全等三角形.第5講.軸對稱和等腰三角形.教師版.docVIP

第五講軸對稱和等腰三角形中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求等腰三角形了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題會運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關(guān)問題知識點(diǎn)睛等腰三角形1 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形2 等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形3 等腰三角形的性質(zhì)：(1)兩腰相等(2)兩底角相等(3)“三線合一”，即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(4)是軸對稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對稱軸線段的垂直平分線：性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等判定定理：與線段的兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，線段的垂直平分線可以看做是和線段兩個端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合4 等腰三角形的判定：(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形5 等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于6 等邊三角形的判定： (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形 (2)三個角都相等的三角形是等邊三角形 (3)有一個角是的等腰三角形是等邊三角形7 等腰直角三角形的性質(zhì)：頂角等于，底角等于，兩直角邊相等等腰直角三角形的判定：(1)頂角為的等腰三角形(2)底角為的等腰三角形軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形這條直線就是它的對稱軸這時(shí)我們就說這個圖形關(guān)于這條直線(或軸)對稱如下圖，是軸對稱圖形兩個圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)如下圖，與關(guān)于直線對稱，叫做對稱軸和，和，和是對稱點(diǎn)軸對稱圖形和兩個圖形軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系：軸對稱圖形兩個圖形軸對稱區(qū)別圖形的個數(shù)1個圖形2個圖形對稱軸的條數(shù)一條或多條只有1條聯(lián)系二者都的關(guān)于對稱軸對稱的對稱軸的性質(zhì)：對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段即：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線如圖，直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并且垂直于線段，則直線就是線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等如圖，點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)，則線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法：如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線因此，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸成軸對稱的兩個圖形的主要性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形全等如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線軸對稱變換的方法應(yīng)用：軸對稱變換是通過作圖形關(guān)于一直線的對稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對稱地移動到一個新的位置上，使圖形中的分散條件和結(jié)論有機(jī)地聯(lián)系起來常用的輔助線有角平分線條件時(shí)的各種輔助線，本質(zhì)上都是對稱變換的思想軸對稱變換應(yīng)用時(shí)有下面兩種情況：圖形中有軸對稱圖形條件時(shí)，可考慮用此變換；圖形中有垂線條件時(shí)，可考慮用此變換重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索等腰三角形“等邊對等角”和“三線合一”的性質(zhì)，這兩個性質(zhì)對于平面幾何中的計(jì)算，以及以后的證明都有很大的幫助 難點(diǎn)：等腰三角形關(guān)于底和腰，底角和頂角的計(jì)算問題，由于等腰三角形底和腰，底角和頂角性質(zhì)性質(zhì)特點(diǎn)很容易混淆，而且他們在用法和討論上很有考究，只能在練習(xí)中加以訓(xùn)練。運(yùn)用軸對稱變換來解決實(shí)際題目，以及軸對稱的生活中的實(shí)際運(yùn)用例題精講板塊一、等腰三角形及軸對稱的認(rèn)識【例1】 下列兩個命題：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；如果一個等腰三角形有一個內(nèi)角是，那么這個等腰三角形一定是等邊三角形則以下結(jié)論正確的是( )A只有命題正確 B只有命題正確C命題、都正確 D命題、都不正確【解析】 C【例2】 如圖，在 中，于請你再添加一個條件，就可以確定是等腰三角形你添加的條件是 【解析】 或平分或【例3】 (2006年揚(yáng)州中考)如圖，在中，、分別是、上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，給出下列四個條件：；(1)上述四個條件中，哪兩個條件可判定是等腰三角形(用序號寫出所有情況)；(2)選擇第小題中的一種情形，證明是等腰三角形【解析】 (1)，四種情況可判定是等腰三角形(2)下面以兩個條件證明是等腰三角形，是等腰三角形【例4】 如圖，分別平分，問：圖中有幾個等腰三角形？