概率論與數(shù)理統(tǒng)計001.doc

第一章 事件與概率1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。(1)10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。(2)一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，()得白球，()得紅球。解 (1)記9個合格品分別為 ，記不合格為次，則(2)記2個白球分別為，3個黑球分別為，4個紅球分別為，。則，() ， () ，1.2 在數(shù)學系的學生中任選一名學生，令事件A表示被選學生是男生，事件B表示被選學生是三年級學生，事件C表示該生是運動員。(1) 敘述的意義。(2)在什么條件下成立？(3)什么時候關系式是正確的？(4) 什么時候成立？解 (1)事件表示該是三年級男生，但不是運動員。(2) 等價于，表示全系運動員都有是三年級的男生。(3)當全系運動員都是三年級學生時。(4)當全系女生都在三年級并且三年級學生都是女生時。1.3 一個工人生產(chǎn)了個零件，以事件表示他生產(chǎn)的第個零件是合格品（）。用表示下列事件：(1)沒有一個零件是不合格品；(2)至少有一個零件是不合格品；(3)僅僅只有一個零件是不合格品；(4)至少有兩個零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有兩個零件是合格品”，可表示為；1.4 證明下列各式：(1);(2)(3);(4)(5)(6) 證明 （1）（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第1012頁（1.5）式和(1.6)式的證法。1.5 在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分數(shù)，求所得分數(shù)為既約分數(shù)的概率。解 樣本點總數(shù)為。所得分數(shù)為既約分數(shù)必須分子分母或為7、11、13中的兩個，或為2、4、6、8、12中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件“所得分數(shù)為既約分數(shù)”包含個樣本點。于是。1.6 有五條線段，長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構成一個三角形的概率。解 樣本點總數(shù)為。所取三條線段能構成一個三角形，這三條線段必須是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“所取三條線段能構成一個三角形”包含3個樣本點，于是。1.7 一個小孩用13個字母作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解 顯然樣本點總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN”包含個樣本點。所以1.8 在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于個不同位置，當它處于和紅“車”同行或同列的個位置之一時正好相互“吃掉”。故所求概率為1.9 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點總數(shù)為。事件“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯”。所以包含個樣本點，于是。1.10 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數(shù)字8”的概率為多大？解 用表示“牌照號碼中有數(shù)字8”，顯然，所以-1.11 任取一個正數(shù)，求下列事件的概率：(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1；(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；解 (1) 答案為。(2)當該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時，其四次方的末位數(shù)是1，所以答案為(3)一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個樣本點。用事件表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1”，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1，設最后第二位數(shù)字為，則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3的個位數(shù)，要使3的個位數(shù)是1，必須，因此所包含的樣本點只有71這一點，于是。1.12 一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結果推廣到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有種接法，同樣對尾也有種接法，所以樣本點總數(shù)為。用表示“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以包含的樣本點數(shù)為，于是(2) 根草的情形和(1)類似得1.13 把個完全相同的球隨機地放入個盒子中（即球放入盒子后，只能區(qū)別盒子中球的個數(shù)，不能區(qū)別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有個球的概率為，(2)恰好有個盒的概率為，(3)指定的個盒中正好有個球的概率為，解 略。1.14 某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達，乘客到達汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鐘的概率。解 所求概率為1.15 在中任取一點，證明的面積之比大于的概率為。解 截取，當且僅當點落入之內(nèi)時的面積之比大于，因此所求概率為。1.16 兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設兩船?？坎次坏臅r間分別為1小時與兩小時，求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率。解 分別用表示第一、二艘船到達泊位的時間。一艘船到達泊位時必須等待當且僅當。因此所求概率為1.17 在線段上任取三點，求：(1) 位于之間的概率。(2) 能構成一個三角形的概率。解 (1) (2) 1.18 在平面上畫有間隔為的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為（均小于），求三角形與平行線相交的概率。解 分別用表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然所求概率為。分別用表示邊，二邊與平行線相交，則顯然，。所以（用例1.12的結果）1.19 己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內(nèi)隨機投點。則事件“該點命中的中點”的概率等于零，但不是不可能事件。1.20 甲、乙兩人從裝有個白球與個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，則樣本空間，并且， ，甲取勝的概率為+乙取勝的概率為+1.21 設事件及的概率分別為、及，求，解 由得 ，1.22 設、為兩個隨機事件，證明：(1) ;(2) .證明 (1) =(2) 由(1)和得第一個不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個不等式。1.23 對于任意的隨機事件、，證明：證明 1.24 在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報的；(2)只訂甲、乙兩報的；(3)只訂一種報紙的；(4)正好訂兩種報紙的；(5)至少訂一種報紙的；(6)不訂任何報紙的。解 事件表示訂甲報，事件表示訂乙報，事件表示訂丙報。(1) =30%(2) (3) +=+=73%(4) (5) (6) 1.26 某班有個學生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解 用表示“第張考簽沒有被抽到”， 。要求。，所以1.27 從階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少？解階行列式的展開式中，任一項略去符號不計都可表示為，當且僅當?shù)呐帕兄写嬖谑箷r這一項包含主對角線元素。用表示事件“排列中”即第個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項中。則 ，所以1.29 已知一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率（假設一個小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解 用分別表示男孩和女孩。則樣本空間為：其中樣本點依年齡大小的性別排列。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，則1.30 設件產(chǎn)品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）設表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則 (2)設表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”， 表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。則 1.31 個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)已知前個人都沒摸到，求第個人摸到的概率；(2)第個人摸到的概率。解 設表示“第個人摸到”， 。(1) (2) 1.32 已知一個母雞生個蛋的概率為，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個母雞恰有個下一代（即小雞）的概率為。解 用表示“母雞生個蛋”， 表示“母雞恰有個下一代”，則 1.33 某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進入決賽的概率。解 用表示“任選一名射手為級”， ，表示“任選一名射手能進入決賽”，則1.34 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解 用表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺機器生產(chǎn)”表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺機器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”。則由貝葉斯公式： 1.35 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定時間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。當有一臺機床需要修理時，問這臺機床是車床的概率是多少？解 則 ， ，由貝時葉斯公式得 1.36 有朋友自遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是、，而乘飛機不會遲到。結果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解 用表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”，表示“朋友乘汽車來”，表示“朋友乘飛機來”，表示“朋友遲到了”。則 1.37 證明：若三個事件、獨立，則、及都與獨立。證明 （1）= （2） （3）=1.38 試舉例說明由不能推出一定成立。解 設， ， 則 ， 但是1.39 設為個相互獨立的事件，且，求下列事件的概率：(1) 個事件全不發(fā)生；(2) 個事件中至少發(fā)生一件；(3) 個事件中恰好發(fā)生一件。解 (1) (2) (3) .1.40 已知事件相互獨立且互不相容，求（注：表示中小的一個數(shù)）。解 一方面，另一方面，即中至少有一個等于0，所以1.41 一個人的血型為型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03，現(xiàn)在任意挑選五個人，求下列事件的概率(1)兩個人為型，其它三個人分別為其它三種血型；(2)三個人為型，兩個人為型；(3)沒有一人為。解 (1)從5個人任選2人為型，共有種可能，在其余3人中任選一人為型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為型，共有2種可能，另一人為型，順此所求概率為： (2) (3) 1.42 設有兩門高射炮，每一門擊中目標的概率都是0.6，求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。解 用表示“第門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”， ，表示“擊中飛機”。則，。(1) (2) , 取。至少需要6門高射炮，同時發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