解析幾何中計算方法與技巧.docx

解析幾何中計算方法與技巧 高考中解析幾何綜合題要求具有較強的計算能力,常規(guī)的解題方法必須熟練掌握,在此基礎上積累計算經驗，掌握計算技巧，則解析幾何定可得到高分。一、巧用韋達定理簡化運算1、過二次曲線C上一點P（x0，y0）作直線l，求l與C另一交點。例1：求直線y=kx+k與橢圓+y2=1的交點坐標。2、合二為一的整體運算例2：過點P（-1，2）作圓C：（x-1）2+y2=1的兩條切線，求兩條切線的斜率和。例3：過點P（x0，-）作拋物線y=x2的兩條切線，求證：切點弦過定點。例4：拋物線y2=2x上動點P，過點P作C：（x-1）2+y2=1的切線PM，PN分別交y軸于M，N兩點，求PMN面積的最小值。例5：過拋物線x2=2y的焦點作斜率分別為k1、k2的兩條直線l1和l2，若l1交拋物線于A、B兩點，l2交拋物線于C、D兩點。以線段AB為直徑作圓C1，以CD為直徑作圓C2。若k1+k2=2，求兩圓C1與C2的公共弦所在直線方程。二、利用計算的對稱性避免重復運算引例：過原點O作拋物線y2=2px的兩條互相垂直的弦OA與OB，求證：AB直線過定點。例1：設橢圓E：+y2=1上一點A（1，），過A作兩條關于平行y軸的直線對稱的兩條直線AC，AD交橢圓E于另兩點C和D。求證：CD直線的方向確定。例2：設曲線C1：+y2=1與曲線C2：y=x2-1。C2的頂點為M，過原點O的直線l與C2相交于A、B兩點，直線MA、MB分別與C1相交于D、E。（1）證明：MDME；（2）若MAB，MDE的面積分別為S1、S2，問是否存在直線l使得=？例3：設橢圓+=1的左焦點F，點A、B是橢圓上的兩點，滿足，求A、B兩點距離。例4：一條斜率為1的直線l與離心率為的雙曲線E：-=1（a0, b0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R，且=-3，=3（1）求雙曲線方程；（2）若F是雙曲線的右焦點，M與N是E上的兩點，且=，求實數的取值范圍。例5：設A、B是橢圓+=1（a b 0）上兩點，O為原點，且OAOB，求AOB面積的最大值與最小值。例6：若橢圓+=1（a b 0）上任兩點A、B，O為原點，求AOB面積S的最大值。三、活用圖形的幾何性質，則計算變得更為輕巧 我們知道解析幾何的基本任務之一是用代數的方法討論圖形的幾何性質，也就是說曲線的幾何性質不明顯時必須用計算的辦法加以討論，反之幾何性質明顯時可大大簡化計算。引例1：若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓+=1總有公共點，求m范圍。引例2：雙曲線-=1（a0， b0）的兩焦點為E、F，MEF為等邊三角形。若線段ME的中點N在雙曲線上，求雙曲線的離心率。例1：設圓C與兩圓(x+)2 +y2=4，(x-)2 +y2=4中的一個內切，另一個外切（1）求圓心C的軌跡L的方程；（2）已知點M（，），F（，0），若點P是L上的動點，求|MP|-|FP|的最大值及此P點坐標。例2：設橢圓+=1（a b0）的右頂點為A，若橢圓上存在一點P使OPA=90（O為原點），求橢圓離心率的取值范圍。例3：拋物線y2=4x與圓(x-a)2+y2=a2有唯一公共點，求a的取值范圍。例4：已知拋物線C：y2=4x的焦點F，過點K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，若點A關于x軸的對稱點為D（1）證明：點F在直線BD上；（2）設=，求BDK的內切圓方程。例5：設F1、F2分別是橢圓E：+=1（a b 0）的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l交E于A、B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數列（1）求E的離心率；（2）設P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程。例6：曲線C1上的點均在圓C2：(x-5)2+y2=9外，且對C1上任一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點距離的最小值。（1）求曲線C1的方程；（2）設P（x0，y0）（y03）為C2外任一點，過P點作C2的兩條切線，分別與C1相交于A、B和C、D，當P在直線x=-4上運動時