【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第1章1.6 有理數(shù)的乘方例題與講解 （新版）滬科版(1).doc

1.6有理數(shù)的乘方1有理數(shù)的乘方的意義及有關(guān)名稱(1)一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記作an，即，這種求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方(2)冪：乘方的結(jié)果叫做冪在乘方運(yùn)算an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an叫做冪，即(如圖)(3)乘方是一種運(yùn)算，是一種特殊的乘法運(yùn)算(因數(shù)相同的乘法運(yùn)算)，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果也就是說，an既表示n個(gè)a相乘，又表示n個(gè)a相乘的結(jié)果(4)an看作乘方運(yùn)算時(shí)，讀作a的n次方；當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，讀作a的n次冪如34中，底數(shù)是3，指數(shù)是4，讀作3的4次方或3的4次冪又如(3)4中，底數(shù)是3，指數(shù)是4，讀作3的4次方或3的4次冪(5)一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方例如：5就是51,51就是5，指數(shù)1通常省略不寫(6)底數(shù)是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)把底數(shù)括起來如(1)2，分別表示(1)(1)，.【例1】 把下列式子寫成乘方的形式，并指出底數(shù)、指數(shù)各是什么？(1)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)；(2)；(3) 分析：5個(gè)3.14相乘，寫成(3.14)5,6個(gè)相乘可寫成6,2n個(gè)m相乘，寫成m2n.解：(1)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)(3.14)5，其中底數(shù)是3.14，指數(shù)是5.(2)6，其中底數(shù)是，指數(shù)是6.(3)m2n，其中底數(shù)是m，指數(shù)是2n.2.有理數(shù)的乘方的運(yùn)算法則(1)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則乘方是特殊的乘法，由乘法法則，我們能得出乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：正數(shù)的任何次乘方都取正號(hào)，負(fù)數(shù)的奇次乘方取負(fù)號(hào)，負(fù)數(shù)的偶次乘方取正號(hào)(2)乘方的運(yùn)算步驟非零有理數(shù)的乘方，先根據(jù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則判斷結(jié)果的符號(hào)，再將其絕對(duì)值乘方；即：根據(jù)冪指數(shù)的奇、偶性直接確定冪的符號(hào)；計(jì)算絕對(duì)值的乘方乘方是特殊的乘法，由乘法法則，我們能把乘方運(yùn)算化歸為我們熟悉的乘法運(yùn)算如，(3)4(3)(3)(3)(3)81(不是3和4相乘)(2)()().(3)幾點(diǎn)注意an與(a)n的意義完全不同，an表示an的相反數(shù)，(a)n表示n個(gè)a相乘如14(1111)1，底數(shù)是1；(1)4(1)(1)(1)(1)1，底數(shù)是1.當(dāng)?shù)讛?shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須先化為假分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行乘方計(jì)算如，(1)2()2()().若一個(gè)有理數(shù)的平方(可推廣到偶次方)等于它本身，那么這個(gè)有理數(shù)是0或1.若一個(gè)有理數(shù)的立方(可推廣到奇次方)等于它本身，那么這個(gè)有理數(shù)是0或1.0的正數(shù)次方是0.【例2】 計(jì)算：(1)(3)4；(2)34；(3)3；(4)；(5)(1)101；(6)( 13).分析：(1)(3)4表示4個(gè)3相乘；(2)34表示34的相反數(shù)，即34(3333)；(3)3表示3個(gè)相乘；(4)表示33除以4的商的相反數(shù)；(5)(1)101表示101個(gè)1相乘，(1)1011，在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，首先根據(jù)符號(hào)法則確定符號(hào)，然后再計(jì)算絕對(duì)值，冪的絕對(duì)值等于底數(shù)絕對(duì)值的乘方；(6)底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，乘方時(shí)要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)解：(1)(3)4(3333)81；(2)34(3333)81；(3)3()；(4)；(5)(1)1011；(6)( 1)3(3).3有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算(1)有理數(shù)的運(yùn)算，加減叫第一級(jí)運(yùn)算，乘除叫第二級(jí)運(yùn)算，乘方、開方(以后再學(xué))叫第三級(jí)運(yùn)算(2)有理數(shù)混合運(yùn)算的順序先乘方，再乘除，后加減同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行如果有括號(hào)，先做括號(hào)里的運(yùn)算(括號(hào)的運(yùn)算順序是：先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的)(3)在進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，除遵循以上原則外，還要根據(jù)具體的題目的特點(diǎn)，靈活使用運(yùn)算律，使運(yùn)算準(zhǔn)確而快捷【例3】 計(jì)算：(1)350221；(2).