2019版高考數(shù)學第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)6第6講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案.docx

第6講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1對數(shù)概念如果axN(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質對數(shù)式與指數(shù)式的互化：axNxlogaN(a0，且a1)loga10，logaa1，alogaNN(a0，且a1)運算法則loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)換底公式logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質a10a1時，y0當x1時，y0當0x1時，y0當0x0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線yx對稱 判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若MN0，則loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函數(shù)ylog2x及ylog3x都是對數(shù)函數(shù)()(4)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函數(shù)()(5)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖象過定點(1，0)且過點(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 函數(shù)yln(1x)的定義域為()A(0，1)B0，1)C(0，1D0，1解析：選B.因為yln(1x)，所以解得0x0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210，所以m.答案：對數(shù)函數(shù)的圖象及應用 典例引領 (1)(2018沈陽市教學質量檢測(一)函數(shù)f(x)ln(x21)的圖象大致是()(2)(數(shù)形結合思想)當0x時，4x1時不滿足條件，當0a1時，畫出兩個函數(shù)在(0，上的圖象，可知f()g()，即2，所以a的取值范圍為(，1)【答案】(1)A(2)B1.若本例(2)變?yōu)椋悍匠?xlogax在上有解，求實數(shù)a的取值范圍解：構造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，當a1時不滿足條件，當0a1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖象(見例題(2)解析圖象)，可知，只需兩圖象在上有交點即可，則fg，即2loga，則a，所以a的取值范圍為.2.若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2logax0對x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：由x2logax0得x2logax，設f1(x)x2，f2(x)logax，要使x時，不等式x21時，顯然不成立；當0a1時，如圖所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1()f2，所以有l(wèi)oga，解得a，所以a1.即實數(shù)a的取值范圍是.利用對數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類熱點問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調性(單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結合思想求解(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解本例(2)充分體現(xiàn)四大數(shù)學思想，不等式4x0，a1)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()Aa1，c1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c1解析：選D.由對數(shù)函數(shù)的性質得0a0時是由函數(shù)ylogax的圖象向左平移c個單位得到的，所以根據(jù)題中圖象可知0c0且a1)的圖象過兩點(1，0)和(0，1)，則logba_解析：f(x)的圖象過兩點(1，0)和(0，1)則f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，所以即所以logba1.答案：13已知函數(shù)f(x)關于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：問題等價于函數(shù)yf(x)與yxa的圖象有且只有一個交點，結合函數(shù)圖象可知a1.答案：(1，)對數(shù)函數(shù)的性質及應用(高頻考點)對數(shù)函數(shù)的性質是每年高考的必考內容之一，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有高考對對數(shù)函數(shù)性質的考查主要有以下三個命題角度：(1)比較對數(shù)值的大小；(2)解簡單的對數(shù)不等式或方程；(3)對數(shù)型函數(shù)的綜合問題典例引領角度一比較對數(shù)值的大小 (2018福州市綜合質量檢測)已知aln 8，bln 5，cln ln ，則()AabcBacbCcabDcba【解析】因為aln 8，bln 5，clnln，所以aln，bln，clnln.又對數(shù)函數(shù)yln x 在(0，)上為單調遞增函數(shù)，由，得lnlnln，所以acb，故選B.【答案】B角度二解簡單的對數(shù)不等式或方程 若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，所以a.綜上，a.【答案】C角度三對數(shù)型函數(shù)的綜合問題 已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a0，且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并予以證明；(3)當a1時，求使f(x)0的x的取值范圍【解】(1)因為f(x)loga(x1)loga(1x)，所以解得1x1.故所求函數(shù)的定義域為x|1x1(2)f(x)為奇函數(shù)證明如下：由(1)知f(x)的定義域為x|1x1時，f(x)在定義域x|1x0，得1，解得0xlogab的不等式，借助ylogax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a1與0ab的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式(3)解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性問題的步驟 通關練習1(2017高考全國卷)函數(shù)f(x)ln(x22x8)的單調遞增區(qū)間是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)解析：選D.