數(shù)學(xué)物理方程-第2章-2012.ppt

數(shù)學(xué)物理方程 2 1熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出 第二章熱傳導(dǎo)方程 物理背景 熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散等物理現(xiàn)象 因?yàn)闇夭疃鸬臒崃枯斶\(yùn)過程稱為熱傳導(dǎo) 由于熱量的傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和位置的變化 所以 解決熱傳導(dǎo)問題都要?dú)w結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布 下面 考察空間某個(gè)物體G的傳導(dǎo)問題 以函數(shù)u x y z t 表示物體G在位置 x y z 及時(shí)刻t的溫度 根據(jù)傳熱學(xué)中的傅立葉實(shí)驗(yàn)定律 物體在無窮小時(shí)段dt內(nèi)沿法線方向n流過一個(gè)無窮小面積dS的熱量dQ與物體溫度沿曲面法線方向的方向?qū)?shù) u n成正比 即 其中 k x y z 稱為物體在點(diǎn) x y z 處的熱傳導(dǎo)系數(shù) 它應(yīng)取正值 1 1 中的負(fù)號(hào)出現(xiàn)是由于熱量總是從溫度高的一側(cè)流向低的一側(cè) 因此dQ與 u n異號(hào) 1 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 在物體G內(nèi)任取一閉曲面 它所包圍的區(qū)域記為 由 1 1 式從時(shí)刻t1到t2流入此閉曲面的全部熱量為 這里 u n表示u沿 上單位外法線方向n的方向?qū)?shù) 這里規(guī)定熱量流入為正 流入的熱量使得物體內(nèi)部溫度發(fā)生變化 在時(shí)間間隔 t1 t2 中物體溫度從u x y z t1 變化到u x y z t2 它所應(yīng)該吸收的熱量是 其中c為比熱 為密度 因此有下式成立 假設(shè)溫度分布函數(shù)u關(guān)于變量x y z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 關(guān)于具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 利用格林公式 可以把 1 3 式化為 于是 得到 由于 t1和t2都是任意取定的 因此我們得到 上式稱為非均勻各項(xiàng)同性體的熱傳導(dǎo)方程 如果物體的質(zhì)地是均勻的 那么k c和 均為常數(shù) 記k c a2 可得 如果所考察的物體內(nèi)部有熱源 那么熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)中還需要考慮熱源的影響 若設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積中所產(chǎn)生的熱量為F x y z t 則在考慮熱平衡時(shí) 1 3 式左邊需要添加一項(xiàng) 于是 相應(yīng)于 1 6 的熱傳導(dǎo)方程應(yīng)改為 1 6 式稱為齊次熱傳導(dǎo)方程 而 1 7 稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程 2 定解問題的提法 從物理學(xué)角度來看 如果知道了物體在邊界上的溫度狀況 或熱交換狀況 和物體在初始時(shí)刻的溫度 就可以完全確定物體在以后時(shí)刻的溫度分布 因此熱傳導(dǎo)方程最自然的一個(gè)定解問題就是在給定的初始條件和邊界條件下求問題的解 由于方程中只有時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 因此初始條件的提法很簡(jiǎn)單 即 其中 為物體的邊界曲面 g x y z t 是定義在該曲面上關(guān)于時(shí)間的已知函數(shù) u x y z 0 x y z 下面著重討論邊界條件的提法 最簡(jiǎn)單的情形為物體的表面溫度是已知的 這個(gè)條件的數(shù)學(xué)形式為 1 9 與前面波動(dòng)方程一樣 邊界條件 1 10 式稱為第一類邊界條件或狄利克雷 Dirichlet 邊界條件 我們考慮另外一種邊界情況 在物體的表面上知道的不是它的表面溫度 而是熱量在表面各點(diǎn)的流速 也就是說表面各點(diǎn)處單位時(shí)間單位面積上流過的熱量Q已知 根據(jù)傅立葉定律 這種情況實(shí)際上表示溫度u在表面上的法向?qū)?shù)是已知的 這種邊界條件的數(shù)學(xué)形式為 這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第二類邊界條件 又稱諾依曼 Neumann 邊界條件 接下來我們考察第三種情況 物體在邊界上與其他傳熱介質(zhì)接觸 我們能測(cè)量到的是與物體接觸的介質(zhì)的溫度u1 