全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽二試模擬訓(xùn)練題(40)(1).doc

加試模擬訓(xùn)練題（40）1、 abc具有下面性質(zhì)：存在一個(gè)內(nèi)部的點(diǎn)p使pab10，pba20，pca30，pac40證明：abc是等腰三角形2、求適合以下條件的所有函數(shù)f：1，)(1，)：(1)f(x)2(x1)；(2)f(x1)f2(x)1/x3、 設(shè)項(xiàng)鏈a有珠14顆，b有珠19顆對(duì)奇數(shù)n1，用n，n1，n2，n32給這33顆珠編號(hào)，使每個(gè)整數(shù)恰用一次，且相鄰之珠編號(hào)互素，試證最少有6種可行方法4、 數(shù)，且滿(mǎn)足證明。加試模擬訓(xùn)練題（40）1、 abc具有下面性質(zhì)：存在一個(gè)內(nèi)部的點(diǎn)p使pab10，pba20，pca30，pac40證明：abc是等腰三角形（第25屆(1996年)美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題5）解 作ac邊上的高bd，又作aq使qad30，aq交bd于q，連pq設(shè)直線pq交ac于c因?yàn)閎ad104050，所以abd905040，pbq40pba20pba，paqpacqad10pab，從而p是abq的內(nèi)心，pqapqb(1804020)60pcapqaqac30，而pca30，所以c與c重合從而qaqc，qd平分ac，babc 2、求適合以下條件的所有函數(shù)f：1，)(1，)：(1)f(x)2(x1)；(2)f(x1)f2(x)1/x【題說(shuō)】1994年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(第九屆數(shù)學(xué)冬令營(yíng))題3【解】易見(jiàn)，函數(shù)f(x)x1滿(mǎn)足條件下面證明這是唯一符合要求的函數(shù)令 g(x)f(x)(x1)，由(2)，有|g(x1)|f(x1)(x2)|因f(x)1，故又由1f(x)2(x1)，得xg(x)x1 (2)代入(1)，得代入(1)，得因此，對(duì)任何自然數(shù)n，都有令n，就得 g(x)0從而f(x)x1是滿(mǎn)足本題條件的唯一函數(shù)3、 設(shè)項(xiàng)鏈a有珠14顆，b有珠19顆對(duì)奇數(shù)n1，用n，n1，n2，n32給這33顆珠編號(hào)，使每個(gè)整數(shù)恰用一次，且相鄰之珠編號(hào)互素，試證最少有6種可行方法【題說(shuō)】 第三屆(1993年)澳門(mén)數(shù)學(xué)奧林匹克第二輪題5【證】 a的珠順次編為nk，nk1，nk13b的珠順次編為nk14，nk15，n32，n，n1，nk1，1k18當(dāng)且僅當(dāng)(nk，nk13)(n32，n)(nk1，nk14)1即 (nk，13)(n，32)(nk1，15)1 (*)時(shí)，編號(hào)合乎要求因?yàn)閚為奇數(shù)，(n，32)1，顯然成立18個(gè)連續(xù)值中至少2個(gè)k能使13|nk，恰有6個(gè)能使3|nk1，至多4個(gè)能使5|十k1，故使(*)不成立的至多26412個(gè)值，即至多有6個(gè)值能使(*)成立注：因?yàn)檫B續(xù)15個(gè)數(shù)中有8個(gè)數(shù)與15互素，連續(xù)3個(gè)數(shù)中必有一個(gè)與15互素(3的倍數(shù)與5的倍數(shù)至多各1個(gè))故k的18個(gè)連續(xù)值中至少有9個(gè)使nk1與15互素，故最小有7種可行的編號(hào)法，7是最佳值令n99，則恰好只有m3，6，8，9，11，14，15這7個(gè)數(shù)能使(*)成立3、 數(shù)，