分析：(1)先算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，計(jì)算乘除運(yùn)算，最后算加減；(2)此題運(yùn)算順序是：第一步計(jì)算(1)和(1)；第二步做乘法；第三步做乘方運(yùn)算；第四步做除法解：(1)原式350413501350131.(2)原式(2)()23(27).4科學(xué)記數(shù)法(1)大數(shù)的表示方法在日常生活中我們會(huì)遇到一些特別大的數(shù)，這些數(shù)在讀、寫、算時(shí)都不方便，于是用如下的簡(jiǎn)潔方法來表示這些較大的數(shù)：用更大的數(shù)量級(jí)來表示；根據(jù)10n的特點(diǎn)，來表示這些較大的數(shù)(2)科學(xué)記數(shù)法的概念一般地，一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)都可記成a10n的形式，其中1a10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法(3)大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，a，n的確定方法：10的指數(shù)n比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，用科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)，只要先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)即可求出10的指數(shù)n.a是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)例如：341 257.31的整數(shù)位數(shù)是6，則n615，所以用科學(xué)記數(shù)法表示為3.412 573 1105.將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)從右向左移動(dòng)，一直移到最高位的后面(即保留一位整數(shù))，這時(shí)得到的數(shù)就是a，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)就是n，如1 300 000 000人1.3109人，38萬千米380 000千米3.8105千米辨誤區(qū) 用科學(xué)記數(shù)法時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)不要誤認(rèn)為a就是零前面的數(shù)，如誤把426 000記作426103.(2)n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.不要誤認(rèn)為n就是該數(shù)后面零的個(gè)數(shù)(3)a是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)如果原數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)前面的“”號(hào)不能丟【例4】 用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)687 000 000；(2)5 000 000 000；(3)367 000.分析：(1)把687 000 000寫成a10n時(shí)，a6.87，它是將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)8位得到的，即n8，所以687 000 0006.87108；(2)把5 000 000 000寫成a10n時(shí)，a5，它是將原來的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)9位得到的，即n9，所以5 000 000 0005109；(3)把367 000寫成a10n時(shí)，a3.67，它是將原來的絕對(duì)值的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)5位得到的，即n5，所以367 0003.67105.解：(1)687 000 0006.87108；(2)5 000 000 0005109；(3)367 0003.67105.5有理數(shù)乘方的運(yùn)算有理數(shù)乘方運(yùn)算的步驟：確定冪的符號(hào)；計(jì)算冪的絕對(duì)值有理數(shù)的乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算因數(shù)相同的乘法運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果在冪的形式中，底數(shù)是因數(shù)，指數(shù)是相同因數(shù)的個(gè)數(shù)因此有理數(shù)的乘方運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法來運(yùn)算，先根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)法則確定冪的符號(hào)，再根據(jù)乘方的意義把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，來計(jì)算冪的絕對(duì)值，最后得出冪的結(jié)果例如計(jì)算(5)3，先確定冪的符號(hào)為“”，再計(jì)算53125，即(5)3125.