它和物體表面上的溫度u往往并不相同 在這種情況下 邊界條件的提法中還必須利用物理學(xué)中的另一個(gè)熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律 牛頓定律 從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫度差成正比 這里的比例常數(shù)k1稱為熱交換系數(shù) 它也取正值 考察流過物體表面 的熱量 從物質(zhì)內(nèi)部來看它由傅立葉定律決定 而從介質(zhì)方面來看則應(yīng)由牛頓定律決定 因此成立著以下關(guān)系式 由于k和k1都是正數(shù) 因此這種邊界條件的數(shù)學(xué)形式可以寫成 這種邊界稱為熱傳導(dǎo)方程的第三類邊界條件 與弦振動(dòng)方程比較 這三類邊界條件雖然從不同的物理角度分別歸結(jié)出來 但在數(shù)學(xué)形式上是完全一樣的 同樣的 如果所考察的物體體積很大 而所需要知道的是較短時(shí)間和較小范圍內(nèi)的溫度變化情況 邊界條件產(chǎn)生的影響可以忽略 那么就不妨把所考察的物體視為充滿整個(gè)空間 于是定解問題就變?yōu)榭挛鲉栴} 此時(shí)的初始條件為 注意 熱傳導(dǎo)方程的定解問題中 初始條件只能給出一個(gè) 在適當(dāng)?shù)那闆r下 方程中描述空間坐標(biāo)的獨(dú)立變量數(shù)目還可以減少 例如對(duì)于側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿 溫度函數(shù)僅與坐標(biāo)及時(shí)間有關(guān) 我們就得到了一維熱傳導(dǎo)方程 同樣考慮薄片狀物體的熱傳導(dǎo)問題 可得二維熱傳導(dǎo)方程 3 擴(kuò)散方程 擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出過程極為相似 只要將擴(kuò)散方程所滿足的物理規(guī)律與熱傳導(dǎo)方程所滿足的物理規(guī)律作一個(gè)類比 擴(kuò)散方程就自然可以得出 在熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)過程中 起作用的基本規(guī)律是傅立葉定律和熱量守恒定律 在考慮擴(kuò)散問題時(shí) 起作用的基本規(guī)律是擴(kuò)散定律和質(zhì)量守恒定律 它們的形式是 N表示擴(kuò)散物質(zhì)的濃度 D x y z 代表擴(kuò)散系數(shù) 對(duì)比前面的基本規(guī)律 它們的數(shù)學(xué)形式極其相似 于是我們可以立刻寫出擴(kuò)散方程為 如果擴(kuò)散系數(shù)D x y z 為常數(shù) 那么擴(kuò)散方程可以寫為與 1 6 式相同的形式 擴(kuò)散方程也可以提出相應(yīng)的柯西問題和初邊值問題等定解問題 分離變量法對(duì)熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題也是適用的 以下以熱傳導(dǎo)方程在邊界上分別取第一和第三邊界條件的初邊值問題為例詳細(xì)討論其求解過程 利用分離變量法求解如下的初邊值問題 其中h為正的常數(shù) 用分離變量法求解 令u x t X x T t 這里X x 和T t 分別表示僅與x有關(guān)和僅與t有關(guān)的函數(shù) 把它代入方程 2 1 得到 這個(gè)等式只有在兩邊均等于常數(shù)時(shí)才能成立 令該常數(shù)為 則有 2 2初邊值問題的分離變量法 首先考慮方程 2 6 的求解 根據(jù)邊界條件 2 3 和 2 4 X x 應(yīng)當(dāng)滿足邊界條件 對(duì)于邊值問題 2 6 和 2 7 通過與前一章類似的討論可得 1 當(dāng) 0時(shí) 利用邊界條件X 0 0得A 0 于是由 2 7 的第二個(gè)邊界條件可以得到 為了使X x 為非平凡解 應(yīng)滿足 即 是以下超越方程的正解 令則 2 11 式變?yōu)槔脠D解法或數(shù)值解法可以得出這個(gè)方程的根 由右圖可知 方程有可列舉的無窮多個(gè)正根 k 0 k 1 2 滿足 k 1 2 k k 因此 特征值問題 2 6 和 2 7 存在無窮多個(gè)固有值 以及固有函數(shù) 把前面得到的代入方程 2 5 可得 于是我們得到一列可分離變量的特解 由于方程 2 1 和邊界條件 2 3 和 2 4 都是齊次的 所以可以利用疊加原理構(gòu)造級(jí)數(shù)形式的解 以下的任務(wù)是利用初始條件 2 2 來決定常數(shù)Ak 為了使在t 0時(shí)u x t 取到初值 x 應(yīng)成立 為了確定系數(shù)Ak 須先證明固有函數(shù)系在 0 l 上正交 設(shè)固有函數(shù)Xn和Xm分別對(duì)應(yīng)于不同的固有值 n和 m 即 以Xn和Xm分別乘以上面第一和第二式 相減后在 0 l 積分 利用Xn和Xm都滿足邊界條件 2 3 2 4 就得到 由于 n和 m不等 故得到固有函數(shù)系的正交性 于