過點(diǎn)作，如圖，交于，交于，圖中又增加了幾個等腰三角形？如圖，若將題中的改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個等腰三角形？線段與、有什么關(guān)系？如圖，平分，平分外角交于，交于線段 與、有什么關(guān)系？如圖，、為外角、的平分線，交延長線于，交 延長線于，線段與、有什么關(guān)系？ 【解析】 圖中有兩個等腰三角形：、圖中又增加了三個等腰三角形：、圖中有兩個等腰三角形：、，由于，故圖所示中仍有兩個等腰三角形、從而，又，故如圖所示與類似，【例5】 (08年廣東省)下列圖形中是軸對稱圖形的是 ( )【解析】 C 【例6】 (09湖南株洲)下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是( )A B C D【解析】 【例7】 (2004瀘州)下列各種圖形不是軸對稱圖形的是( )【解析】 C【補(bǔ)充】如圖，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱【解析】 軸對稱圖形：1，3，4，6，8，10成軸對稱的圖形有：2，5，7，9【例8】 (上海)正六邊形是軸對稱圖形，它有 條對稱軸【解析】 點(diǎn)撥：可以畫出例圖進(jìn)行分析，明確正邊形有條對稱軸板塊二、等腰三角形的性質(zhì)【例9】 (2008烏魯木齊)某等腰三角形的兩條邊長分別為和，則它的周長為( )A或【解析】 【補(bǔ)充】已知等腰三角形的周長為，一腰長是底邊長的倍，則腰長是( ) A B C D【解析】 B【例10】 (2008沈陽)若等腰三角形中有一個角等于，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為()A或或【解析】 【補(bǔ)充】(2007重慶中考)已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為( )A B C或 D【解析】 當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殁g角時(shí)，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時(shí)頂角為；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時(shí)頂角為故選【例11】 (2007四川自貢中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為，則該三角形的一個底角為( )A B C或 D或【解析】 C【補(bǔ)充】(2006自貢)從等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)分別作兩腰的平行線，與兩腰所圍成的平行四邊形的周長等于三角形的( )A兩腰長的和周長一半周長 一腰長與底邊長的和【解析】 A【補(bǔ)充】(2000年常州市中考題)已知等腰三角形一腰上的中線將它們的周長分為9和12兩部分，求腰長和底長【解析】 設(shè)這個三角形的腰長為，底長為，則，解得，或，解得，而8，8，5和6，6，9均能組成等腰三角形注意等腰三角形中的分類討論【例12】 (05年青島中考題)已知等腰三角形的周長為12，腰長為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【補(bǔ)充】已知等腰三角形的周長為20，三邊長為整數(shù)，求底邊長【解析】 設(shè)腰長為，且，解得，則腰長為6、7、8、9，對應(yīng)的底邊長為8、6、4、2【例13】 已知是等腰一腰上的高，且，求三個內(nèi)角的度數(shù)【解析】 若為鈍角三角形時(shí)，為頂角時(shí)，三內(nèi)角大小為140，20，20；若為鈍角三角形時(shí)，為底角時(shí)，三內(nèi)角大小為100，40，40；若為銳角三角形時(shí)，為頂角，三內(nèi)角大小為40，70，70【例14】 在中，求【解析】 設(shè)，則，在中，可得，【補(bǔ)充】在中，求【解析】 設(shè)，則，在中，解得【例15】 的兩邊和的垂直平分線分別交于、，若，求【解析】 根據(jù)題意可得：，則即，解得【例16】 如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，則是等邊三角形；當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？【解析】 分三種情況討論：要使，需，要使，需，要使，需綜上所述：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或或時(shí)，是等腰三角形【例17】 (河南省數(shù)學(xué)競賽)如圖，在中，在上，在上取一點(diǎn)，使得，求的度數(shù)【解析】 由題設(shè)，及三角形外角定理，即，有而故，即【例18】 如圖，為等邊三角形，延長到，又延長到，使，連接，求證：為等腰三角形【解析】 延長到，使得，連接為等邊三角形， 又為等邊三角形 ， 【例19】 如圖，在中，為銳角，分別為邊、上的點(diǎn)，滿足，且求證： 【解析】 分析若，則問題迎刃而解直接證明困難，可考慮反證法若，則在上取一點(diǎn)，使，連接交于，連接在與中，故于是有，所以，從而，故從而有但另一方面，由于，知，所以從而矛盾故假設(shè)不成立若，同法可證假設(shè)不成立綜上所述，于是由知，從而說明：在某些平面幾何問題的證明中，反證法也是常用的方法板塊三、軸對稱在幾何最值問題中的應(yīng)用【例20】 已知點(diǎn)在直線外，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，探究是否存在一個定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請作出定點(diǎn)；若不存在，請說明理由【解析】 點(diǎn)與點(diǎn)重合，或者點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【例21】 如圖，在公路的同旁有兩個倉庫、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個位置比較合理？