正確理解有理數(shù)乘方的意義是進(jìn)行乘方運(yùn)算的前提，千萬不能把底數(shù)與指數(shù)直接相乘在進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算時(shí)要辨別清楚底數(shù)和指數(shù)，以及符號(hào)問題，避免出錯(cuò)【例51】 計(jì)算：(1)33；(2)(2)2；(3)(32)3；(4)(2)3.分析：運(yùn)算時(shí)，先確定符號(hào)，再計(jì)算乘方(1)負(fù)號(hào)在冪的前面，結(jié)果是負(fù)數(shù)；(2)負(fù)數(shù)的偶次冪，結(jié)果是正數(shù)；(3)先計(jì)算底數(shù)326，再計(jì)算(6)3；(4)先計(jì)算(2)3，其結(jié)果是負(fù)數(shù)，再加上前面的負(fù)號(hào)，最后結(jié)果是正數(shù)解：(1)33(333)27；(2)(2)24；(3)(32)3(6)3216；(4)(2)3(8)8.辨誤區(qū) 進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意的問題在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，一定要避免出現(xiàn)把底數(shù)與指數(shù)直接相乘的運(yùn)算錯(cuò)誤如33(33)9，這是由于沒有理解乘方的意義導(dǎo)致的【例52】 計(jì)算(0.25)10412的值分析：直接求(0.25)10和412比較麻煩，但仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)(0.25)100.2510，表示10個(gè)0.25相乘，而412表示12個(gè)4相乘，這就提醒我們利用乘法的交換律和結(jié)合律就比較容易求出結(jié)果了解：(0.25)104120.2510412(0.2510410)42(0.254)104211616.6.寫出用科學(xué)記數(shù)法表示的原數(shù)把用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)a10n“還原”成原數(shù)，原數(shù)的整數(shù)位數(shù)等于n1；原數(shù)等于把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得的數(shù)，若向右移動(dòng)位數(shù)不夠，應(yīng)用0補(bǔ)上數(shù)位談重點(diǎn) 科學(xué)記數(shù)法的誤區(qū)把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原是兩個(gè)互逆的過程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法【例6】 下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，原來各是什么數(shù)？(1)3104；(2)2.25105；(3)6.32103；(4)赤道長(zhǎng)約4104千米；(5)按365天計(jì)算一年有3.153 6107秒分析：將科學(xué)記數(shù)法a10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)也可以先把10n化成通常表示的數(shù)，再與a相乘即可，但轉(zhuǎn)化時(shí)要注意1后面0的個(gè)數(shù)就是n.解：(1)3104310 00030 000；(2)2.251052.25100 000225 000；(3)6.321036.321 0006 320；(4)4104千米40 000千米；(5)3.153 6107秒31 536 000秒7.有理數(shù)運(yùn)算中的技巧運(yùn)算順序規(guī)定：先算高級(jí)運(yùn)算，再算低級(jí)運(yùn)算，同級(jí)運(yùn)算，按從左到右的順序進(jìn)行在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，若能根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ`活應(yīng)用運(yùn)算律和運(yùn)算法則，可使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，運(yùn)算過程迅捷簡(jiǎn)便，起到事半功倍的奇效對(duì)于較復(fù)雜的計(jì)算問題，計(jì)算時(shí)不要急于下手，應(yīng)該先整體觀察，分析算式的結(jié)構(gòu)特征和各數(shù)之間的關(guān)系，尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑，進(jìn)行合理、快速的運(yùn)算在有理數(shù)混合運(yùn)算中，先算乘方，再算乘除乘除運(yùn)算在一起時(shí)，統(tǒng)一化成乘法往往可以約分而使運(yùn)算簡(jiǎn)化；遇到帶分?jǐn)?shù)通分時(shí)，可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)和的形式，如2，而將化成，因而避免把化為，也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算解技巧 有理數(shù)的混合運(yùn)算在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算中，先確定運(yùn)算順序，注意恰當(dāng)使用運(yùn)算定律分?jǐn)?shù)、小數(shù)的乘除混合運(yùn)算，通常把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)含有多重括號(hào)時(shí)，去括號(hào)的一般方法是由內(nèi)向外，即依次去掉小、中、大括號(hào)，也可以由外向內(nèi)計(jì)算過程中應(yīng)時(shí)時(shí)重視符號(hào)【例7】 計(jì)算：(1)32(84)2.52()24；(2)1(2)0.752.