí)間函數(shù)表示信號 微分方程表示系統(tǒng) FT或LT表示其頻域時(shí)域離散信號 序列表示信號 差分方程描述系統(tǒng) FT或Z變換表示其頻域 2 2 1時(shí)域離散信號的傅里葉變換 而f j 的傅里葉反變換定義為 連續(xù)時(shí)間信號f t 的傅里葉變換定義為 時(shí)域離散信號x n 的傅里葉變換定義為 X ej 的傅里葉反變換定義為 在物理意義上 X ej 表示序列x n 的頻譜 為數(shù)字域頻率 X ej 一般為復(fù)數(shù) 可用它的實(shí)部和虛部表示為 或用幅度和相位表示為 2 2 1 例2 9求下列信號的傅里葉變換 解 時(shí)域離散信號的傅里葉變換具有以下兩個(gè)特點(diǎn) 1 X ej 是以2 為周期的 的連續(xù)函數(shù) 2 當(dāng)x n 為實(shí)序列時(shí) X ej 的幅值 X ej 在0 2 區(qū)間內(nèi)是偶對稱函數(shù) 相位arg X ej 是奇對稱函數(shù) Note 并不是任何序列x n 的傅里葉變換都是存在的 條件 只有當(dāng)序列x n 絕對可和 即 時(shí) 式 2 2 1 中的級數(shù)才是絕對收斂的 或x n 的傅里葉變換存在 1 FT的周期性 2 2 2時(shí)域離散信號傅里葉變換的性質(zhì) n M為整數(shù) 2 2 6 因此序列的傅里葉變換是頻率 的周期函數(shù) 周期是2 X ej 是傅里葉級數(shù)的形式 x n 是其系數(shù) 2 線性 設(shè) 則 3 時(shí)移和頻移特性 設(shè) 則 2 2 8 2 2 9 4 序列的折疊 設(shè) 則 5 序列乘以n 設(shè) 則 6 序列的復(fù)共軛 設(shè) 則 7 序列的傅里葉變換的對稱性 首先定義兩個(gè)對稱序列 共軛對稱序列xe n 定義為xe n xe n 共軛反對稱序列xo n 定義為xo n xo n 此處上標(biāo) 表示復(fù)共軛 其中 共軛對稱序列的實(shí)部是偶函數(shù) 而虛部是奇函數(shù)共軛反對稱序列的實(shí)部是奇函數(shù) 而虛部是偶函數(shù) 序列的傅里葉變換X ej 可以被分解成共軛對稱與共軛反對稱兩部分之和 即 其中 FT的對稱性 a 將序列x n 分成實(shí)部xr n 與虛部xi n x n xr n jxi n 將上式進(jìn)行FT 得到X ej Xe ej Xo ej 式中 結(jié)論 序列分成實(shí)部與虛部兩部分 實(shí)部的FT具有共軛對稱性 虛部和j一起對應(yīng)的FT具有共軛反對稱性 b 將序列分成共軛對稱部分xe n 和共軛反對稱部分xo n 即x n xe n xo n 2 2 25 其中 將上面兩式分別進(jìn)行FT 得到FT xe n 1 2 X ej X ej Re X ej XR ej FT xo n 1 2 X ej X ej jIm X ej jXI ej 結(jié)論 序列的共軛對稱部分xe n 對應(yīng)著FT的實(shí)部XR ej 而序列的共軛反對稱部分xo n 對應(yīng)著FT的虛部 包括j 所以 X ej XR ej jXI ej 2 2 26 分析實(shí)序列h n 的對稱性FT只有共軛對稱部分He ej 共軛反對稱部分為零 H ej He ej H ej H e j 實(shí)序列的FT的實(shí)部是偶函數(shù) 虛部是奇函數(shù) 用公式表示為HR ej HR e j HI ej HI e j 實(shí)序列h n 分解為共軛對稱部分和共軛反對稱部分 h n he n ho n 則 he n 1 2 h n h n ho n 1 2 h n h n 因?yàn)閔 n 是實(shí)因果序列 2 2 27 2 2 28 實(shí)因果序列h n 分別用he n 和ho n 表示為h n he n u n 2 2 29 h n ho n u n h 0 n 2 2 30 2 2 31 8 序列的卷積 設(shè) 則 9 序列相乘 設(shè) 則 10 Parseval定理 帕斯維爾定理告訴我們 信號時(shí)域的總能量等于頻域的總能量 2 3周期序列的離散傅里葉級數(shù) 2 3 1定義 設(shè)是以N為周期的周期序列 由于是周期性的 可以展成傅里葉級數(shù) 2 3 1 求傅里葉級數(shù)的系數(shù)ak k 2 3 3 取整數(shù) 因?yàn)?所以系數(shù)ak也是周期序列 滿足ak ak lN 令 也是一個(gè)以N為周期的周期序列 稱為的離散傅里葉級數(shù) 用DFS DiscreteFourierSeries 表示 上式兩端乘以 并對k在一個(gè)周期中求和 得到 2 3 5 可得 式 2 3 6 和式 2 3 7 稱為一對DFS 2 3 5 式