偏微分和全微分.ppt

3 2偏微分與全微分 若考慮含有n個(gè)自變數(shù)x1 xn的函數(shù)則當(dāng)x2 xn固定不變時(shí) f可視為x1的函數(shù) 因此依照前面的定義 可得導(dǎo)數(shù)此稱為y對(duì)於x1的偏導(dǎo)數(shù) partialderivative 以符號(hào) fx1或f1表之 1 1 例題3 7 試求z 3x2 6xy2 ln x2 y2 1 的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù) 及在點(diǎn) 1 1 之偏導(dǎo)數(shù) 解 6x 6y2 12xy 6 1 6 1 2 12 1 1 12 X2 y2 1 2x X2 y2 1 2y 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 1 例題3 8 設(shè)某汽車(chē)工廠生產(chǎn)小客車(chē)與卡車(chē)的成本函數(shù)為C 0 12x2 0 04y2 0 04xy 320 x 80y 30其中C代表成本 以百萬(wàn)元為單位 x y分別代表卡車(chē)與小客車(chē)的生產(chǎn)數(shù)量 以千輛元為單位 若目前的生產(chǎn)數(shù)量為x 500 y 1000 試求卡車(chē)與小客車(chē)的邊際成本 marginalcost 並解釋其意義 解 0 24x 0 04y 320 0 24 500 0 04 1000 320 480當(dāng)生產(chǎn)小客車(chē)數(shù)量維持不變 每多生產(chǎn)一輛卡車(chē) 總成本增加480000元 0 08y 0 04x 80 0 08 1000 0 04 500 80 180當(dāng)生產(chǎn)卡車(chē)數(shù)量維持不變 每多生產(chǎn)一輛小客車(chē) 總成本增加180000元 X 500Y 1000 X 500Y 1000 X 500Y 1000 X 500Y 1000 在第3 1節(jié)中 導(dǎo)數(shù)所表示的是一個(gè)極限值 而不是兩個(gè)數(shù)量dy dx的商 然而 若將符號(hào)看成dy被dx除時(shí) 卻能解釋許多的現(xiàn)象 因此我們先定義dx及dy的意義如下 由於f x lim所以當(dāng)增量 x非常小時(shí) y f x x若以dy dx代替 y x 則得下面的定義 設(shè)y f x 為一函數(shù) 1 自變數(shù)x的微分 differential dx是x的增量 即dx x 2 因變數(shù)y的微分dy為dy f x dx由上述定義可知 y的微分dy為x與dx的函數(shù) 又由於已知 f x 所以我們可將看成兩個(gè)微分dy dx的商 再者 dy可當(dāng)作 y的近似值 也就是說(shuō) 當(dāng)x變動(dòng)時(shí) dy可視為因變數(shù)y的改變量 3 1 例題3 9 設(shè)y x3 當(dāng)x 2 x 0 01時(shí) y的真實(shí)變動(dòng)值為 y f x x f x 2 01 3 23 8 120601 8 0 120601若以微分dy來(lái)估計(jì) y 則在x 2 dx 0 01 dy f x dx 3x2dx 3 2 2 0 01 0 12其誤差為0 120601 0 12 0 000601以上微分dy的概念可推廣至n個(gè)自變數(shù)的函數(shù) 設(shè)y f x1 xn 則我們稱dy為因變數(shù)y的全微分 totaldifferential 3 2 全微分dy所表示的是當(dāng)所有自變數(shù)x1 xn一起變動(dòng)而使得因變數(shù)y改變的量 因此當(dāng)我們令dx1 x1 dx2 x2 dxn xn且 x1 x2 xn皆非常小時(shí) y的增量 y大約等於dy 即 y 例題3 10 設(shè)長(zhǎng)方形兩鄰邊的長(zhǎng)度分別為x 10及y 15 但測(cè)量不甚精確 所測(cè)得之x y分別為10 1及15 2 試求長(zhǎng)方形面積誤差的近似值 解 面積A xydA 15 0 1 10 0 2 1 5 2 3 5若直接以x y值代入求A 則 A 10 1 15 2 10 15 153 52 150 3 52因此dA可視為 A的近似值 例題3 11 假設(shè)某產(chǎn)品的產(chǎn)出量與投入x1 x2的關(guān)係式則第一種投入的邊際生產(chǎn)力 marginalproductivity 為若投入量分別為x1 120 x2 30 則產(chǎn)出量q 120 1 2 30 1 2 3600 1 2 602 1 2 60又 120 1 2 30 1 2 即當(dāng)x2 30維持不變時(shí) 每增加投入x1一單位 大約可增加產(chǎn)出量0 25單位 q x11 2x21 2 x1 1 2x21 2 1 2 1 2 若將兩種投入同時(shí)增加一單位 則因 120 1 2 30 1 2 1即兩種投入同時(shí)增加一單位 則產(chǎn)出可增加1 25單位 若x1投入減少一單位 但希望產(chǎn)出水準(zhǔn)維持不變 q 60 即由得知dx2 0 25 即x2的投入量須增加至30 25單位 x11 2x2 1 2 1 2 1 2 設(shè)含有兩個(gè)自變數(shù)的函數(shù)為若自變數(shù)x與y亦為變數(shù)t的函數(shù)則z亦可視為t的函數(shù) 此時(shí) 可利用z的全微分除以dt 而求得一般而言 若函數(shù)為且 此即多變數(shù)函數(shù)微分的連鎖法則 又若x1 x2 xn是另外兩個(gè)變數(shù)r s的函數(shù) 即則 例題3 12 若z x2y3 且x y 3t3則由連鎖法則 2xy3 t 3x2y2 9t2 2 t2 3t3 3 t 3 t2 2 3t3 2 9t2 27t12 t12 t12又 若將x y 3t3代入z x2y3中 則得z t2 2 3t3 3 t13 2 2 12 12 例題3 13 若 且時(shí) 例題3 14 ABC公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品 相機(jī)及軟片 其生產(chǎn)x個(gè)相機(jī)及y個(gè)軟片的成本函數(shù)為z 30 x 0 15xy y 900假設(shè)相機(jī)及軟片的需求函數(shù)分別為y 2000 r 400s其中r 相機(jī)價(jià)格 s 軟片價(jià)格 試求r 50 s 2時(shí)解 30 0 15y 0 15x 1 1 當(dāng)r 50 s 2時(shí) 代入得 2 設(shè)函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)為f 若f 的導(dǎo)數(shù)亦存在 以f 表之 則稱f 為f的二階導(dǎo)函數(shù) secondorderderivative 若以符節(jié)表示一階導(dǎo)數(shù)時(shí) 則第二階導(dǎo)數(shù)以表之 一般而言 若n為大於2的正整數(shù) n 2 函數(shù)f第n階導(dǎo)數(shù)可定義為f的第n 1階導(dǎo)數(shù)之導(dǎo)數(shù) 通常使用下列符節(jié)表示 d2y dx2 dy n dxn f n x 或Dnf x 例題3 15 若 則 2 2 2 2 2 d2y dx2 2 6 2 3 2 3x 3 2 32 2 2 3x 3 d3y dx3 2 2 3 2 2 33 3 2 3x 4 dny dxn dn 1y dxn 1 2 3n n 2 3x n 1 若f為n個(gè)自變數(shù)的函數(shù) n 2 我們亦可定義二階偏導(dǎo)數(shù) secondorderpartialderivative 例如一階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)可定義為和稱為混合偏導(dǎo)數(shù) mixedorcrosspartialderivative 若以上兩種混合偏導(dǎo)數(shù)皆為