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第3章 計算機控制系統(tǒng)分析學(xué)習(xí)重點說明1本章學(xué)習(xí)要求與重點本章重點介紹計算機控制系統(tǒng)的分析方法。依據(jù)自動控制原理，對一個動態(tài)系統(tǒng)特性的分析方法包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)精度等方面的分析，其中動態(tài)特性分析又包括時間響應(yīng)、頻率特性和系統(tǒng)零極點分析，而穩(wěn)態(tài)精度分析一般使用穩(wěn)態(tài)誤差分析方法。對于一個計算機控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)特性與動態(tài)特性分析是衡量和評估計算機控制系統(tǒng)性能的有效工具，所有上述分析方法都將轉(zhuǎn)換為離散控制系統(tǒng)分析方法加以應(yīng)用。因此，學(xué)習(xí)、理解和應(yīng)用這些分析方法，是掌握對計算機控制系統(tǒng)分析技術(shù)的重要內(nèi)容。學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意掌握下述重點內(nèi)容。1）復(fù)數(shù)域分析復(fù)數(shù)域分析重點掌握s平面與z平面的映射關(guān)系，這種映射關(guān)系分析方法在很多復(fù)數(shù)域描述的系統(tǒng)分析中是很重要有效的一方法，如直角坐標與極坐標分析、第四章的各種離散化方法、第五章的w域分析等方法中均得到了應(yīng)用，因此掌握這種分析方法對于后面的學(xué)習(xí)和在未來工作學(xué)習(xí)中的進一步應(yīng)用研究都是很有益處的。復(fù)數(shù)域分析的基本概念是依據(jù)z變換公式。點的映射、各種線的映射和角度的映射等，應(yīng)通過詳細閱讀相關(guān)內(nèi)容、自行完成書中公式推導(dǎo)。其中：（1）一個特殊點是s平面的簡單直線或圓，映射到z平面后幾乎都是曲線或更為復(fù)雜的曲線，這是由于z變換公式較為復(fù)雜造成的。（2）另一個特殊點如教材圖3-3圖3-6所示，s平面的主帶與旁帶的映射，即z變換將s左平面以帶的形式重復(fù)地映射到z平面單位圓內(nèi)，這是由于z變換的多值性，寫成幅值和相角的形式后，s平面上具有相差2p相角的點映射到z平面的一點上了。 (3)要清楚地了解s平面上特殊的等阻尼線、等頻率線及等衰減率線在z平面上映射的曲線形狀。2）穩(wěn)定性分析(1)要牢記離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù), 離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定決定于它的極點是否在z平面單位圓內(nèi)。這可以從第二章差分方程解的收斂性得到證明，只有極點在z平面單位圓內(nèi)，即離散系統(tǒng)的極點模值小于1，差分方程的解才會收斂，可以說，不論離散系統(tǒng)是從連續(xù)系統(tǒng)變換過來的（如z變換）還是純離散系統(tǒng)（只能用差分方程或離散傳遞函數(shù)描述），其穩(wěn)定性唯一反映為特征值位于單位圓內(nèi)。(2) 另外一點是要掌握離散系統(tǒng)的代數(shù)判據(jù),即通過特征多項式的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。與連續(xù)系統(tǒng)不同, 離散系統(tǒng)的代數(shù)判據(jù)是利用特征多項式的系數(shù)判斷特征根是否位于單位圓內(nèi).最常用的是朱利判據(jù)。在使用代數(shù)判據(jù)時應(yīng)分兩步進行,首先應(yīng)利用必要條件判斷穩(wěn)定性,如果不滿足必要條件,則沒有必要利用朱利判據(jù)進行判斷。要記住穩(wěn)定性必要條件是 在滿足必要條件后需進一步構(gòu)造朱利表進行穩(wěn)定性判斷。為了后續(xù)的學(xué)習(xí),要牢記二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性充要條件: 當(dāng)前由于MATLAB軟件的流行，其控制工具箱可以很方便地求解離散系統(tǒng)特征值，因此可以直接通過求解特征根判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。但這樣做不易判斷系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。(3) 要清楚地了解,由連續(xù)系統(tǒng)變換得到的離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，比原連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性要差，如果采樣周期T過大，甚至?xí)兊貌环€(wěn)定，因此，對于這種系統(tǒng)要研究變換后的穩(wěn)定性及參數(shù)的穩(wěn)定范圍，其中采樣周期T是一個重要的因素。 3）穩(wěn)態(tài)誤差分析(1) 要了解離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差定義及其計算方法與連續(xù)系統(tǒng)相同. 要記住離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的基本計算方法是利用z變換中終值定理。 (2) 與連續(xù)系統(tǒng)類似, 離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差主要是依據(jù)系統(tǒng)前向通道中的積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，將系統(tǒng)分為0型、I型、II型，與連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)論也相同。要記住系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的定義及求取方法。(3) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號的形式有關(guān)，對于一個帶有指令輸入和干擾輸入的系統(tǒng)，由于該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差分析可以針對指令輸入和干擾輸入分別進行，再將結(jié)果相加得出系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。也可以對系統(tǒng)專門作干擾誤差分析，即設(shè)指令輸入為零就行了。(4) 最后，采樣周期是否會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差？