【解析】 答案見右上圖【補(bǔ)充】若此題改成，在上找到、兩點(diǎn)，且，在的左邊，使四邊形的周長最短 【解析】 見右上圖【例22】 (”五羊杯”邀請賽試題)如圖，角內(nèi)有點(diǎn)，在角的兩邊有兩點(diǎn)、(均不同于點(diǎn))，求作、，使得的周長的最小 【解析】 見右上圖【補(bǔ)充】如圖，、為的邊、上的兩個定點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使的周長最短 【解析】 見右上圖【例23】 (2000年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽)如圖，設(shè)正的邊長為2，是邊上的中點(diǎn)，是邊上的任意一點(diǎn)，的最大值和最小值分別記為和求的值 【解析】 作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、 由點(diǎn)、關(guān)于對稱可知， 故當(dāng)且僅當(dāng)、共線時(shí)，等號成立，故另外兩個臨界位置在點(diǎn)和點(diǎn)處當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，故， 本題也可作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、【例24】 已知如圖，點(diǎn)在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的邊的距離和最小 【解析】 見右上圖【補(bǔ)充】已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)， 在上求作一點(diǎn)，使得最小 【解析】 見右上圖【補(bǔ)充】已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，在上求作一點(diǎn)，使得最大 【解析】 見右上圖【例25】 (07年三帆中學(xué)期中試題)如圖，正方形中，是上的一點(diǎn)，且，是上的一動點(diǎn)，求的最小值與最大值 【解析】 找點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知，就是點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、，由可知，當(dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，該最小值為當(dāng)點(diǎn)在上移動時(shí)，有三個特殊的位置我們要考察： 與的交點(diǎn)，即取最小值時(shí)； 當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，； 當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，故的最大值為【補(bǔ)充】例題中的條件不變，求的最小值與最大值【解析】 當(dāng)時(shí)，有最小值為0，此時(shí)點(diǎn)位于的垂直平分線與的交點(diǎn)處 ，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號成立，此時(shí)有最大值2【補(bǔ)充】(黑龍江省中考題)如圖，已知正方形的邊長為8，在上，且，是上的一個動點(diǎn)，則的最小值是 【解析】 連接交于，此點(diǎn)即為所求所以根據(jù)勾股定理，【例26】 (09山東臨沂)如圖，是公路(為東西走向)兩旁的兩個村莊，村到公路的距離，村到公路的距離，村在村的南偏東方向上 求出，兩村之間的距離； 為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個公共汽車站，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)的位置(保留清晰的作圖痕跡，簡明書寫作法)北東BACD l BACDlNMOP【解析】 方法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)題意可得和都是等腰直角三角形，兩村的距離為方法二：過點(diǎn)作直線的平行線交的延長線于易證四邊形是矩形， 在中，由，可得兩村的距離為 作圖正確，痕跡清晰作法：分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，作直線；直線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求家庭作業(yè)【習(xí)題1】 (2007雙柏中考)等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則第三邊長為 【解析】 當(dāng)腰長為9時(shí)，三邊長為4、9、9；當(dāng)腰長為4時(shí)，三邊長為4、4、9 ，不符合三角形的三邊關(guān)系，故腰長為9【習(xí)題2】 (1997年北京市競賽題)等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成和兩部分，則這個等腰三角形的底邊的長為( )A B C或 D無法確定【解析】 設(shè)腰長為，底邊長為，此題可分為兩類，或，第一類無解；第二類解為，故選【習(xí)題3】 已知等腰三角形的周長為20，腰長為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【習(xí)題4】 (2001年江蘇中考題)如下圖所示，中，在上，求的度數(shù)【解析】 設(shè)，則，由外角定理得，即，則又，【習(xí)題5】 (2004天津)在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是( )【解析】 C【習(xí)題6】 判斷下列圖形(圖)是否為軸對稱圖形？如果是，說出它有幾條對稱軸 【解析】 是軸對稱圖形的有：，；分別有條，條，條，條，條對稱軸【習(xí)題7】 (2008年荊門市中考題)如圖，菱形的兩條對角線分別長6和8，點(diǎn)、分別是變、 的中點(diǎn)，在對角線求作一點(diǎn)使得的值最小 【解析】 見右