分析：(1)此題是有理數(shù)的混合運(yùn)算，有小括號(hào)可以先做小括號(hào)內(nèi)的，把32化成假分?jǐn)?shù)，可以寫成(32)的形式，而()24，若用分配律又較為方便(2)在運(yùn)算的同時(shí)把前兩個(gè)除法轉(zhuǎn)化為乘法去掉絕對(duì)值、把小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)一步計(jì)算即可解：(1)32(84)2.5224(32)()6.251216182216.25121.026.25124.73.(2)1(2)0.752()()1()1123.8有理數(shù)乘方運(yùn)算的應(yīng)用有理數(shù)的乘方運(yùn)算在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用，給生活中經(jīng)常出現(xiàn)的大數(shù)的讀寫帶來了極大的方便比如，一層樓高約3米，一張紙的厚度只有0.1毫米，0.1毫米與3米相比幾乎可以忽略不計(jì)，如果我們將紙對(duì)折、再對(duì)折，如此這樣對(duì)折20次后，其厚度將比30層樓房還要高，這就是有理數(shù)乘方的神奇魔力，在現(xiàn)實(shí)生活中有著很廣泛的應(yīng)用【例8】 據(jù)科學(xué)家測(cè)算，用1噸廢紙?jiān)斐龅脑偕眉埾喈?dāng)于0.30.4畝森林木材的造紙量某市今年大約有6.7104名初中畢業(yè)生，每個(gè)畢業(yè)生離校時(shí)大約有12千克廢紙，若他們都把廢紙送到回收站生產(chǎn)再生好紙，則至少可使森林免遭砍伐的畝數(shù)為_(用科學(xué)記數(shù)法表示)解析：本題可分步計(jì)算出廢紙回收的數(shù)量，再算出因廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)：廢紙回收的數(shù)量：6.7104128.04105(千克)804(噸)；因廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)是8040.3241.2(畝)，用科學(xué)記數(shù)法表示為2.412102畝答案：2.4121029.利用乘方解決規(guī)律性問題乘方運(yùn)算是新學(xué)的一種重要的計(jì)算方法，乘方運(yùn)算中有很多規(guī)律性變化，目前主要有三種：一個(gè)數(shù)的乘方運(yùn)算中，個(gè)位數(shù)字總是呈現(xiàn)一定的循環(huán)規(guī)律乘方運(yùn)算中的數(shù)或數(shù)列的變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，如：2,4，8，16，32，.等式運(yùn)算中的規(guī)律性變化，如：12021,22123，32225，42327，.乘方運(yùn)算中規(guī)律性變化靈活多樣，有時(shí)還伴有符號(hào)的變化，并與和、差、等式相結(jié)合，更不容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，因此識(shí)別較難由特殊到一般，發(fā)現(xiàn)探索規(guī)律，是解決這類問題的關(guān)鍵，要注意觀察：一是看參與計(jì)算的數(shù)與順序間的變化規(guī)律，二是看結(jié)果的變化與順序之間的規(guī)律由特殊入手，猜想、驗(yàn)證，得出正確結(jié)論與有理數(shù)的乘方有關(guān)的探究題主要有以下幾種：(1)個(gè)位數(shù)字是幾，在中考中經(jīng)常涉及到，例如3n的個(gè)位數(shù)字是3,9,7,1,3,9,7,1，依次循環(huán)；(2)拉面的條數(shù)、折紙的張數(shù)、握手的次數(shù)、繩子的長(zhǎng)度、細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)等，都利用2n或n求解【例91】 觀察下列算式：212,224,238,2416,2532,2664,27128，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定227的個(gè)位數(shù)字是()a2b4c6d8解析：觀察式子的變化發(fā)現(xiàn)，從2的1,2,3,4,5，次方的結(jié)果看，個(gè)位數(shù)以2,4,8,6,2,4，循環(huán)，所以每四次一循環(huán)，而2746余3，所以227的個(gè)位數(shù)字是8，故選d.答案：d【例92】 觀察下列各式：1112,13422；135932；13571642，.請(qǐng)猜想前15個(gè)奇數(shù)的和是_解析：1個(gè)奇數(shù)等于12，前2個(gè)奇數(shù)的和等于22，前3個(gè)奇數(shù)的和等于32，猜想前15個(gè)奇數(shù)的和是152.答案：1357929152225【例93】 觀察下面一列數(shù)：2,5,10，x,26,37,50，65，根據(jù)規(guī)律，其中x表示的數(shù)是_解析：觀察數(shù)列發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)都是對(duì)應(yīng)的順序