由x22x80，得x4.因此，函數(shù)f(x)ln(x22x8)的定義域是(，2)(4，)注意到函數(shù)yx22x8在(4，)上單調遞增，由復合函數(shù)的單調性知，f(x)ln(x22x8)的單調遞增區(qū)間是(4，)，選D.2若f(x)lg x，g(x)f(|x|)，則g(lg x)g(1)時，x的取值范圍是_解析：當g(lg x)g(1)時，f(|lg x|)f(1)，由f(x)為增函數(shù)得|lg x|1，從而lg x1，解得0x10.答案：(10，)3已知函數(shù)f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在區(qū)間1，2上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當a1時，f(x)loga(8ax)在1，2上是減函數(shù)，由f(x)1恒成立，則f(x)minloga(82a)1，解之得1a，當0a1恒成立，則f(x)minloga(8a)1，即82a4，又0a1時，對數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢；當0a0，且a1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限(3)在直線x1的右側，當a1時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當0a1時，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低” 幾個常用的結論(1)函數(shù)yloga|x|的圖象關于y軸對稱(2)函數(shù)yax與ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線yx對稱即若f(x)的圖象上有一點(a，b)，則(b，a)必在其反函數(shù)圖象上(3)函數(shù)f(x)|logax|的定義域為(0，)，值域為0，)，在(0，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增 易錯防范(1)在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應為(0，)對數(shù)函數(shù)的單調性取決于底數(shù)a與1的大小關系，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時，要分0a1兩種情況討論(2)在運算性質logaMlogaM中，要特別注意條件，在無M0的條件下應為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù)) 1函數(shù)y的定義域是()A1，2B1，2)C. D.解析：選D.要使該函數(shù)有意義，需解得：0且a1)的反函數(shù)，且f(2)1，則f(x)()Alog2x BClogxD2x2解析：選A.由題意知f(x)logax，因為f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.3若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域為y|00，且a1)的值域為y|0y1，則0a1，由此可知yloga|x|的圖象大致是A.4(2018河南新鄉(xiāng)模擬)設a60.4，blog0.40.5，clog80.4，則a，b，c的大小關系是()AabcBcbaCcabDbc1，blog0.40.5(0，1)，clog80.4bc.故選B.5(2018河南平頂山模擬)函數(shù)f(x)loga|x1|(a0，a1)，當x(1，0)時，恒有f(x)0，則()Af(x)在(，0)上是減函數(shù)Bf(x)在(，1)上是減函數(shù)Cf(x)在(0，)上是增函數(shù)Df(x)在(，1)上是增函數(shù)解析：選D.由題意，函數(shù)f(x)loga|x1|(a0且a1)，則說明函數(shù)f(x)關于直線x1對稱，當x(1，0)時，恒有f(x)0，即|x1|(0，1)，f(x)0，則0a0，a1)的圖象過定點A，若點A也在函數(shù)f(x)2xb的圖象上，則f(log23)_解析：由題意得A(2，0)，因此f(2)4b0，b4，從而f(log23)341.答案：17已知2x3，log4y，則x2y的值為_解析：由2x3，log4y得xlog23，ylog4log2，所以x2ylog23log2log283.答案：38若函數(shù)f(x)loga21(2x1)在上恒有f(x)0，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為x，所以2x1(0，1)，且loga21(2x1)0，所以0a211，解得a1或1a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值解：(1)因為f(1)2，所以loga42(a0，a1)，所以a2.由得1x0且a1)(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調性解：(1)由ax10，得ax1，當a1時，x0；當0a1時，x1時，f(x)的定義域為(0，)；當0a1時，設0x1x2，則1ax1ax2，故0ax11ax21，所以loga(ax11)loga(ax21)所以f(x1)1時，f(x)在(0，)上是增函數(shù)類似地，當0a0，a1)在區(qū)間內恒有f(x)0，則f(x)的單調遞增區(qū)間為()A(0，)B(2，)C(1，)D(，)解析：選A.令Mx2x，當x時，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函數(shù)ylogaM為增函數(shù)，又M，因此M的單調遞增區(qū)間為.又x2x0，所以x0或x.所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)2函數(shù)f(x)|log2x|，若0a1b且f(b)f(a)1，則a2b的取值范圍為()A4，)B(4，)C5，)D(5，)解析：選D.畫出f(x)|log2x|的圖象如圖：因為0a1b且f(b)f(a)1，所以|log2b|log2a|1，所以log2blog2a1，所以log2(ba)1，所以ab2.所以ya2ba(0a15，所以a2b的取值范圍為(5，)，故選D.3若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上遞減，則a的取值范圍為_解析：令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2，對稱軸為xa，要使函數(shù)在(，1上遞減，則有即解得1a0，所以f(x)log2log(2x)log2xlog2(4x2)log2x(log242log2x)log2x(log2x)2.當且僅當x時，有f(x)min.答案：5已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)0，當x0時，f(x)logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)當x0，則f(x)log(x)因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)log(x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)(2)因為f(4