要記住對于具有零階保持器的系統(tǒng)來說,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期無關(guān)。(5) 要記住在求取穩(wěn)態(tài)誤差時必須要保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的,如尚不知系統(tǒng)是否穩(wěn)定時,就必須先判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定,如若系統(tǒng)不穩(wěn)定就無必要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。此外,要記住穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大,并不表明系統(tǒng)不穩(wěn)定,僅表明系統(tǒng)不能跟蹤輸入信號。(6) 要了解本節(jié)所討論的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的原理誤差。實際工程系統(tǒng)中還存在許多由系統(tǒng)部件所引入的工藝誤差。4）時間響應(yīng)分析系統(tǒng)的時間特性分析是通過時間響應(yīng)分析完成的。與連續(xù)系統(tǒng)相同，離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)也反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，因此是一種很有力的分析工具。（1）極點位置與時間響應(yīng)了解極點位置與時間響應(yīng)的關(guān)系可以幫助我們簡潔、直觀地通過系統(tǒng)的極點位置了解系統(tǒng)的特性，這一點對于掌握線性系統(tǒng)的分析技術(shù)是很有用處的。離散系統(tǒng)極點位置與時間響應(yīng)的關(guān)系直接來自于z變換，重點參考教材圖3-17（a）、（b）。其中，圖（a）中的z右半平面的點（正實極點）對應(yīng)單調(diào)過渡過程，其他點和圖（b）中的各點都對應(yīng)振蕩過程；依據(jù)點在圓內(nèi)、圓上和圓外又對應(yīng)為收斂（穩(wěn)定）、臨界振蕩（臨界穩(wěn)定）和發(fā)散（不穩(wěn)定）過程。這一點與連續(xù)系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)極點在s平面實軸上（實極點）為單調(diào)過程，到了離散系統(tǒng)就只有正實軸上的極點對應(yīng)單調(diào)過程了。要記住不同極點位置對時間響應(yīng)形狀、振蕩頻率及收斂速度的影響,如教材圖3-17（c）所示。特別應(yīng)記住極點位于z平面原點時,它對應(yīng)的時間響應(yīng)將是最短的,即一個采樣周期即達到穩(wěn)態(tài)。（2）時間響應(yīng)的計算 離散系統(tǒng)時間響應(yīng)的計算可以用z反變換或長除法（傳遞函數(shù)描述）、解差分方程法（差分方程描述）；也可以利用MATLAB命令求解或構(gòu)建Simulink方塊圖完成仿真運算求解。5）頻率響應(yīng)分析頻率特性從另一個角度描述了系統(tǒng)的特性，與連續(xù)系統(tǒng)類似,利用系統(tǒng)頻率特性特別是開環(huán)頻率特性可以分析和評價系統(tǒng)的相關(guān)特性。重點應(yīng)注意掌握:(1) 要求掌握利用開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判別方法;(2) 特別應(yīng)掌握相對穩(wěn)定性的檢驗方法,即利用相位裕度及幅值裕度判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。(3) 與連續(xù)系統(tǒng)類似, 開環(huán)頻率特性形狀及三頻段概念均可用于離散系統(tǒng)動靜特性分析。2 重點與難點問題說明 1) 注意s平面向z平面的映射是唯一的映射,反過來,z平面上的點向s平面上映射不是唯一的,而是呈現(xiàn)多值周期特性。實際上應(yīng)注意 由于 ,所以, ;而,所以,顯然,當(dāng)z平面一個點確定后,及一定,則s平面則為無窮多個實部相同虛部呈周期變化的點。 2) 通常系統(tǒng)是高階系統(tǒng),非主導(dǎo)極及零點對系統(tǒng)響應(yīng)亦有影響,但與時間響應(yīng)的性能指標影響比較復(fù)雜。近似分析表明，如果非主導(dǎo)極點位于單位圓的正實軸上及零點位于負實軸上將會減少超調(diào)量，但將會增大峰值時間。 3) 在利用朱利判據(jù)進行穩(wěn)定性判定時,如果朱利表中有某行全為零時則無法繼續(xù)計算下去,此時應(yīng)將特征方程各項系數(shù)預(yù)先加一微小偏移量,再重新列朱利表進行計算。 4) 采樣周期對系統(tǒng)暫態(tài)的影響 采樣周期對系統(tǒng)暫態(tài)有較大影響。研究表明,如果是欠阻尼狀態(tài),在系統(tǒng)欠阻尼正弦振蕩的一個周期內(nèi)應(yīng)采樣810次,在過阻尼系統(tǒng)中,在階躍響應(yīng)的上升時間應(yīng)采樣810次。應(yīng)當(dāng)指出,只有采樣頻率足夠高,二階系統(tǒng)阻尼比才是單位階躍響應(yīng)最大超調(diào)量標志;如果采樣頻率不夠高, 單位階躍響應(yīng)最大超調(diào)量將比由阻尼比預(yù)示的大得多。例如,一個閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 如取k=2,采樣周期分別取為T=0.5s、1s、2s時,可以計算求得閉環(huán)極點阻尼比分別為,單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖3-1所示。由圖可見,當(dāng)T=0.5s時,一個振蕩周期內(nèi)采樣點數(shù)大于6次,系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量與閉環(huán)極點阻尼比所預(yù)示的超調(diào)量一致。如采樣周期增大,盡管阻尼比增大,但超調(diào)量亦增大。圖3-1 k=2,不同采樣周期時單位階躍響應(yīng)曲線 5) 在用MATLAB求解頻率特性時如沒有顯示出離散系統(tǒng)頻率特性的周期變化，那可能是因為選用的指令較為簡單，沒有給出計算的頻帶范圍，MATLAB軟件僅計算了一個周期就自行停止了,只要增大計算的頻率范圍就可顯示出頻率特性的周期性。 6) 由于離散系統(tǒng)頻率特性的周期性，因此所繪制的頻率特性曲線在頻率高于的頻率范圍內(nèi)仍有可能出現(xiàn)幅值等于1及相位等于的頻率點，因此，仍可計算求得相位及幅值裕度，如圖3-2所示,但應(yīng)用時仍采用主帶內(nèi)的結(jié)果。 圖3-2 頻率特性 7）判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性